线性代数第四章线性方程组

第 四 章线 性 方 程 组 学 习 要 点 及 目 标 v掌 握 线 性 方 程 组 有 解 和 无 解 的 判 定 方 法 ； 理解 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 的 概 念 ， 掌 握齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 的 求 法 ；理 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 的 结 构 ， 掌 握非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 与 齐 次 线 性 方 程 组 的解 之 间 的 关 系 ， 会 用 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础解 系 表 示 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 。 4.1 线 性 方 程 组 的 概 念v内 容 要 点 ： v 线 性 方 程v 线 性 方 程 组v 线 性 方 程 组 解 的 特 殊 情 况 4.1.1线 性 方 程 v 定 义 4.1.1 方 程 称 为 n 元 线 性 方程 ， 其 中 ， 为 变 量 ， 为 常 数 。 满 足 方 程 的 一 个 n元 有 序 数 组 称 为 n元 方 程 的 一 个 解 。v 定 义 4.1.2 设 非 零 方 程 的 首 非 零项 系 数 是 对 的 任 一 组 数 可 以 得 到 方 程 的 一个 特 解 ， 其 中 变 量 为 自 由 变 量 。方 程 的 所 有 解 的 集 合 称 为 方 程 的 通解 或 一 般 解 。 1 1 2 2 n na x a x a x b ix ia 1,2, ,i n 1 1 2 2 n na x a x a x b 1 1 2 2 n na x a x a x b pa j p 1 1 1, , , , ,p p nx x x x 1 1 2 2 n na x a x a x b v例 如 是 一 个 二 元 方 程 ， 不 同 时为 零 时 ， 方 程 有 无 穷 多 解 ， 如 为 二 元 方 程 的 一 个 特 解 ， 为 二 元 方 程 的 通 解 ； 当 同 时 为 零 ,若 时 ，方 程 无 解 ； 当 同 时 为 零 ,若 时 ， 方程 有 无 穷 多 解 任 意 一 对 有 序 实 数 都 是 方 程 的解 。 ax by c 0 0, cb y b 时 ， x 0 , c ab k y k k Rb b 时 ， x,a b 0c0cax by c ,a b,a b 例 4.1.1 求 三 元 方 程 的 两 个 特 解 和 通 解 。v解 ： 这 里 为 首 非 零 元 ， 为 自 由 变 量 ， 给 取 任 意 值 ， 就 可 求 出 不 妨 设 代 入 方 程 ， 就 可 得 到 故 或 为 三 元 方 程 的 一 个 特 解 ； 再 设 代 入 方 程 ， 就 可 得 到 故 或 为 三 元 方 程 的 又 一 个 特 解 ； 1 2 32 4 8x x x 1x 2 3,x x1x 2 3,x x2 30, 0 x x 1 4x 123 400 xxx 400 1 2 32 4 8x x x 2 31, 0 x x 1 2x 123 210 xxx 210 1 2 32 4 8x x x 要 求 方 程 的 通 解 ， 需 要 给 自 由变 量 , 取 任 意 值 ， 不 妨 设 代 入 方 程 就 可 得 到 ， 故 或 为 三 元 方 程 的 通 解1 2 32 4 8x x x 2 3,x x 2 1 3 2 1 2, ,x k x k k k R 1 2 314 2 2x x x 1 1 22 1 1 2 3 2 14 2 2 ,x k kx k k k Rx k 1 2 94 2 20 1 00 0 1k k 1 2 32 4 8x x x 4.1.2 n元 线 性 方 程 组 v定 义 4.1.3线 性 方 程 组称 为 n元 线 性 方 程 组 。v其 矩 阵 形 式 为 (2)其 中 为 第 个 方 程 第 个 变 量 的 系 数 ， 为 第个 方 程 的 常 数 项 ， 这 里 。 )1(2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bAX ija i j jxib1,2, , ; 1,2, ,i m j n 。 i v矩 阵 分 别 称 为 线 性 方 程 组 (1)的 系 数 矩 阵 、 未 知 数 矩 阵 和 常 数 项 矩 阵 。v矩 阵 称 为 线 性 方 程 组 (1)的 增 广 矩 阵 。 v当 常 数 项 不 全 为 零 时 ， 称 为 非 齐 次 线 性 方 程组 ; 当 常 数 项 全 为 零 ， 即 时 , 线 性方 程 组 (1)称 为 齐 次 线 性 方 程 组 ， 也 称 为 非 齐次 线 性 方 程 组 的 导 出 组 。v当 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解 时 ， 其 所 有 解 的 集合 称 为 方 程 组 的 通 解 或 一 般 解 。, 212121 22221 11211 mnmnmm nn bbbbxxxXaaa aaa aaaA )( bA mibi ,2,1,0 4.1.3 三 角 形 方 程 组 与 阶 梯 形 方 程 组 v 定 义 4.1.4 线 性 方 程 组称 为 元 三 角 形 线 性 方 程 组 。v 三 角 形 线 性 方 程 组 要 求 方 程 组 所 含 方 程 的 个 数 等 于未 知 量 的 个 数 ， 且 第 个 方 程 第 个 变 量 的 系 数 而v 三 角 形 线 性 方 程 组 是 一 类 特 殊 的 情 形 ， 解 法 也 简 单 ，由 克 莱 姆 法 则 可 以 判 断 ， 其 解 惟 一 ， 一 般 只 需 要 从最 后 一 个 方 程 开 始 求 解 ， 逐 步 回 代 ， 就 可 求 出 方 程组 的 全 部 解 11 1 12 2 1 122 2 2 2 (5)n nn nnn n na x a x a x ba x a x ba x b n i i ix0, 1,2, , iia i n 0,iia i j v定 义 4.1.6 线 性 方 程 组 中 自 上 而 下 的 各 方 程 所 含 未 知 量 个 数 依 次 减少 ， 这 种 形 式 的 方 程 组 称 为 n元 阶 梯 形 线 性 方程 组 。v当 方 程 组 所 含 方 程 的 个 数 等 于 未 知 量 的 个 数时 ， 阶 梯 形 线 性 方 程 组 即 为 三 角 形 线 性 方 程组 ， 因 此 说 三 角 形 线 性 方 程 组 是 阶 梯 形 线 性方 程 组 的 特 殊 情 况 。 11 1 12 2 1 122 2 2 2 (6)n nn nrr r rn n ra x a x a x ba x a x b r na x a x b v线 性 方 程 组 （ 6） 与 下 列 方 程 组 同 解v因 此 ， 阶 梯 形 线 性 方 程 组 解 法 可 仿 照 三 角 形线 性 方 程 组 的 解 法 ， 从 最 后 一 个 方 程 开 始 求解 ， 逐 步 回 代 ， 就 可 求 出 方 程 组 的 全 部 解 。 11 1 12 2 1 1 1 1 1 122 2 2 2 2 1 1 21 1 (7)r r r r n nr r r r n nrr r r rr r rn na x a x a x b a x a xa x a x b a x a x r na x b a x a x 4.2 消 元 法v内 容 要 点 线 性 方 程 组 的 初 等 变 换 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 消 元 解 法 齐 次 线 性 方 程 组 的 消 元 解 法 4.2.1线 性 方 程 组 的 初 等 变 换 v 定 义 4.2.1 将 线 性 方 程 组(1)交 换 某 两 个 方 程 的 位 置 ; (2)用 一 个 非 零 数 乘 某 一 个 方 程 的 两 边 ;(3)将 一 个 方 程 的 倍 数 加 到 另 一 个 方 程 上 去 。以 上 这 三 种 变 换 称 为 线 性 方 程 组 的 初 等 变 换 。 v 用 消 元 法 求 解 线 性 方 程 组 的 具 体 作 法 就 是 对 方 程 组反 复 实 施 以 下 三 种 初 等 变 换 ： 交 换 两 个 方 程 ； 用 非零 数 乘 某 方 程 ； 将 一 个 方 程 （ 行 ） 的 倍 数 加 到 另 一个 方 程 的 过 程 。 v线 性 方 程 组 经 一 次 或 数 次 初 等 变 换 后 ， 方 程组 的 解 不 变 。 即 初 等 变 换 总 是 把 线 性 方 程 组变 成 同 解 方 程 组 ,经 过 初 等 变 换 后 得 到 的 方 程组 与 原 方 程 组 等 价 。v消 元 法 的 目 的 就 是 利 用 方 程 组 的 初 等 变 换 将原 方 程 组 化 为 阶 梯 形 方 程 组 , 由 于 这 个 阶 梯 形方 程 组 与 原 线 性 方 程 组 同 解 , 解 这 个 阶 梯 形 方程 组 得 到 的 解 就 是 原 方 程 组 的 解 。v注 意 ： 将 一 个 方 程 组 化 为 行 阶 梯 形 方 程 组 的步 骤 并 不 是 惟 一 的 , 所 以 ， 同 一 个 方 程 组 的 行阶 梯 形 方 程 组 也 不 是 唯 一 的 。 vn元 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为 当 常 数 项 ， 至 少 有 一 个 不 为 零 时 ，线 性 方 程 组 为 非 齐 次 线 性 方 程 组 ； . 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 1,2, , ib i m v当 常 数 项 全 为 零 时 ， 即 =0线 性 方 程 组 为 齐次 线 性 方 程 组 ， 这 时 方 程 组 的 一 般 形 式 为 0. 00 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa ib 4.2.2 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 消 元 解 法v一 般 来 说 ， 对 元 非 齐 次 线 性 方 程 组v反 复 应 用 初 等 变 换 ， 可 化 为 阶 梯 形 方 程 组 . 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 00. 0. 1222222 111212111 rrnrnrrr nnrr nnrr bbxaxa bxaxaxa bxaxaxaxa v不 妨 设 为v结 论 ： 1.如 果 ， 则 线 性 方 程 组 无 解 ；v2.如 果 ， 则 线 性 方 程 组 有 解 ： (1)如 果 ， 则 线 性 方 程 组 可 化 为v其 中 ,则 线 性 方 程 组 有 唯 一 解 。 00. 0. 1222222 111212111 rrnrnrrr nnrr nnrr ddxcxc dxcxcxc dxcxcxcxc 01 rd0 1 rd r n . 22222 11212111 nnnn nn nn dxc dxcxc dxcxcxc 0nnc v(2) 当 时 ， 方 程 组 可 以 化 为v其 中 , 将 其 改 写 成 其 中 未 知 量 称 为 自 由 未 知 量 。任 取 一 组 数 就 可 以 得 到 一 组 解 。 所 以 方 程 组有 无 穷 多 组 解 。r n rnrnrrr nnrr nnrr dxcxc dxcxcxc dxcxcxcxc . 222222 111212111 0rrc . 11 211222222 111111212111 nrnrrrrrrr nnrrrr nnrrrr xcxcdxc xcxcdxcxc xcxcdxcxcxc nrr xxx , 21 例 4.2.2 用 消 元 法 解 线 性 方 程 组 解 ： 原 线 性 方 程 组 化 成 732 32 11523 423x 321 321 321 321 xxx xxx xxx xx1 2 3 1 2 32 3 2 32 3 2 3 2 3x 3 2 4 x 3 2 47 1 7 15 5 5 17 1x x x xx x x xx x x xx x 1 2 3 1 2 3 12 3 2 3 23 3 33 2 4 3 2 4 21 1 06 6 1 1x x x x x x xx x x x xx x x 4.2.3齐 次 线 性 方 程 组 的 消 元 解 法 v 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为 若 反 复 应 用 初 等 变 换 ， 则 可 化 为 0a 0a 0a 221m 1 2222121 1212111 nmnm nn nn xaxax xaxax xaxax 00. 00 0. 0022222 11212111 nrnrrr nnrr nnrr xaxa xaxaxa xaxaxaxa v 不 妨 设 为v 结 论 ： 1.如 果 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组 肯 定 有解 ， 至 少 有 零 解 。v 2.（ 1） 如 果 ， 则 线 性 方 程 组 可 化 为v 其 中 则 线 性 方 程 组 有 唯 一 解 ， 即 仅 有 零 解 。 00. 00 0. 0022222 11212111 nrnrrr nnrr nnrr xcxc xcxcxc xcxcxcxc 01 rdr n 0. 00 2222 1212111 nnn nn nnxc xcxc xcxcxc 0rrc v(2) 当 时 ， 方 程 组 可 以 化 为v其 中 将 其 改 写 成v其 中 未 知 量 称 为 自 由 未 知 量 。任 取 一 组 数 就 可 以 得 到 一 组 解 。 所 以 方 程 组有 无 穷 多 组 解 。r n 0rrc . 11 21122222 11111212111 nrnrrrrrr nnrrrr nnrrrr xcxcxc xcxcxcxc xcxcxcxcxc nrr xxx , 21 0. 0022222 11212111 nrnrrr nnrr nnrr xcxc xcxcxc xcxcxcxc 例 4.2.4 解 齐 次 线 性 方 程 组v解 ： 原 线 性 方 程 组 化 成 05 02 032x 21 321 321 xx xxx xx 1 2 1 21 2 3 2 3 1 2 3 2 31 2 1 2 12 3 3 2 235 0 5 02 0 7 02x 3 0 7 05 0 5 57 0 70 0 0 0 7x x x xx x x x xx x x xx x x x x cx x x x x c c Rx c 例 4.2.5 解 齐 次 线 性 方 程 组求 （ 1） 当 取 何 值 时 仅 有 零 解 ； （ 2） 当 取 何 值 时 有 无 穷 组 解 。 解 : 所 以 当 时 仅 有 零 解 ； 当 时 有 无 穷组 解 。 02 02 0 x 21 321 321 xx xxx xx 1 2 3 1 2 31 2 3 1 21 2 1 2 31 2 3 2 32 31 2 32 33x 0 x 02 0 2 02 0 2 0 x 02 2 02 1 0 x 02 2 03 0 x x x xx x x x xx x x x xx xx xx xx xx xx 3 3 4.3 高 斯 消 元 法 内 容 要 点v线 性 方 程 组 的 矩 阵v齐 次 线 性 方 程 组 的 消 元 解 法v非 齐 次 线 性 方 程 组 的 消 元 解 法v线 性 方 程 组 解 的 存 在 性 v如 果 用 矩 阵 表 示 其 系 数 及 常 数 项 , 则 将 原 方 程组 化 为 行 阶 梯 形 方 程 组 的 过 程 就 是 将 对 应 矩阵 化 为 行 阶 梯 形 矩 阵 的 过 程 。v用 消 元 法 解 线 性 方 程 组 的 过 程 , 相 当 于 对 该 方程 组 的 增 广 矩 阵 作 初 等 行 变 换 化 为 阶 梯 形 矩阵 (消 元 过 程 ) 再 出 阶 梯 形 矩 阵 继 续 进 行 初 等行 变 换 (回 代 过 程 )， 就 求 得 方 程 组 的 解 回 代过 程 的 最 后 一 个 矩 阵 恰 为 简 化 的 阶 梯 形 矩 阵 。 例 4.3.2 用 矩 阵 消 元 法 求 解 下 列 线 性 方 程 组 : v 解 对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 作 初 等 行 变 换 ， 得 ：v 最 后 的 阶 梯 形 矩 阵 对 应 的 阶 梯 形 方 程 由 0= 4可 知 ， 这 是 一 个 矛 盾 方 程 组 ， 无 解 所 以原 方 程 组 也 无 解 。 1 2 3 41 2 3 41 2 31 2 3 42 2 11 4 03 12 2 44 4 3 2 6x x x xx x x xx x xx x x x 2 2 11 4 0 1 1 3 1 11 1 3 1 1 2 2 11 4 02 2 1 0 4 2 2 1 0 44 4 3 2 6 4 4 3 2 61 1 3 1 1 1 1 3 1 10 0 5 2 2 0 0 5 2 20 0 5 2 2 0 0 0 0 00 0 15 6 2 0 0 0 0 4Ab 1 2 3 43 43 15 2 20 4x x x xx x 例 4.3.3解 下 列 线 性 方 程 组 : v 解 ： 对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 作 初 等 行 变 换 ， 得 ： 最 后 的 阶 梯 形 矩 阵 对 应 的 线 性 方 程 组 为即 方 程 组 有 无 穷 多 个 解 。 1 2 3 41 2 31 2 3 41 2 3 43 2 32 3 22 14 4 3 2 6x x x xx x xx x x xx x x x 1 3 2 1 3 1 3 2 1 32 1 3 0 2 0 5 1 2 41 2 1 1 1 0 5 1 2 41 3 2 1 30 5 1 2 40 0 0 0 0Ab 1 2 3 42 3 43 2 35 2 4x x x xx x x 1 2 3 42 3 43 3 25 4 2x x x xx x x v 由 上 面 的 阶 梯 形 矩 阵 继 续 进 行 初 等 行 变 换 化 为 简 化的 阶 梯 形 矩 阵 ， 完 成 回 代 过 程 (接 上 面 的 最 后 一 个 矩阵 )：最 后 的 阶 梯 形 矩 阵 对 应 的 线 性 方 程 组 为 与 原 方 程 已 同 解 。 1 3 2 1 31 3 2 1 3 1 2 40 5 1 2 4 0 1 5 5 50 0 0 0 0 0 0 0 0 07 1 31 0 5 5 51 2 40 1 5 5 50 0 0 0 0Ab 1 3 42 3 43 7 15 5 54 1 25 5 5x x xx x x v取 自 由 未 知 量 就 可 以 确 定 对 应 的 值 ， 从 而 得 到 方 程 组 的 全 部 解 (或 一 般 解 )：v因 此 原 方 程 组 有 无 穷 多 组 解 。 这 时 ， 变 量为 自 由 未 知 量 。 3 1 4 2,x c x c 1 2,x x 1 1 22 1 2 1 23 1 4 23 7 15 5 54 1 2 ,5 5 5x c cx c c c c Rx cx c 3 4,x x 解 的 情 况v对 一 般 的 线 性 方 程 组对 于 增 广 矩 阵施 以 初 等 行 变 换 ， 化 为 阶 梯 形 矩 阵 或 )1(2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 111 12 121 22 2 2 1 2 nnm m mn mba a aa a a bAb a a a b 11 12 1 1 122 2 2 2 100 00 0 0 00 0 0 0 0r nr rrr rn rrc c c c dc c c dc c dd 11 12 1 1 122 2 2 200 00 0 0 0 00 0 0 0 0r nr rrr rn rc c c c dc c c dc c d v1.当 时 ,方 程 组 无 解 ； v2.当 时 ,方 程 组 与 三 角 形 方 程 组同 解 ， 且 解 惟 一 。 3.当 时 ,方 程 组 与 阶 梯 形 方 程 组同 解 ， 且 解 有 无 穷 多 组 . ( ) 1r Ab r A ( )r Ab r A n 11 1 12 2 1 122 2 2 2n nn nnn n nc x c x c x dc x c x dc x d ( )r Ab r A n . 11 211222222 111111212111 nrnrrrrrrr nnrrrr nnrrrr xcxcdxc xcxcdxcxc xcxcdxcxcxc 4.3.2 线 性 方 程 组 解 的 存 在 性v 定 理 4.3.1 n元 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充要 条 件 是 系 数 矩 阵 的 秩 。v 推 论 4.3.1 齐 次 线 性 方 程 组 有 惟 一 解 的 充 分必 要 条 件 是 。 即 ： v 推 论 4.3.2 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 组 解 的 充 分 必要 条 件 是 。 即 ： 。v 推 论 4.3.3 若 方 程 组 中 有 ， 即 方 程 个 数小 于 末 知 量 个 数 时 ， 方 程 组 必 有 非 零 解 。0Ax( )ij m nA a ( )r A n( )r A n 0Ax0Ax0Ax 0Ax m n( ) 0r A n Ax .0)( 只 有 零 解 AxnAr ( )r A n v 推 论 4.3.4 若 方 程 组 中 有 ， 即 方 程 个 数等 于 末 知 量 个 数 时 ， 方 程 组 有 非 零 解 的 充 要 条 件 是系 数 行 列 式 等 于 零 。v 定 理 4.3.2 n元 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 要条 件 是 系 数 矩 阵 的 秩 等 于 增 广 矩 阵 的 秩 , 即 。v 推 论 4.3.5 n元 非 齐 次 线 性 方 程 组 无 解 。有 唯 一 解 ；bAxnArAr )()( 有 无 穷 多 解 ；bAxnArAr )()( ) ( )r A r A Ax b 0Ax m n bAx ( )ij m nA a )( bAA ( ) ( )r A r A bAx 4.4齐 次 线 性 方 程 组 内 容 要 点v 解 向 量 的 概 念v 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质v 基 础 解 系 的 定 义v 基 础 解 系 的 求 法 v解 空 间 及 其 维 数 4.4.1解 向 量 的 概 念v 设 有 齐 次 线 性 方 程 (1) 若 记 系 数 矩 阵 为未 知 数 向 量 为 则 方 程 组 (1)可 记 为 ： (2)称 方 程 (2)的 解 为 方 程 组 (1)的 解 向 量 。 0002211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa mnmm nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211 nxxxX 1 0AX nxxxX 21 4.4.2 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质 :v性 质 1 若 为 方 程 组 (2)的 解 , 则 也是 该 方 程 组 的 解 。v性 质 2 若 为 方 程 组 (2)的 解 , k为 实 数 , 则 也 是 (2)的 解 。v性 质 3 若 为 方 程 组 (2)的 解 ， 为 任 意 实 数 ， 则 有 ： 也 是 该方 程 组 的 解 。 1 2, , n 1 2, , nk k k1 1 2 2 n nk k k k21, 21 4.4.3 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系v 定 义 4.3.1 齐 次 线 性 方 程 组 的 有 限 个 解 满 足 : (1) 线 性 无 关 ; (2) 的 任 意 一 个 解 均 可 由 线 性 表 示 。 则 称 解 向 量 组 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 一个 基 础 解 系 。v 定 义 4.3.2设 A为 矩 阵 , 则 n元 齐 次 线 性 方 程 组 的 全 体 解 向 量 所 构 成 的 集 合 对 于 加 法 和 数 乘 是 封 闭的 ， 因 此 线 性 方 程 组 的 全 体 解 构 成 的 集 合 V是一 个 向 量 空 间 , 称 此 向 量 空 间 为 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 空 间 。 0AX 0AX0AX 0AX t , 21 t , 21 t , 21 t , 21 0AX nm 0AX v当 时 , 方 程 组 只 有 零 解 , 此 时 ， 解空 间 V只 含 有 一 个 零 向 量 , 解 空 间 V的 维 数 为 0，当 一 个 齐 次 线 性 方 程 组 只 有 零 解 时 , 该 方 程 组没 有 基 础 解 系 ; v当 系 数 矩 阵 的 秩 时 , 解 空 间 V的 维 数 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 时 ,一 定 有 基 础 解 系v定 理 4.4.1 对 于 齐 次 线 性 方 程 组 若 ,则 该 方 程 组 的 基 础 解 系 一 定 存 在 ， 且 每 个 基础 解 系 中 所 含 解 向 量 的 个 数 均 等 于 , 其中 n是 方 程 组 所 含 未 知 量 的 个 数 。nAr )( 0AX( ) 0r A r 0n r 0AX nrAr )(0n r 例 4.4.3 求 解 方 程 组 v解 ： 对 系 数 矩 阵 A施 行 初 等 行 变 换 ：得 与 原 方 程 组 同 解 的 方 程 组由 此 得 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4 0,3 0,2 3 0 x x x xx x x xx x x x 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 3 0 0 2 41 1 2 3 0 0 1 21 1 1 1 1 1 0 10 0 1 2 0 0 1 20 0 0 0 0 0 0 0A 1 2 43 4 02 0 x x xx x 1 2 43 42x x xx x 取 代 入 上 式 ， 解 得 从 而 得 到 一 个 基 础 解 系 故 方 程 组 的 通 解 为 即 1 1 2 2 1 2,x k k k k R 24 1 0,0 1xx 13 1 1,0 2xx 1 21 11 0,0 20 1 1 2 1 2 1 234 1 11 0 ,0 20 1xx k k k k Rxx 4.5 非 齐 次 线 性 方 程 组 内 容 要 点 ： 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 方 程 组 有 解 的 几 个 等 价 命 题 4.5.1非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质v性 质 1 设 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 , 为 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 ， 则 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 。v性 质 2 设 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 , 则 是 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 。 Ax b 0Ax Ax b 21, Ax b21 0Ax 4.5.2 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构v定 理 4.5.1 设 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 解 , 是 其 导 出 组 （ 对 应 齐 次 线 性 方 程组 ） 的 通 解 , 则 是 非 齐 次 线 性 方程 组 的 通 解 。* Ax b0Ax * xAx b 4.5.3 线 性 方 程 组 解 的 等 价 命 题v 定 理 4.5.2 设 有 非 齐 次 线 性 方 程 组 ， 而 是 系 数 矩 阵 的 列 向 量 组 ， 则 下 列 四 个 命 题 等 价 ：v (1) 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 ；v (2) 向 量 能 由 向 量 组 线 性 表 示 ；v (3) 向 量 组 与 向 量 组 ， 等 价 ；v (4) 。 Ax b n , 21 Ab n , 21 n , 21 )()( bArAr 。 Ax b n , 21 b 例 4.5.2 求 解 线 性 方 程 组 v 解 ： 对 增 广 矩 阵 作 初 等 行 变 换 故 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 原 方 程 组 同 解 于 与 方 程 组 所 以 方 程 组 的 通 解 为 1 2 3 41 2 3 41 2 3 44 3 5 22 13 2 3 4x x x xx x x xx x x x 1 4 3 5 2 1 4 3 5 22 1 1 1 1 0 7 5 9 53 2 1 3 4 0 14 10 18 101 1 61 01 4 3 5 2 7 7 75 9 5 5 9 50 1 0 17 7 7 7 7 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0Ab 2r A r Ab 1 3 42 3 41 1 67 7 75 9 57 7 7x x xx x x .007576107971017571 214321 kkxxxx