(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。证法如图，作OUAD ，OVBC ，则垂足 U，V 分别为 AD 、BC 的中点，且由于EUOEMO90FVOFMO90得 M 、E、U、O 共圆； M 、 F、 V 、O 共圆。则 AUM= EOM ， MOFMVC又MADMCB ， U、V 为 AD 、 BC 的中点， 从而MUAMVC ， AUMMVC则EOMMOF ，于是 ME=MF 。 证法过 D 作关于直线 OM 的对称点 D ，如图所示，则F M D E M，D M D = M联结DM 交圆 O 于 C，则 C 与 C关于 OM 对称，即PCCQ 。又A111BC= BDCCFP= （ QB+PC ）= （ QB+CC+CQ ）=E222PUM故 M 、F、B、D 四点共圆，即MBFMDF而MBFEDMO由、知，DMEDMF ，故 ME=MF 。D证法如图，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对NEF 及截线 AMB ， NEF 及截线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FMEANBFMED NCMEANBF1 ，DN1ACCMECF图 2由上述两式相乘，并注意到ENA NDNC NBPMFM 2ANNDBFCFBF CF得AEEDBNCNAE EDME 2OPM +MFMQ - MFPM 2MF 2DPM - MEMQ+MEPM 2ME 2化简上式后得 ME=MF 。 图 3不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法（给出）如图，并令CF QVBFQBD- 1 - / 6DAB=DCBNADC=ABCDMP=CMQAMP=BMQAPMMQaPEMEx， MFyMS AMES FCMS EDMS FMB1，即DO由S EDMS FMBS AMES FCMAMAEsinFMCM sinED MDsinMFMBsin1MCCFsinEMMDsinFB BMsinMAMEsin图 4化简得MF 2CF FBQF FPayaya2y 2ME 2AE EDPE EQaxaxa2x2即y2a2y2，从而x y,MEMF 。x 2a2x2证 法令PMDQMC， QMBAMP，以 点 M 为 视 点 ， 对MBC 和MAD 分别应用张角定理，有sinsinsinsinsinsinA，MFMCMBMEMDMA上述两式相减，得PE11sinsin M sinMC MDMB MAMFMEMC MDMA MBDO设 G、 H 分别为 CD、AB 的中点，由 OMPQ ，有MBMA2MH2OM cos 902OMsin图 5MDMC2MG2OM cos 902OMsin于是sin11，而180 ，知 sin0 ，故 ME=MF 。MF0ME（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。- 2 - / 6CFQBCFQB2yA1CPEF Q2M2证法（单墫教授给出） 如图， 建立直角坐标系， 则圆的方程可1设为DOx2y22aR 。直线 AB 的方程为 y k1 x，直线 CD 的方2程为 yk2 x 。3B由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为图 6x2y a2y k1 x y k2 x04R2令 y0，知点 E 和点 F的横坐标满足二次方程k1k2 x2a2R20 ，由于 x的系数为 0 ，则两根 x1 和 x2 之和为 0 ，即 x1x2 ，故 ME=MF 。 证法如图建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为2xa222PyrEA直线 AB 、 CD 的方程可写为 yk1x , yk2 x 。D又设 A、 B、 C、 D 的坐标为xi , yi, i1,2,3,4，2则 x1、 x4 分别是二次方程22k22 x2r 2 的 一 根 。x ak12 x2 r 2 , x aAD 在 y 轴上的截距为y1y yx1k1x1k2 x4k1x1 x1k1 k2 x1 x441x4x1x4x1x2x1。同理， BC 在 y 轴上的截距为k1k2x2 x3。注意到 x1、 x2 是方程x3x21k12x22axa2r 20的两根，x3、 x4是方程1k22x22axa2r 20的两根，所以x1x22ax3x4，从而易得x1x2a2r 2x3 x4x1x2x3 x40 ，即 MEMF 。x1x2x3x41OMC1 FQ2B图 7P 3BFCVMOxAEUDQ图 8- 3 - / 6证 法如 图 ， 以 M 为 极 点 ， MO 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 。 因 C、F、B 三 点 共 线 ， 令BMx， CMx，则CF sinF B sin2C B sin2即CB sinFC cosB cosA D sinED cosA cos作 OU CD于 U ，作 OVAB 于 V 。注意到 A BC D由 Rt OUM 与 RtOVM 可得BADCcoscos将代入可得 EF ，即 ME=MF 。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。- 4 - / 6二 蝴蝶定理的推广和猜想（一）猜想在蝴蝶定理中, 、 分别是、 和的交点 . 如果、 分别是、 和延长线的交点 ,我们猜想 , 仍 酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。可能会有.推论过圆的弦的中点引任意两条弦与 , 连结 、 并延长交 的延长线于、 . 求证 : .彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。证明 ;设,;, ;謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。, ;记 , , , 的面积分别为, .则由恒等式 知 () () ( ) , 即 . 厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。又由割线定理知 () () () ().代入 式 ,得 () ( ) . 即 .茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。由于, , , 所以.即.（二）猜想在蝴蝶定理中 , 显然 是 的垂线 (是圆心 ), 那么 , 我们可以猜想 ,如果在保持的前提下将圆的弦 移至圆外 ,仍可能会有.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。推论已知直线与 相离 . ,为垂足 . 过 作 任意两条割线,分别交 于 ,和 , . 连结并延长分别交于 , . 求证 :.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞。证明：过作 ,交直线于 ,交 于 .连结交 于 .连结 , .由于,故有,从而(因为在 的垂直平分线上 ) . 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥。又由割线定理知 .因此. 又由 , ,知.从 知 , 从而 , , 四点共圆 . 所以 .渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨。又由于 , 知 . 由 、 、知 .所以.（三）猜想既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么 , 我们可以猜想 ,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线(也即是两条平行线) , 仍可能会有.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵。推论设点 、 分别在两条平行线、上 ,过的中点任意作两条直线和 分别交、 于、和 、 , 连结 、 交 于 、 . 求证 :.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢。证明：由于平分 , 从而利用 知平分, 利用 知 平分.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉。在四边形中 , 由对角线相互平分知是平行四边形,从而 . 又由于平分,故利用知。 坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱。结论从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：. ，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。.圆可以改为任意二次曲线。. 将圆变为一个完全四角形，为对角线交点。. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对，均成立正是由于它证法的多样性， 蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究， 时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中， 甚至出现在年的北京高考题中。 但只要思想得当， 证明出来也是比较自然的事。 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦。5 / 66 / 6