电磁场与电磁波第8讲边界条件电容能量

Field and Wave Electromagnetic电 磁 场 与 电 磁 波2015. 10. 10 2 1. Electric Potential E V 212 1 PP WV V E dl q 0 ( )PpV P V P V V E dl V 0 (V)4 qV R 101 V4 R Rn kk kqV 01 (V)4 VV dvR 01 (V)4 sSV dsR 01 (V)4 lLV dlR Review 3 2. Conductors in Static Electric Field3. Dielectrics in Static Electric Field Inside a conductor(under static conditions)00E Boundary Conditions(at a Conductor/Free Space Interface)00t snEE 210lim (C/m ) n v kkv pP v ps nP a p P 4 4. Electric Flux Density and Dielectric Constant2 0 0 0(1 ) (C/m )e rD E P E E E = D 0E 0C E dl S D ds Q 5 Main topic1. 静 电 场 的 边 界 条 件 2. 电 容 和 电 容 器3. 静 电 场 的 能 量 6 1. Boundary Conditions for Electrostatic Fields 电 磁 问 题 通 常 涉 及 具 有 不 同 物 理 特 性 的 媒 质 ,并 且 需 要 关于 两 种 媒 质 之 间 分 界 面 的 场 量 关 系 的 知 识 . 例 如 ,我 们 希 望 知 道场 矢 量 E 和 D 在 穿 过 两 个 界 面 时 是 如 何 变 化 的 . 现 在 我 们 来 考虑 两 种 一 般 媒 质 之 间 的 分 界 面 . D 0E 0 C E dl S D ds Q 7 (1) 电 场 强 度 E的 切 向 分 量 (tangential component)Let us construct a small path abcda with sides ab and cd in media 1 and 2 respectively, both being parallel to the interface and equal to w. The integral form is assumed to be valid for regions containing discontinuous media, is applied to this path. If we let sides bc=da=h approach zero, their contributions to the line integral of E around the path can be neglected. Thus we have E1E 2 2 1 atwh ac db an2 1 2 1t 2t1t 2t d d d d d 0 d d ( ) 0b c d al a b c db da c E w E wE E 1 21 2E l E l E l E l E lE l E l E w E w 8 电 场 强 度 在 分 界 面 处 的 切 向 分 量 是 相 等 的 . 换 句 话 说 ,电 场 强 度的 切 向 分 量 连 续 .对 于 线 性 各 向 同 性 的 一 般 介 质 ,有 : 22t1t1 DD 1 2t tE E 2 1 2 ( ) 0 na E E an2 的 方 向 是 有 媒 质 指 向 媒 质 . 9 (2) 电 通 密 度 D的 法 向 分 量 (normal component)In order to find a relation between the normal components of the fields at a boundary, we construct a small pillbox with its top face in medium 1 and bottom face in medium 2. The faces have an area S, and the height of the pillbox h is vanishingly small. Applying Gausss law to the pillbox, we havehS 2 1 an2 D1D2 s 2 1 1 2 1 22 22 1 2 1n 2nd ( ) ( sS bottom side topn ntop bottomn sD dS D dS D dS SD dS D dS D a S D a Sa D D S D D S S D S 10 2 1 2 1n 2n ( ) or n s sa D D D D 边 界 的 法 线 方 向 由 媒 质 指 向 媒 质 . S 是 边 界 上 的 面 电 荷 密 度 . D场 的 法 向 分 量 在 通 过 存 在 面 电 荷 的 分 界 面 时 是 不 连 续 的 ,不 连 续 的 量等 于 面 电 荷 密 度 . 11 2 1 2 1 22 1 2 1 2 ( ) 0 or ) or n t tn s n n sa E E E Ea D D D D （讨 论 (1)、 Boundary Conditions for Dielectric-conductor Interface 讨 论 (2)、 In the absence of net surface free charge, one has The boundary conditions that must be satisfied for static electric fields are as follows: 2 1 12 1 1 0 or or n tn s n sa E Ea D D 0 2 1 2 1 22 1 2 1 2 ( ) 0 or ) 0 or n t tn n na E E E Ea D D D D （ 12 例 1:两 理 想 介 质 的 分 界 面 为 Z=0的 平 面 ， 如图 所 示 ， 在 介 质 2中 的 场 强 为2 (5 )x y zE a y a x a z 求 介 质 1中 分 解 面 上 的 场 分 量 。 2= 0 r21= 0 r1x z y 1 22 ( ) 0na E E 1 22 ( )n sa D D 11 22 1 1 12 2 22 2 2 01 (5 ) (5 ) ( (5 ) ( ) 0 ( ( |(5 )x x y y z zx x y y z zx y zx y zz x y z x x y y z zz x y z x zxE a E a E a ED a E a E a EE a y a x a zD a y a x a za a y a x a z a E a E a Ea a y a x a z a E a 01 1 | ) 0y y z z zE a E 131 2 1 2 1 2 12 1 21 21 ( ) ( ) (5 ) 0 ( ) ( ) (5 ) 0 ( ) ( ) 0(5 ) 0 5; ; 5 z x x y y z zz x x y y z zy x x yz x y zx y za a y E a x E a Ea a y E a x E a Ea y E a x EEE y E x EE a y a x a 14 2. 电 容 和 电 容 器导 体Q V E V 01 (V)4 sSV dsR S S Q kQQ kQ k V kV V kV 不 变 S S Q kQV kV E kE k Q kQ V kV 不 变0snE (c/v or F)QC V比 例 常 数 C 称 为 孤 立 导 体 的 电 容 . 电 容 是 指 电 位 每 增 加 一 单 位 所 必 须 施 加于 物 体 的 电 荷 量 . 15 12 (c/v or F)QC V 电 容 器 的 电 容 是 双 导 体 系 统 的 一 种 物 理 性 质 ,其 依 赖 于 导 体 的形 状 和 它 们 之 间 媒 质 的 介 电 常 数 ,与 电 荷 Q 和 导 体 之 间 的 电 位 差 V12都 无 关 .电 容 器 即 使 没 有 电 压 提 供 或 导 体 上 没 有 自 由 电 荷 它 也 是 存在 的 . 16 Capacitance C can be determined from above equation by either (1) assuming a V12 and determining Q in terms of V12, or (2) assuming a Q and determining V12 in terms of Q. At this stage, since we have not yet studied the methods for solving boundary-value problems (which will be taken up in Chapter 4), we find C by the second method. The procedure is as follows:1. 对 已 知 的 几 何 形 状 ,选 择 合 适 的 坐 标 系 . 2. 假 设 导 体 上 携 带 了 电 荷 +Q and -Q. 3. 通 过 高 斯 定 理 或 其 它 关 系 根 据 假 设 的 电 荷 量 Q来 确 定 E. 4. 求 出 导 体 两 端 的 电 位 差 V 12. 5. Find C by taking the ratio Q/V12.112 2V E dl snE 17 Example 3-18 P124 18 Example 3-19 P125 19 (1) Series Parallel Connections of CapacitorsParallel Connections of Capacitors 电 容 器 的 电 压 相 等 nCCCC 21/ Series connections of capacitors(电 容 器 的 电 量 相 等 ) nnsr CCCC 1111 1 (2) Capacitances In Multiconductor Systems 20 Q qP静 电 能 来 源 ： 外 力 克 服 电 场 力 做 功 转 化 而来 ， 静 电 场 能 仅 与 带 电 体 的 最 终 带 电 状 态 有 关 而 与到 达 这 一 状 态 的 中 间 过 程 无 关 。静 电 能 ： 当 电 荷 放 入 电 场 中 ， 就 会 受 到 电 场 力 的 作 用 ， 电 场 力 做 功 使 电荷 位 移 ， 这 说 明 电 场 具 有 能 量 。 静 电 场 内 储 存 着 能 量 ， 这 种 能 量 通 常 被称 为 静 电 能 。 电 场 越 强 ， 对 电 荷 的 力 就 越 大 ， 做 功 的 能 力 就 越 强 ， 说 明电 场 具 有 的 能 量 就 越 大 。 212 1 2 1= ( ) PPW W Q E dl Q V V 3. Electrostatic Energy能 量 的 零 点 ： 最 初 电 荷 都 分 散 在 彼 此 相 距 很 远 (无 限 远 )的 位置 上 。 通 常 规 定 ， 处 于 这 种 状 态 下 的 静 电 能 为 零 。 静 电 场 能量 We等 于 于 把 各 部 分 电 荷 从 无 限 分 散 的 状 态 聚 集 成 现 有 带 电体 系 时 抵 抗 静 电 力 所 作 的 全 部 功 。 21 Bring a charge Q2 from infinity against the field of a charge Q1 in free space to a distance R12 12012222 4 RQQVQW 11120212 4 VQRQQW )( 22112 21 VQVQW (1) Two charges1Q 2Q12R1P 2Pwhere V 2 is the potential at P2 established by charge Q1, chose the reference point for the potential at infinity; This work is stored in the assembly of the two charges as potential energy. Another form where V1 is the potential at P1 established by charge Q2 . 22 Bring another charge Q3 from infinity to a point that is R13 to charge Q1 and R23 from charge Q2 in free space ,an additional work is required that equals where V3 is the potential at P3 established by charges Q1 and Q2 , W3 , which is stored in the assembly of the three charges Q1 , Q2 , and Q3 , is 23021301333 44 RQRQQVQW 233213311221023 4 1 RQQRQQRQQWWW (2) Three charges1Q 2Q12R1P 2P3Q3P13R 23R 23 We can rewrite W3 in the following form )( 332211230213013 2303120121303120213 2144 444421 VQVQVQRQRQQ RQRQQRQRQQW 233213311221023 4 1 RQQRQQRQQWWW where V1 is the potential at Q1 established by charges Q2 and Q3 , similarly, V2 and V 3 are the potentials at Q2 and Q3 , respectively, in the three-charge assembly. 3 1 1 2 2 3 31( )2W QV Q V QV 24 Extending this procedure of bringing in additional charges, we arrive at the following general expression for the potential energy of a group of N discrete point charges at rest. (The purpose of the subscript e on We is to denote that the energy is of an electric nature.) We have112 Ne k kkW Q V 1014 N jk j jkj k QV R where Vk , the electric potential at Qk, is caused by all the other charges and has the following expression: (3) A group of N discrete point charges at rest 25 112 Ne k kkW Q V Two remarks are in order here. First, We can be negative. In that case, work is done by the field (not against the field). Second, We in this equation represents only the interaction energy (mutal energy) and does not include the work required to assemble the individual point charges themselves (self-energy). 1014 N jk j jkj k QV R (4) a continuous charge distribution 12 e VW Vdv We replace Qk by dv and the summation by an integration and obtain:Note that We in this equation includes the work (self-energy) required to assemble the distribution of macroscopic charges, because it is the energy of interaction of every infinitesimal charge element with all other infinitesimal charge elements. 26 Example 3-23 P136Find the energy required to assemble a uniform sphere of charge of radius b and volume charge density . R bdR 12e VW Vdv 27 (4) Electrostatic Energy in Terms at Field Quantities 1 1 ( )2 2e V VW Vdv D Vdv Recalling the vector identity,( ) ,VD V D D V 1 1 1( ) ( )2 2 21 12 2e V V VnS VW VD D V dv VD dv D VdvVD a ds D Edv We can write as 28 1 12 2e nS VW VD a ds D Edv Since V can be any volume that includes all the charges, we may choose it to be a very large sphere with radius R (R).221 1, , when the first integral will vanishV D S R RR R ， .1 (J)2 e VW D Edv For a linear medium, we have D=E,21 (J)2e VW E dv 21 (J)2e V DW dv 29 1 12 2e eV V VW D Edv D Edv w dv We can always define an electrostatic energy density we mathematically, 22 31 1 (J/cm )2 2 2e Dw D E E However, this definition of energy density is artificial because a physical justification has not been found to localize energy with an electric field; all we know is that the volume integrals in Equation give the correct total electrostatic energy. 30 Example 3-24 P138 Q SC V d y x 221 12 2 2Qe CW QV CV 电 容 器 储 存 的 总 能 量 ： 31 summary1. Boundary Conditions for Electrostatic Fields 2 1 2 1 22 1 2 1 2 ( ) 0 or ) or n t tn s n n sa E E E Ea D D D D （2. Capacitance and Capacitors (c/v or F)QC V 12 (c/v or F)QC V 32 3. Electrostatic Energy112 Ne k kkW Q V 1014 N jk j jkj k QV R 12e VW Vdv 1 12 2 e eV V VW D Edv D Edv w dv 22 31 1 (J/cm )2 2 2e Dw D E E 221 12 2 2Qe CW QV CV 33 homeworkThank you! Bye-bye!答 疑 安 排时 间 ：地 点 ： 1401， 1403P.3-25, 3-44 34 In addition, we can find the relationship between the bound charges and the normal component of the electric field intensity as 1 2 n n sP P 1 22 ( ) n sa P P dSq P S2 1 dS top side bottomP dS P dS P dS P S1 2 1 2 1 22 2 2 1n 2nd ( ) (S top bottomn n n sP dS P dSP a S P a S a P P S P P S S P S 1n 2n sP S P S S hS 2 1 an2 D1D2 s 35 2) Capacitances In Multiconductor Systems3 2 N1 1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2 , .N NN NN N N NN NV p Q p Q p QV p Q p Q p QV p Q p Q p Q 1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2 , .N NN NN N N NN NQ c V c V c VQ c V c V c VQ c V c V c V