材料力学作业参考题解

F3F +- FFN1 11FN ：(轴 力 图 )2-1 画 以 下 各 杆 的 轴 力 图 ， 并 求 指 定 截 面 上 的 内 力 。 解 ： 求 截 面 内 力 用 截 面 法 ， 轴 载 直 杆 截 面 上 内 力 为 轴 力 。(a) 在 指 定 截 面 处 将 杆 件 截 开 ， 取 截 开 后 的 杆 件各 部 分 之 一 为 隔 离 体 (比 如 取 右 侧 部 分 )， 画出 隔 离 体 的 受 力 图 ， 轴 力 (内 力 )按 其 正 方 向画 ， 由 隔 离 体 的 平 衡 条 件 ， 有 ： FN1 = F (受 拉 ) FN2 = F F=0 FN3 = F-F-3F = -3F (受 压 )轴 力 图 画 在 与 受 力 图 对 应 的 位 置 ， 注 意 标 注 出特 征 位 置 内 力 大 小 。 可 用 正 负 标 记 表 示 基 线 某一 侧 的 内 力 值 的 正 负 。 对 水 平 放 置 的 杆 件 ， 习惯 上 将 正 值 轴 力 画 在 基 线 以 上 。即 : 指 定 截 面 上 轴 力 的 大 小 等 于 该 截 面 任 一 侧 所有 轴 向 力 (包 括 支 反 力 )的 代 数 和 。(b) 求 支 反 力 Fx=2F 如 图 取 隔 离 体 ， 有 ： FN1 = 3F FN2 = 3F-2F = F FN3 = 3F-2F+F = 2F or FN3 = Fx =2F2FF N ： 3F+ 画 内 力 图 时 ， 可 用 与 基 线 垂 直 的 具 有 标 长 的 直线 段 表 示 该 线 段 所 在 截 面 内 力 值 的 大 小 。 切 记不 可 画 成 阴 影 线 (剖 面 线 )。 FN2 22 F FFN3 33 F3F F33 1122 F3F FA2A4A33Fx A 11 3FFN122 2F 3FFN233 2FFN3 F 3FFN333Fx 3F+ 11 FFN1q=F/a2F33 FFN3 2-1 画 以 下 各 杆 的 轴 力 图 ， 并 求 指 定 截 面 上 的 内 力 。(c) 如 图 取 隔 离 体 ， 有 ： FN1 = 2F FN2 = 2F-F +2F= 3F(d) 如 图 取 隔 离 体 ， 有 ： F N1 = F FN2 = F-qa =0 FN3 = F-qa -2F = F-F -2F = -2F 2F- FF N ： + 轴 力 图 在 集 中 载 荷 作 用 处 有 突 变 ， 突 变值 与 集 中 力 的 大 小 相 等 ；在 分 布 载 荷 作 用 处 轴 力 图 斜 率 的 值 等 于该 处 分 布 载 荷 的 分 布 集 度 大 小 ， 则 分 布载 荷 的 起 点 和 终 点 处 为 轴 力 图 折 点 。可由受力与轴力图的特点，检查内力图：q=F/a22 FFN2 33 22 A+FFN ： 2F+3F F 2F2FA 1122 11 2FFN1F 2F2F22FN2 F3F +-FN ：(轴 力 图 )2-2 习 题 2-1图 中 的 外 力 F=150N， 横 截 面 面 积 A=10mm2， 长 度 a=150mm。 试 求 各 杆 的 最 大正 应 力 ， 并 指 出 所 在 截 面 。 解 ： 先 画 出 轴 力 图 。 (a) 最 大 应 力 可 能 在 1-1截 面 上 或 3-3截 面 上 ：(b) 等 截 面 杆 ， 最 大 应 力 在 轴 力 最 大 的 截面 上 ：33 A 3F2FF N ： 3F+ 1122 F3F FA2A4A33 MPaAF 1511max AFAF 433311 MPaAF 453 11max (c) 等 截 面 杆 ， 最 大 应 力 在 轴 力 最 大 的 截面 上 ：(d) 等 截 面 杆 ， 最 大 应 力 在 轴 力 最 大 的 截面 上 ： 2F- FFN ： +33 22 A+FFN ： 2F+3F F 2F2FA 11222-2 习 题 2-1图 中 的 外 力 F=150N， 横 截 面 面 积 A=10mm2， 长 度 a=150mm。 试 求 各 杆 的 最 大正 应 力 ， 并 指 出 所 在 截 面 。 解 ： 先 画 出 轴 力 图 。 MPaAF 302 33max MPaAF 45322max 2-4 图 示 一 等 直 矩 形 截 面 杆 受 拉 ， 已 知 F=10kN， b=5mm， h=20mm。 试 求 = 45o、 135o等 四 个 斜 截 面 (图 示 虚 线 )上 的 正 应 力 和 切 应 力 。 求 各 斜 截 面 上 的 应 力 ：由 ： MPaMPa 502502 4545 MPabhFAF 100205 1010 3 2sin22cos22 解 ： 求 横 截 面 上 的 应 力 ：MPaMPa 502502 4545 MPaMPa 502502 135135 MPaMPa 502502 135135 有 ： FF bh 2-5 图 示 杆 件 由 两 根 木 杆 粘 接 而 成 。 欲 使 其 在 受 拉 时 ， 粘 接 面 上 的 正 应 力 为 其 切 应 力 的 2倍 ，试 问 粘 接 面 的 位 置 应 如 何 确 定 ？解 ： 本 题 实 质 上 是 要 考 察 斜 截 面 上 的 应 力 。 由 斜 截 面 应 力 公 式 ， 有 ： 2sin2cos2 由 题 义 ， 要 求 ： 2则 有 ： 21tan2sin22cos2 即 粘 接 面 法 向 的 角 度 为 ： 6.2621tan 1 2-8图 示 结 构 ， 已 知 外 力 F=35kN。 钢 圆 杆 AB和 AC的 直 径 分 别 为 d1=12mm和 d2=15mm， 钢 的 弹性 模 量 E=210GPa。 试 求 A点 的 铅 直 位 移 。解 ： 求 各 杆 内 力 ， 如 图 取 A点 为 对 象 ， 由 平 衡 条 件 ， 有 ：NABNACNACNABx FFFFF 230sin45sin0 求 位 移 ， 各 杆 变 形 与 A点 位 移 之 间 的 几 何 关 系 如 图 ： mmEAlFl ACACNACAC 104.14/015.010210 6.110622.25 29 3 求 各 杆 变 形 (伸 长 )：A FFNAB FNACxy kNF kNFF FFFFNACNAB NACNABy 622.25 117.1831 2 30cos45cos0 ( 拉 )( 拉 ) mmEAlFl ABABNABAB 078.14/012.010210 210117.18 29 3 AAlAAAAlAA ABAC 45cos45tan30tan30cos有 mmllAA ABACAy 366.130tan130tan45cos30cos 整 理 得45A xy30 ABlACl A A 2-9 图 示 为 打 入 土 中 的 混 凝 土 地 桩 ， 顶 端 承 受 载 荷 F， 并 由 作 用 于 地 桩 的 摩 擦 力 所 支 持 。 设 沿地 桩 单 位 长 度 的 摩 擦 力 为 f， 且 f =k y2， 式 中 ， k为 常 数 。 试 求 地 桩 的 缩 短 。 已 知 地 桩 的 横截 面 面 积 为 A， 弹 性 模 量 为 E， 埋 入 土 中 的 长 度 为 l。解 ： 地 桩 所 受 外 载 为 轴 载 ， 且 在 F和 摩 擦 力 共 同 作 用 下 平 衡 。03d 30 2 FlkFykyF ly则 ：轴 力 方 程 为 ： 3 30 d)( lFyyfyF yN 求 地 桩 的 缩 短 量 ： EAFlyyEAl FyEAyFl ll N 4dd)( 0 330 233 33 ylFflFk 即 ：y FN ( y ) 2-11图 示 托 架 ， 水 平 杆 BC 的 长 度 l 保 持 不 变 ， 斜 杆 AB 的 长 度 可 随 夹 角 的 变 化 而 改 变 。 两杆 皆 为 同 质 等 直 杆 ， 且 拉 伸 强 度 和 压 缩 强 度 亦 相 同 相 等 。 若 要 使 两 杆 具 有 等 强 度 、 且 制 作的 材 料 最 省 ， 则 两 杆 的 夹 角 、 两 杆 横 截 面 面 积 之 比 各 为 若 干 。解 ： 求 各 杆 内 力 及 应 力 sincoscossin 1sin coscossin FllFlFlAlAV BCBCABAB 由 题 义 ， 各 杆 应 力 达 到 许 用 应 力 ， 则 ： sin cossin FAFA BCAB 要 求 结 构 的 总 重 量 为 最 小 即 结 构 总 体 积 最 小 ， 其 体 积 为 ：(拉 )sinFFNAB sinABABNABAB A FAF sincosFFNBC (压 ) sincosBCBCNBCBC AFAF FFNABFNBC B 0dd V令 ： 得 ： 445474.542tan 3cos1 BCABAA则 ： 即 ： 两 杆 的 夹 角 值 为 两 杆 横 截 面 面 积 的 比 值 为4454 3 2-15 图 示 桁 架 结 构 ， 各 杆 都 由 两 个 相 同 的 等 边 角 钢 相 并 而 成 。 已 知 其 许 用 应 力 =170MPa，试 选 择 杆 AC和 CD的 角 钢 型 号 。 解 ： 桁 架 结 构 各 杆 均 为 二 力 杆 (拉 压 杆 ) 2263 915101702 1013.3112 mmmFA NACAC 求 杆 AC和 CD的 轴 力 ： 求 支 反 力FAxFAy FB 00 Axx FF kNFFM BA 22012 822042200)( kNFFM AyB 22012 822042200)( EF Ay FNACFNAEA FNCEFNAC FNCDC 由 A点 的 平 衡 条 件 ： kNFF AyNAC 13.311220245cos ( 拉 )由 C点 的 平 衡 条 件 ： kNFF NACNCD 22045cos ( 拉 )由 强 度 条 件 ： NFA 各 杆 都 由 两 个 相 同 的 等 边 角 钢 组 成 AA 22263 647101702 102202 mmmFA NCDCD 选 两 根 8(80 6)等 边 角 钢选 两 根 7(70 5)等 边 角 钢A=687.5mm 2A=939.7 mm2 2-16 已 知 混 凝 土 的 密 度 =2.25 103kg/m3， 许 用 压 应 力 =2MPa。 试 按 强 度 条 件 确 定 图 示 混凝 土 柱 所 需 的 横 截 面 面 积 A1 和 A2。 若 混 凝 土 的 弹 性 模 量 E=20GPa， 试 求 柱 顶 端 的 位 移 。 解 ： 混 凝 土 柱 各 段 轴 力 分 别 为 ： EglEA llgAFEglEAFlEAxFll il iNiiA 2)(2d 222 2112111 )( 1211211 lxgAlgAFFxgAFF NN ( 受 压 )( 2211max211max1 lAlAgFFlgAFF NN 取 A1=0.576m2由 强 度 条 件 ： max AFN 2236 311 576.0)(128.91025.2102 101000 mmglFA 2236 332112 664.0)(128.91025.2102 576.0128.91025.2101000 mmgllgAFA 取 A1=0.664m2混 凝 土 柱 各 段 危 险 截 面 分 别 为 柱 中 截 面 和 柱 底 截 面 ， 其 轴 力 分 别 为 ：x 柱 底 固 定 ， 则 柱 顶 位 移 值 等 于 柱 的 伸 缩 量 ， 可 用 叠 加 原 理 计 算939 3 10202 12128.91025.2576.01020 12101000 mm242.210202 12128.91025.2664.01020 1210)12576.08.925.21000( 939 3 2-18 图 示 拉 杆 由 两 块 钢 板 用 四 个 直 径 相 同 的 钢 铆 钉 连 接 而 成 。 已 知 外 力 F=80kN， 板 宽b=80mm， 板 厚 =10mm， 铆 钉 直 径 d =16mm， 许 用 切 应 力 =100MPa， 许 用 挤 压 应 力bs=300MPa,许 用 拉 应 力 =170MPa 。 试 校 核 接 头 的 强 度 。 (提 示 ： 设 每 个 铆 钉 受 力 相 同 ) 解 ： 剪 切 强 度 计 算 ： 外 力 过 截 面 组 中 心 ， 每 个 铆 钉 受力 相 同 12510)1680( 1080)( 32222 MPadb FAFN综 上 ， 接 头 满 足 强 度 要 求 kNFFs 204 拉 伸 强 度 计 算 ： 可 能 的 危 险 截 面 为 1-1 和 2-2 截 面 5.9916102044 2 32 MPadFAF ss挤 压 强 度 计 算 ： 铆 钉 与 钢 板 材 料 相 同 ， 挤 压 面 为 圆 柱 面 1251016 10204/ 3 bsbsbbs MPadFAF 11 22 12510)16280(4 10803)2( 4/3 31111 MPadb FAFN 2-19 图 示 圆 截 面 杆 件 ， 承 受 轴 向 拉 力 F 作 用 。 设 拉 杆 的 直 径 为 d， 端 部 墩 头 的 直 径 为 D， 高 度为 h， 试 从 强 度 方 面 考 虑 ， 建 立 三 者 间 的 合 理 比 值 。 已 知 许 用 应 力 =120MPa ， 许 用 切 应 力=90MPa ， 许 用 挤 压 应 力 bs=240MPa 。 解 ： 可 能 发 生 的 破 坏 为 墩 头 的 剪 切 和 挤 压 破 坏 、 杆 件 的 拉 伸 破 坏 ，合 理 的 尺 寸 应 使 剪 切 面 上 的 切 应 力 、 最 大 挤 压 应 力 和 杆 件 横 截 面 上拉 应 力 之 间 的 比 值 等 于 相 应 的 许 用 应 力 之 间 的 比 值 ， 即 ： 4/)1/(4/)( 22222 dDd FdD FAFbsbbs dhFAFs 则 有 ： 4/2dFAFN 4:8:3120:240:90: bsbs其 中 ： 3434 dhhd ddDdDbs 225.1262112 1:333.0:225.1: dhD即 ： 2-20 刚 性 梁 用 两 根 钢 杆 和 悬 挂 着 ， 受 铅 垂 力 F=100kN作 用 。 已 知 钢 杆 AC 和 BD 的 直 径 分 别 为d1 =25mm 和 d2=18mm ， 钢 的 许 用 应 力 =170MPa， 弹 性 模 量 E=210GPa。(1) 试 校 核 钢 杆 的 强 度 ， 并 计 算 钢 杆 的 变 形 lAC， lBD及 A， B 两 点 的 竖 直 位 移 A， B 。(2) 若 荷 载 F=100kN作 用 于 A点 处 ， 试 求 G点 的 竖 直 位 移 G 。 (结 果 表 明 ， G = A ， 事 实 上 这是 线 性 弹 性 体 中 普 遍 存 在 的 关 系 ， 称 为 位 移 互 等 定 理 。 ) 解 ： (1)以 AB杆 为 对 象 ： 各 杆 满 足 强 度 要 求 135253 101008 231 MPaMPaAFNACAC FFFM NBDA 310)( FFFM NACB 320)( 4/3/2 211 dE FlEAFl ACNACACA mmm 62.11025102103 5.2101008 629 3 4/3/1 222 dE FlEAFl BDNBDBDB mmm 56.11018102103 5.2101004 629 3 131183 101004 2 32 MPaMPaAFNBDBDA B由 变 形 图 ， 可 知 ：G 解 ： (2)以 AB杆 为 对 象 ： 00)( NBDA FFM FFFM NACB 0)( mmdEFlEAFl ACNACACAG 62.14/32323232 211 A 由 变 形 图 ， 可 知 ：GF2-20 刚 性 梁 用 两 根 钢 杆 和 悬 挂 着 ， 受 铅 垂 力 F=100kN作 用 。 已 知 钢 杆 AC 和 BD 的 直 径 分 别 为d1 =25mm 和 d2=18mm ， 钢 的 许 用 应 力 =170MPa， 弹 性 模 量 E=210GPa。(1) 试 校 核 钢 杆 的 强 度 ， 并 计 算 钢 杆 的 变 形 lAC， lBD及 A， B 两 点 的 竖 直 位 移 A， B 。(2) 若 荷 载 F=100kN作 用 于 A点 处 ， 试 求 G点 的 竖 直 位 移 G 。 (结 果 表 明 ， G = A ， 事 实 上 这是 线 性 弹 性 体 中 普 遍 存 在 的 关 系 ， 称 为 位 移 互 等 定 理 。 ) 2-23 图 示 为 在 A端 铰 支 刚 性 梁 AB受 均 布 载 荷 作 用 ， 已 知 钢 杆 CE和 BD 的 横 截 面 面 积 分 别 为A1=400mm2和 A2=200mm2 ； 许 用 应 力 t=160MPa ， 许 用 压 应 力 c=100MPa 。 试 校 核 两 杆的 强 度 。 解 ： 一 次 超 静 定 问 题 ， 以 AB为 对 象 ， 有 ： 1 112111222 65438.123 NNNNN FFFEAlFEAlF 即 ： 0323300)( 212 NNA FFFM 221112 3 ll F N1 FN230kN/mA BC 2 则 有 ： ( 压 )kNFN 57.387330 21 kNFN 14.322 ( 拉 )CE杆 的 强 度 4.964001057.38 311 cNc MPaAF BD杆 的 强 度 05.17.1602001014.32 322 MPaAFN各 杆 满 足 强 度 要 求 。 2-23(2) 图 示 为 在 A端 铰 支 刚 性 梁 AB受 均 布 载 荷 作 用 ， 已 知 钢 杆 BD和 CE 的 横 截 面 面 积 分 别 为A1=400mm2和 A2=200mm2 ； 许 用 应 力 t=160MPa ， 许 用 压 应 力 c=100MPa 。 试 校 核 两 杆的 强 度 。 解 ： 一 次 超 静 定 问 题 ， 以 AB为 对 象 ， 有 ： NCENCENBDCENCEBDNBD FFFEAlFEAlF 310238.143 21 即 ： 0323300)( 2 NBDNCEA FFFM BDBDCECECEBD ll 31FNCE FNBD30kN/mA BC 2 则 有 ： ( 压 )kNFNCE 27.1211135 kNFNBD 91.40 ( 拉 )CE杆 的 强 度 35.612001027.12 32 cNCEc MPaAF BD杆 的 强 度 27.1024001091.40 31 MPaAFNBD各 杆 满 足 强 度 要 求 。 2-25 图 示 钢 杆 ,横 截 面 面 积 A=2500mm2,弹 性 模 量 E=210GPa， 线 膨 胀 系 数 l=12.5 10-6 K -1 ， 轴向 外 力 F=200kN， 温 度 升 高 40C。 试 在 下 列 两 种 情 况 下 确 定 杆 端 的 支 反 力 和 杆 的 最 大 应 力 。 （ 1） 间 隙 =2.1mm； （ 2） 间 隙 =1.2mm 。 解 ： 当 杆 在 轴 载 F 和 温 升 同 时 作 用 下 的 伸 长 小 于 间 隙 时 属 于 静 定 问 题 ， 否 则 杆 将 与 B端 接 触 成 为 超 静 定 问 题 。由 题 义 ， 有 ： lTEAlFl liNi (1) 间 隙 =2.1mm： 0)(200 BC FkNFF则 有 ：l mm0714.23000105.1240250010210 150010200 633 FBFC MPaAF 80250010200 3max (左 段 各 截 面 )(2) 间 隙 =1.2mm： l 杆 将 与 B端 接 触 成 为 超 静 定 问 题则 有 ： ABCB lFFF 有 ： BCNBN FFFFFF lTEAFlEAlFlTEAlFEAlFl lBlNNAB )(5.152)(3000 250010210)2.10714.2( 3 kNNFB )(5.47 kNFFF BC得 : MPaAF B 612500105.152 3max (右 段 各 截 面 ) 2-24一 种 制 作 预 应 力 钢 筋 混 凝 土 的 方 式 如 图 所 示 。 首 先 用 千 斤 顶 以 拉 力 F 拉 伸 钢 筋 (图 a)， 然后 浇 注 混 凝 土 (图 b)。 待 混 凝 土 凝 固 后 ， 卸 除 拉 力 F(图 c)， 这 时 ， 混 凝 土 受 压 ， 钢 筋 受 拉 ， 形成 预 应 力 钢 筋 混 凝 土 。 设 拉 力 使 钢 筋 横 截 面 上 产 生 的 初 应 力 0=820MPa ， 钢 筋 与 混 凝 土 的 弹性 模 量 之 比 为 8:1、 横 截 面 面 积 之 比 为 1:30， 试 求 钢 筋 与 混 凝 土 横 截 面 上 的 预 应 力 解 ： 由 题 义 钢 筋 原 始 长 度 比 混 凝 土 短 ,且 有 ：MPa AFNt 4.64782019151915 011 钢 筋 横 截 面 上预 应 力 (拉 )为 ： 0122 111 1519)1( AFAE AEAF NN lEl 100 混 凝 土 凝 固 卸 除 拉 力 后 ， 钢 筋 和 混 凝 土 所 受 轴 力 大 小 相 等 ，钢 筋 受 拉 ， 混 凝 土 受 压 ， 且 ： )(2)(1 ct ll 即 ： 102211 ElAE lFAE lF NN MPaAFAF tNNc 6.213030 1122 混 凝 土 横 截 面上 预 应 力 (压 )为 ： 3-1 试 作 图 示 各 轴 的 扭 矩 图 (单 位 : kNm)。 2 -+ 2T : 1 -+ 2T : +T : - 0.511 2 +T : moa 3-2圆 轴 的 直 径 d=100mm， 承 受 扭 矩 T=100kNm， 试 求 距 圆 心 d/8、 d/4及 d/2处 的 切 应 力 ， 并 绘出 横 截 面 上 切 应 力 的 分 布 图 。 解 ： 由 扭 转 切 应 力 公 式 ： MPaddTdITpd 1271.08 10100328328 3 348/ dT MPaddTdITpd 2551.04 10100324324 3 344/ MPadTWTpd 5091.0 101001616 3 33max2/ 横 截 面 上 切 应 力 的 分 布 如 图 3-11 图 示 阶 梯 形 圆 轴 ， 装 有 三 个 皮 带 轮 ， 轴 径 d1=40mm、 d2=70mm。 已 知 由 轮 3输 入 的 功 率P3=30kW， 由 轮 1和 轮 2输 出 的 功 率 分 别 为 P1=13kW 和 P2=17kW， 轴 的 转 速 n=200r/min， 材 料的 许 用 切 应 力 =60MPa， 切 变 模 量 G=80GPa， 许 用 扭 转 角 =2/m， 试 校 核 该 轴 的 强 度 与刚 度 。 解 ： 计 算 扭 力 矩 ： /77.104.01080 1807.62032180 49max mGIT pACAC NmnPM 7.6202001395499549 11 4.4904.0 167.620 31max MPaWTpACAC作 扭 矩 图 ， 危 险 截 面 在 AC 段 或 DB 段 ：NmnPM 7.8112001795499549 22 NmnPM 4.14322003095499549 33 -620.7 1432.4T: (Nm) 3.2107.0 164.1432 32max MPaWTpDBDB该 轴 满 足 强 度 与 刚 度 要 求 3-13 已 知 钻 探 机 钻 杆 的 外 径 D=60mm， 内 径 d=50mm， 功 率 P=7.35kW， 转 速 n=180r/min， 钻杆 入 土 深 度 l=40m， 材 料 的 G=80G Pa， =40MPa。 假 设 土 壤 对 钻 杆 的 阻 力 沿 长 度 均 匀 分 布 ，试 求 ： （ 1） 单 位 长 度 上 土 壤 对 钻 杆 的 阻 力 矩 ； （ 2） 作 钻 杆 的 扭 矩 图 ， 并 进 行 强 度 校 核 ；（ 3） A、 B两 截 面 的 相 对 扭 转 角 。 解 ： 求 扭 力 矩 NmM 9.38918035.795490 76.17)6/5(106.0 9.38916 43maxmax MPaWT p mNmlMmMlm /75.9409.3890000 （ 1） 设 阻 力 矩 分 布 集 度 为 m0， 由 钻 杆 的 平 衡 条 件 ：-389.9T： (Nm) （ 2） 作 扭 矩 图 ， 危 险 截 面 为 A 截 面 ：x （ 3） 如 图 取 坐 标 系 ， 有 ：xmxT 0)( pplpl pAB GIlMGIlmxxGImxGIxT 22dd)( 020000 48.8148.0)6/5(106.010802 409.38932 449 弧 度 3-16 如 图 所 示 ， 将 空 心 圆 杆 （ 管 ） A套 在 实 心 圆 杆 B的 一 端 。 两 杆 在 同 一 横 截 面 处 有 一 直 径 相同 的 贯 穿 孔 ， 但 两 孔 的 中 心 线 构 成 一 角 ， 现 在 杆 B上 施 加 扭 力 偶 使 之 扭 转 ， 将 杆 A和 B的 两孔 对 齐 ， 装 上 销 钉 后 卸 去 所 施 加 的 扭 力 偶 。 试 问 两 杆 横 截 面 上 的 扭 矩 为 多 大 ？ 已 知 两 杆 的 极惯 性 矩 分 别 为 IpA和 IpB， 且 材 料 相 同 ， 切 变 模 量 为 G。 解 ： 一 次 超 静 定 ： TTT BA BA BpAApB pBpABApBBpAA lIlI IGITTTGITlGITl 由 平 衡 条 件 ：由 变 形 协 调 条 件 ： 4-1 求 图 示 各 梁 指 定 截 面 1-1、 2-2、 3-3上 的 剪 力 和 弯 矩 。 这 些 截 面 分 别 是 梁 上 A、 B或 C点 的紧 邻 截 面 。 解 ： 求 支 反 力 ：97 1 qlFF Ays 97qlFAy 21 qlM 由 截 面 法 ：FAy 972 qlFF Ays 973 qlFF Ays 222 27203 qllFqlM Ay 223 27203 qllFqlM Ay 2)3(2)( xaqxM 4-2 列 出 图 示 各 梁 的 剪 力 和 弯 矩 方 程 ， 并 绘 其 剪 力 图 和 弯 矩 图 ， 并 确 定 | FS |max， | M |max 及 其所 在 截 面 的 位 置 。 解 ： 如 图 建 立 坐 标 系 ： 454 qaFqaF ByAy ax 20 4)( qaFxF Ays xFAyA BFBy xqaxFxM Ay 4)( axa 32 )3()( xaqxFs 22maxmax qaMqaFs qaqa/4- +FS : qa2/2-M : 最 大 剪 力 在 B 支 座 右 侧 截 面 ， 最 大 弯 矩 在 B 截 面 。 4-3 利 用 微 分 关 系 ， 快 速 画 出 图 示 各 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 +qaF s : qa2qa2/2 +M : - +5qa/4 3qa/4qa/4Fs :+ -9qa2/ 32qa2/ 4qa2 M : 15- -+10 5Fs : ( kN )-2040 10 1.25M : ( kNm ) 4-4 画 图 示 带 有 中 间 绞 各 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 （ 提 示 ： 在 中 间 绞 处 拆 开 求 其 作 用 力 ） 。 解 ： 求 支 反 力 ： 232 qaFqaF BD 作 内 力 图 +-qa qa/2Fs : +-qa2 / 2 qa2 / 2M : FDFB 4-5 画 图 示 各 刚 架 的 轴 力 图 、 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 解 ： 求 支 反 力 ：0 )(2 )(2 Bx eBy eAyF aMF aMFAMe (a)aa 2aB +Me /2a FN : -FS :Me /2a Me M :Me 4-5 画 图 示 各 刚 架 的 轴 力 图 、 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 解 ： 求 支 反 力 ：A(b) lq lB )(2 )(2 )( qlF qlF qlFByAyAx -FN :+ qlql / 2 ql / 2- + qlql/2FS :- -ql M :ql2/2 ql2ql2ql2/2 4-8 若 已 知 图 示 各 简 支 梁 的 剪 力 图 ， 且 梁 上 均 无 集 中 力 偶 作 用 ， 试 画 各 梁 的 弯 矩 图 和 载 荷 图 。 解 ：+M : q qqqa2qa2/2 qa2/2 4-9 梁 的 正 方 形 截 面 若 处 于 图 示 二 种 不 同 位 置 时 ， 试 求 它 们 的 弯 矩 之 比 。 设 两 者 的 最 大 弯 曲正 应 力 相 等 。 解 ： 求 各 截 面 的 抗 弯 截 面 模 量 ：612 34 hWhI zaza 212/26/3 3 h hWWMM zbzaba zbbbzaaa WMWM maxmax 由 弯 曲 正 应 力 公 式 ： 1222/212 34 hh IWhI zbzbzb 由 题 义 ： maxmax ba zbbzaa WMWM 即得 4-11 图 示 圆 截 面 梁 ， 外 伸 部 分 为 空 心 管 ， 试 作 其 弯 矩 图 ， 并 求 其 最 大 弯 曲 正 应 力 。 解 ： 作 弯 矩 图 kNFAy 357.31447 32/3 1max 1 1max1max DMWM z 由 弯 矩 图 ， 可 能 的 危 险 截 面 为 5kN 集 中 力作 用 处 截 面 和 B支 座 右 侧 截 面 ：FAy FByA B kNFBy 643.714107 0.91.343 0.029M : ( kNm ) -+ MPaPa 3.6306.0 10343.132 3 3 32/)1( 43 2max2 2max2max D MWM z MPaPa 1.6260/45106.0 109.032 43 3 MPa3.63),max( 2max1maxmax 4-13 图 示 为 铸 铁 水 平 梁 的 横 截 面 ， 若 其 许 用 拉 伸 应 力 t =20MPa， 许 用 压 缩 应 力c=80MPa ， 试 求 该 截 面 可 承 受 的 最 大 正 弯 矩 之 值 。 解 ： 如 图 取 坐 标 系 ， 求 形 心 主 轴 (中 性 轴 )位 置 mmASyy zc 83.705075100150 5.875075751001501 23 )83.7075(10015012150100 zI )(854.25)(1017.79 5859.2580 322max kNmNmy IMyIM zcczc 求 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩yzz0 y1=ycy2 mmy 17.7983.701502 4623 105859.25)83.705.87(5075127550 m正 弯 矩 作 用 下 截 面 上 边 缘 有 最 大 压 应 力 ， 下 边 缘 有 最 大 拉 应 力 ：)(225.7)(1083.70 5859.2520 311max kNmNmy IMyIM zttzt )(225.7)225.7,854.25min( kNmM 4-16求 图 示 梁 中 分 离 体 （ 图 中 阴 影 部 分 ） 各 个 面 上 的 正 应 力 和 切 应 力 的 合 力 。 解 ： 左 侧 面 ： kNmMkNFs 4840 0F )(103.02.02 05.02.01040323 3*max kNxbAFxISFxfF szzs 右 侧 面 ： )(202 kNFF s )(2403.02.04 3.02.010486221 23 kNWMhbF z kNmMkNFs 5040 )(202 kNFF s )(2503.02.04 3.02.010506221 23 kNWMhbF z上 侧 面 (中 性 层 )：下 侧 面 及 前 后 侧 面 (自 由 表 面 )：00 FF 4-19图 示 悬 臂 梁 由 三 块 50mm 100mm的 木 板 胶 合 而 成 ， 在 其 自 由 端 作 用 有 横 力 F。 若 已 知 木 材的 =10MPa、 = 1MPa ， 胶 合 缝 上 的 1 = 0.35MPa ， 梁 长 l =1m， 试 求 许 可 载 荷 F。 解 ： 危 险 截 面 为 固 定 端 处 ：maxmax zz WFlWM FFFlM s maxmax kNNlWF z 75.36 15.01.01010 26 由 正 应 力 强 度 条 件 ：由 切 应 力 强 度 条 件 ： 2323 maxmax AFAFs kNNAF 103 1.015.010232 6 由 胶 合 缝 上 切 应 力 强 度 条 件 ： 1*max1 bIFSbI SF z zz zs kNNS bIF z z 94.305.01.005.012 1.015.01.01035.0 36*1 kNF 75.3)94.3,10,75.3min( 4-21 当 横 力 F直 接 作 用 在 图 示 简 支 梁 AB的 中 点 时 ， 梁 内 最 大 正 应 力 超 标 30%， 为 了 安 全 ， 在其 中 部 配 置 图 示 辅 助 简 支 梁 CD， 试 求 其 最 小 长 度 a。 解 ： 横 力 直 接 作 用 梁 跨 中 和 配 置 辅 助 梁 后 主 梁 内 最 大弯 矩 分 别 为 : 4 )(4 1max0max alFMFlM mla 39.13.1 63.03.13.0 3.11max0max1max0max al lMM由 题 义 ：即 ： 5-2 试 用 积 分 求 图 示 各 梁 的 挠 度 和 转 角 方 程 ， 并 计 算 各 梁 截 面 A的 挠 度 与 转 角 。 已 知 各 梁 的 EI为 常 量 。 解 ： 取 坐 标 系 求 弯 矩 方 程 (分 段 函 数 ) )20(22389)( 22 lxqxqlxqlxM )20( lx分 别 作 两 次 积 分 ：x xy )2(2 )2/(22389)( 222 lxllxqqxqlxqlxM 13221 64389)( CxqxqlxqlxEI )2( lxl 133222 )2/(664389)( DlxqxqxqlxqlxEI 2143221 244169)( CxCxqxqlxqlxEIy 21443222 )2/(24244169)( DxDlxqxqxqlxqlxEIy 边 界 条 件 ： )2/()2/()2/()2/(0)0(0)0( 121211 lllylyy 5-2 试 用 积 分 求 图 示 各 梁 的 挠 度 和 转 角 方 程 ， 并 计 算 各 梁 截 面 A的 挠 度 与 转 角 。 已 知 各 梁 的 EI为 常 量 。 )20( lx由 边 界 条 件 ：x xy 011 CD )41827(24)( 221 xlxlEIqxx ) 2( lxl )2448(48)( 222 xlxlEIqlx )21227(48)( 2221 xlxlEIqxxy )641928(384)( 32232 xlxxllEIqlxy 则 有 ： 022 CD )(4825)()(12845)( 3242 EIqllEIqllyy AA 5-3 用 叠 加 法 求 图 示 各 梁 指 定 截 面 处 的 挠 度 与 转 角 ， (a)求 yC 、 C ； (b)求 yC 、 A 、 B 。 解 ： (a)将 AB段 视 为 刚 化 ， 相 当 于 固 定 端 EIqlEIaqlay BCBC 2424 322322 EIaqlEIaMC 201 EIaqlEIaMyC 22 22201 将 BC 段 视 为 刚 化 ， AB 梁 相 当 于 受 均 布 载 荷 和 一端 集 中 力 偶 同 时 作 用 的 简 支 梁 ， 分 别 计 算q(1) ql2ql2(2)(3) EIqlEIaqlEIlaMay BCBC 333 3333033 )(24 )127(3242 23322321 EI alaqlEIaqlEIaqlEIaqlyyyy CCCC )(24 )247(324 2332 321 EI alqlEIqlEIqlEIaqlCCCC 5-3 用 叠 加 法 求 图 示 各 梁 指 定 截 面 处 的 挠 度 与 转 角 ， (a)求 yC 、 C ； (b)求 yC 、 A 、 B 。 解 ： (b)分 别 计 算 各 力 单 独 作 用 时 位 移 ， 然 后 叠 加EIFlEIlMyCM 1616 320 EIFlEIFlEIFly BFAFCF 161648 223 EIFlEIlMEIFlEIlM BMAM 6633 2020 )(121648 333 EIFlEIFlEIFlyyy CMCFC )(4819316 222 EIFlEIFlEIFlAMAFA )(4811616 222 EIFlEIFlEIFl BMBFB 5-4 滚 轮 在 图 示 两 种 梁 上 滚 动 。 若 要 求 滚 轮 在 梁 上 恰 好 走 一 条 水 平 路 径 ， 试 问 梁 的 轴 线 预 先应 弯 成 怎 样 的 曲 线 ？ 已 知 梁 的 EI为 常 数 。 解 ： 由 题 义 ， 梁 轴 线 上 任 一 点 的 纵 坐 标 等 于 滚 轮 移 到 此处 时 该 点 的 挠 度 大 小 ， 由 受 集 中 力 作 用 的 悬 臂 梁 在 集 中力 作 用 点 的 挠 度 公 式 ， 得 ：EIFxy 3 3 5-8 试 求 图 示 梁 的 约 束 反 力 ， 并 画 出 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 解 ： 一 次 超 静 定 梁 ， 解 除 B 端 约 束 ， 代 之 以 约 束 反 力 ， 由约 束 处 的 位 移 条 件 ， 有 03)2/()2/(2 )2/( 3020 EIlFEI llMEIlMy ByB )(89 0 lMFBy则 ：即 ：M0 F By )(8)(89 00 MMlMF AAy 进 而 可 画 出 内 力 图Fs ： 9M0 / 8l-M ： M0 / 8 7M0 / 169M 0 / 16- + 解 ： 由 梁 变 形 的 微 分 方 程 l lxMyEIxM 4 )26()( 0 5-11 跨 长 为 l、 刚 度 EI为 常 数 的 简 支 梁 ， 挠 曲 线 方 程 为 ， 试 确 定 梁 上 外 载 。 lEI lxxMxy 4 )()( 230 0dd)( 22 xMxq由 梁 平 衡 微 分 方 程弯 矩 方 程 为 一 段 连 续 函 数 ， 则 梁 内 无 集 中 力 和 集 中 力 偶 ， 且 有 ： 00 )(2)0( MlMMM 则 梁 受 力 如 图 ： M0M0 / 2 5-14 一 悬 臂 梁 AB在 自 由 端 受 横 力 F作 用 ， 因 其 刚 度 不 足 ， 用 一 短 梁 加 固 如 图 所 示 ， 试 计 算 梁AB的 最 大 挠 度 的 减 少 量 。 设 二 梁 的 弯 曲 刚 度 均 为 EI。 （ 提 示 ： 如 将 二 梁 分 开 ， 则 二 梁 在 C点的 挠 度 相 等 。 ） 解 ： 一 次 超 静 定 梁 ， 解 除 B 端 约 束 ， 代 之 以 约 束 反 力 ，由 约 束 处 的 位 移 条 件 ， 有 EIFlEIlFEI llFEIlFy CCCB 192254852 )2/()2/(3 )2/( 3323 EIlFyllEIlFEIlFy CCCC 3 )2/()2/3(6 )2/(3 )2/( 32231 FFC 45AB 梁 最 大 挠 度 在 自 由 端 ， 加 固 后 最 大 挠 度 的 减 少 量 就 是 FC 单 独 作 用 于 悬 臂 梁 AB时 自 由 端 的 挠 度 。即 ：FFC 加 固 后 AB 梁 最 大 挠 度 的 大 小 为EIFlEIFlEIFlyB 6413192253 333 A-2 试 求 图 示 平 面 图 形 对 x轴 和 y轴 的 惯 性 矩 。解 ： 组 合 图 形 ， 可 视 为 矩 形 挖 去 两 个 半 圆 641264212122 434321 dbhdbhIII xxx )(22 222121 00 AbIIIII yyyyyy 6166412 32243 bddbdhb 8)322(16)988(212 2243 ddbdhb