曲面与曲线方程

E-mail: 5 曲 面 及 其 方 程在 前 面 ， 我 们 已 知 ， 空 间 平 面 对 应 于 一 个 三元 一 次 方 程 . 0 DCzByAx 反 之 ， 任 意 一 个 三 元 一 次 方 程 也 对 应 于 空 间中 的 一 个 平 面 .如 果 平 面 的 方 程 是 (1)， 其 含 义 是 平 面 上 任 意 动 点 (x, y, z)都 是 (1)的 解 . 而 (1)的 每 一 组 解也 对 应 于 上 某 一 点 . (1) E-mail: 定 义 1 设 空 间 曲 面 S,及 三 元 方 程 F(x, y, z)=0有 如下 关 系 ：（ 1） 曲 面 S 上 任 一 点 M(x, y, z)， 其 坐 标 x, y, z 都 满 足 F(x, y, z)=0； （ 2） 不 在 曲 面 S 上 任 一 点 M(x, y, z) 的 坐 标 不 满 足 方 程 F(x, y, z)=0；则 说 明 方 程 F(x, y, z)=0为 曲 面 S的 方 程 . 而 曲 面 S 为 F(x, y, z)=0的 图 形 .一 曲 面 方 程1、 曲 面 方 程 的 概 念 E-mail: F(x， y， z )0Ox yzS M(x， y， z )研 究 曲 面 的 两 个 基 本 问 题 ： （ 1） 已 知 曲 面 ， 如 何 求 曲 面 的 方 程 ？ （ 2） 已 知 方 程 ， 如 何 描 绘 其 曲 面 ？ E-mail: Oz x yM0R M 例 1 求 以 在 M 0(x 0,y 0,z 0)球 心 , R为 半 径 的 球 面 的 方 程 解 设 M(x， y， z)是 球 面 上 的 任 一 点 ， 那 么|M 0M|R由 于 | M 0M|所 以 R，或 (xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2这 就 是 建 立 球 心 在 点 M 0(x 0， y 0， z 0)半 径 为 R的 球 面 的 方 程 特 殊 地 ， 球 心 在 原 点 O(0， 0， 0)、半 径 为 R的 球 面 的 方 程 为x 2y 2z 2R 2 202020 )()()( zzyyxx ，202020 )()()( zzyyxx E-mail: 例 2 设 有 点 A(1,2,3)和 B(2,1,4)， 求 线 段 AB的 垂 直 平 分 面 的 方 程 解 由 题 意 知 道 ， 所 求 的 平 面 就 是 与 A和 B等 距 离 的 点 的 几 何 轨 迹 设 M(x， y， z)为 所 求 平 面 上 的 任 一 点 ， 由 于| AM|BM|，所 以等 式 两 边 平 方 ， 然 后 化 简 得2x6y2z70这 就 是 线 段 AB的 垂 直 平 分 面 的方 程 Oz x yA BM222 )3()2()1( zyx 222 )4()1()2( zyx 222 )3()2()1( zyx 222 )4()1()2( zyx E-mail: 解 通 过 配 方 ， 原 方 程 可 以 改 写 成 (x1) 2(y2) 2z 25例 3 方 程 x 2y 2z 22x4y0表 示 怎 样 的 曲 面 ？这 是 一 个 球 面 方 程 ， 球 心 在 点 M 0(1， 2， 0)、比 较 ： 球 心 在 点 M 0(x 0， y 0， z 0)、 半 径 为 R的 球 面 的 方 程 (xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 25半 径 为 R E-mail: 一 般 地 ， 设 有 三 元 二 次 方 程A x 2A y 2A z 2D x E yF zG0，这 个 方 程 的 特 点 是 缺 x y ， y z ， z x 各 项 ， 而 且 平 方项 系 数 相 同 ， 只 要 将 方 程 经 过 配 方 就 可 以 化 成 方 程(xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2的 形 式 ， 它 的 图 形 就 是 一 个 球 面 E-mail: 空 间 曲 线 可 以 视 为 两 区 面 的 交 线 ， 设 两 曲 面 的方 程 分 别 为 ： ( , , ) 0 ( , , ) 0F x y z G x y z 和则 空 间 曲 线 L的 一 般 方 程 ：( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z （ *）有 如 下 关 系 ：（ 1） 曲 线 L上 所 有 点 的 坐 标 都 满 足 （ *）（ 2） 坐 标 满 足 （ *） 的 所 有 点 都 在 曲 线 L上 。 则 称 方 程 （ *） 为 曲 面 L的 一 般 方 程 ， 而 曲 线 L称 为 方 程 组 （ *） 对 应 的 曲 线 。例 如 ： 2 2 2 20 x y z Rx y z 方 程 组 表 示 空 间 中 的 一 个 圆 E-mail: x yz2 2 2x y R 引 例 .分 析 方 程 是 怎 样 的 曲 面 沿 曲 线 C平 行 于 z轴 的 一 切 直 线 所 形 成 的 曲 面 称为 圆 柱 面 ， 其 上 所 有 点 的 坐 标 都 满 足 此 方 程 ,故 在 空间 上 ： 2 2 2x y R 表 示 圆 柱 面 o C lM1M2 2 2 ,xoy x y R C 解 在 面 上 ， 表 示 圆1( , ,0),C M x yZ l在 圆 上 任 取 一 点 过 此 点 作 平 行与 轴 的 直 线 2 2 2, ( , , )z M x y zx y R 对 任 意 点 的 坐标 也 满 足 方 程1、 柱 面二 、 常 见 曲 面 方 程 E-mail: 类 似 圆 柱 面 给 出 一 般 柱 面 的 定 义 :l一 条 直 线 在 空 间 平 行 于 固 定 方 向 运 动 ，xy母 线 平 行 与 z轴 ， 柱 面 在 平 面 ( , ) 0f x y 容 易 验 证 此 时 该 柱 面 的 方 程为 （ 如 右 图 所 示 ） 但 总 和 某 一 条固 定 的 曲 线 相 交 ， 这 样 所 产 生 的 曲 面 叫 做 柱 面 ，l 直 线 称 为 ， 曲 线 叫 做 柱 面母 线 的 准 线 .( , ) 0,0,f x yz 的 准 线 方 程 , ( , ) 0y z h z xx y 同 理 ,方 程 g( )=0和 分 别 表 示 母 线 平行 和 轴 的 柱 面 . Ox yz Cl母 线 准 线 E-mail: 例 4 设 ( , ) 00 x yz ： ， 求 以 作 为 准 线 ， 母 线 平 行 于z轴 的 柱 面 方 程 。解 ： 在 柱 面 上 任 意 取 一 点 M(x,y,z),则 M必 在 某 条 母 线 上 ， 它 与 的 交 点 为 M1(x,y,0),从 而 有( , ) 0 x y 另 一 方 面 ： 若 M(x,y,z)满 足 ( , ) 0 x y ， 则 M必 在 经 过 M(x,y,0)的 母 线 上 ， 且 z=0， 故 所 求柱 面 方 程 为 ， 故 曲 面 上 任 一 点 都 满 足 ( , ) 0 x y ( , ) 0 x y E-mail: 【 注 】 此 表 达 式 中 ， 缺 z。同 理 ： 以 ( , ) 0 ( , ) 0,0 0 x z y zy x 为 准 线 ， 母 线 分 别 平 行于 y， z轴 的 柱 面 方 程 分 别 为 ： ( , ) 0, ( , ) 0 x z y z 其 中 ： 2 2 2y z 代 表 母 线 平 行 于 x轴 的 圆 柱 面 ； 2 2 0 x z 代 表 母 线 平 行 于 y轴 的 圆 柱 面 ； E-mail: 下 面 介 绍 一 般 锥 面 定 义 ：0 0.P P 一 直 线 通 过 一 定 点 与 一 条 不 经 过 的 定 曲 线相 交 而 移 动 所 产 生 曲 面 为 锥 面的其 中 定 点 称 为 锥 面 的 顶 点 ， 定 曲 线 称 为 锥 面 的 准线 ， 构 成 准 线 的 直 线 称 为 锥 面 的 母 线 .(见 下 图 )2.锥 面 P 0P E-mail: 特 别 ， 当 准 线 为 圆 时 就 是 我 们 常 见 的 圆 锥 面 .0 x yz l E-mail: 5 求 以 坐 标 原例 点 为 顶 点 ， 22 2( ) 1, ,tx ty tz ca b 2代 入 的 方 程 得( ) 及 2 22 2 1 .( 0)x ya bz c c 椭 圆 ： ,为 准 线 的 锥 面 方 程( , , )P x y z设 是 该 锥 面 上 任解 意 一 点 ，1 1 1 1( , , ),P P x y z过 的 母 线 交 准 线 于 点 1 1 1 1, , , .OP tOP x tx y ty z tz 则 有 即 E-mail: ,t消 去 参 数 得 到 锥 面 方 程 .a b称 上 述 锥 面 为 二 次 锥 面 ， 时 为 圆 锥 面2 2( ) 1,. cx cyz za b 2( ) 2 2 22 2 2 0 x y za b c 即 E-mail: l 一 条 曲 线 绕 一 条 直 线 旋 转 所 产 生 的 曲 面 称 为旋 转 曲 面 .曲 线 称 为 母 线 ， l直 线 称 为 轴 .l过 的 半 平 面 与 旋 转 曲 面 的 交 线 称 为 经 线 .圆 柱 面 、 圆 锥 面 都 是 旋 转 曲 面 .母 线 上 的 点 旋 转 所 得 的 圆 称 为 纬 圆 ，3.旋 转 曲 面 l E-mail: 总 结 ： 2 22 2L ( , ) 0( , ) 0( , ) 0yoz f y zy f y x zz f x y z （ 1） 与 在 平 面 ， 其 方 程 为则 绕 旋 转 得 方 程 为 ：绕 旋 转 得 方 程 为 ： 2 22 2L ( , ) 0( , ) 0( , ) 0 xoy x yx x y zy x z y （ 2） 设 与 在 平 面 ， 其 方 程 为则 绕 旋 转 一 周 所 得 方 程 为 ：绕 旋 转 一 周 所 得 方 程 为 ： 2 22 2L ( , ) 0( , ) 0( , ) 0 xoz x zx x y zz x y z （ 3） 设 与 在 平 面 ， 其 方 程 为则 绕 旋 转 一 周 所 得 方 程 为 ：绕 旋 转 一 周 所 得 方 程 为 ： E-mail: 例 6 把 椭 圆绕 x轴 旋 转 ， 所 形 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ：2 22 2 10 x za cy 2 2 2 2 2 1x y za c 绕 z轴 旋 转 ， 所 形 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ：2 2 22 2 1x y za c 这 两 种 曲 面 均 称 为 旋 转 椭 球 面 。 E-mail: 例 7 把 曲 线绕 x轴 旋 转 ， 所 形 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ：2 22 2 10 x ya bz 2 2 2 2 2 1x y za c 绕 z轴 旋 转 ， 所 形 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ：2 2 22 2 1x y za c 这 两 种 曲 面 均 称 为 旋 转 双 曲 面 。 E-mail: 例 8 把 抛 物 线绕 x轴 旋 转 ， 所 形 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ：2 20y xz 2 2 2y z x 绕 y轴 旋 转 ， 所 形 成 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ：4 2 24( )y x z 这 两 种 曲 面 均 称 为 旋 转 抛 物 面 。 E-mail: 2 2 22 2 2 1( , , )x y z a b ca b c 方 程 为 正 的 常 数所 表 示 的 曲 面 称 为 椭 球 面 . .a b c 特 别 地 ， 时 为 球 面当下 面 讨 论 椭 球 面 地 性 质(1)对 称 性 ： 椭 球 面 关 于 三 个 坐 标 平 面 、 三 个 坐 标 轴 、及 原 点 都 是 对 称 . (2)有 界 性 : , , , , ,x a y b z cx a y b z c 因 此 椭 球 面 在 六 个 面所 围 的 长 方 体 内 .4.椭 球 面 E-mail: (3)与 坐 标 轴 的 交 点(4)平 截 线 ,0,0,0 ab c 显 然 椭 球 面 与 三 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为 ( )、(0, ),(0,0, ).xy z h用 平 行 与 坐 标 平 面 的 截 椭 球 面 ， 所 得 截 线 2 2 22 2 21 ,x y ha b cz h 方 程 为 E-mail: 2 22 2 1,ii 0 0,x yh xy a bz （ ） 当 时 截 线 为 在 平 面 的 椭 圆iii h c （ ） 当 时 椭 圆 缩 成 两 点 (0,0, c)i h c hh（ ） 当 时 ， 截 线 是 平 面 上 的 一 个 中 心 在(0,0, )的 一 个 椭 圆 ，h显 然 椭 圆 随 着 的 增 大 而 不 断 减 小 ；此 时 交 线 椭 圆 最 大 .zx y0 E-mail: (1)单 叶 双 曲 面 x yz2 2 22 2 2 1 ( , , )x y z a b ca b c 方 程 为 正 数所 确 单定 叶的 曲 面 称 为 双 曲 面 . 5、 双 曲 面 E-mail: 显 然 由 类 似 的 讨 论 可 知 单 叶 双 曲 面 对 于 三 个坐 标 轴 、 三 个 坐 标 平 面 和 原 点 都 是 对 称 的 .xy z k平 截 线 ： 用 一 组 平 行 与 平 面 的 平 面 去 截 单 叶双 曲 面 ， 可 得 一 族 半 轴 各 不 相 同 的 椭 圆 平 面 2 2 2 21 1, .a ba c k b c kc c 显 然 该 椭 圆 的 半 轴 为 2 2 22 2 21 ,.x y za b cz k 和 曲 面 的 交 线 为 E-mail: yz xz用 平 行 与 平 面 以 及 平 行 于 平 面 的 平 面 去 截 单 叶双 曲 面 其 交 线 都 是 双 曲 线 ， 方 程 为 2 22 22 22 2 1,(1 ) (1 ),x zk ka cb by k 和 2 22 22 22 2 1,(1 ) (1 ),y zk kb ca ax k ,0,0 ,0a b 与 坐 标 的 交 点 ： ( ),(0, )为 单 叶 双 曲 面与 坐 标 轴 的 交 点 ， 称 为 其 顶 点 ， 对 称 中 心 称 为 中 心 。 E-mail: (2)双 叶 双 曲 面 2 2 22 2 2 1( , , )x y z a b ca b c 方 程 为 正 常 数所 确 定 的 曲 面 ， 称 为 双 叶 双 曲 面 . 显 然 双 叶 双 曲 面 是 关 于 三 个 坐 标 平 面 、 三 个坐 标 轴 及 原 点 对 称 . 2 2 22 2 21 ,. yz xzy z kb c ax k 平 截 线 ： 曲 面 与 平 行 于 平 面 ， 平 心 于 平 面 的交 线 为 E-mail: zx yo2 2 22 2 21 ,. .x z ka c by k 和显 然 他 们 都 是 双 曲 线xy kk c 用 平 行 于 平 面 的 平 面 z 去 截 曲 面当 时 和 曲 面 没 有 交 点 ；k c 当 时 和 曲 面 的 交 点 为 (0,0, c) .k c当 时 和 曲 面 的 交 线 为 椭 圆 E-mail: (1)椭 圆 抛 物 面 0z xy由 上 式 可 知 ， 所 以 抛 物 面 与 平 面 的 交 点 仅 为坐 标 原 点 .,xz yz与 平 面 的 交 线 以 次 为 ：2 22 2 2 ( , )x y z a ba b 方 程 为 正 常 数所 确 定 的 曲 面 为 椭 圆 抛 物 面 . 22 2 2 ,2 , 2 0,0, yx zz ba xy 和 6.抛 物 面 E-mail: yx z o ( 0)xy z k k 平 行 与 平 面 的 平 面 与 该 抛 物 面 的 截 线 为2 22 2 2 ,x y ka bz k 是 一 椭 圆 ， 则 该 抛 物 面 的 图 像 为右 图 所 示 E-mail: (2)双 曲 抛 物 面 ,xz yz z显 然 曲 面 关 于 平 面 和 轴 都 是 对 称 的 . 0 ,0 , .0h a h b hh a h b hh 时 ， 半 轴 分 别 为 ；时 半 轴 分 别 为 时 为 两 条 直 线 .2 22 2 ( , )2x y z a ba b 方 程 为 正 常 数所 确 定 的 曲 面 称 为 双 曲 抛 物 面 .xy z h用 平 行 与 线 平 面 的 平 面 截 该 曲 面 ， 截 线 为2 22 2 2 ,.x y ha bz h 双 曲 面 ， 方 程 为 E-mail: ,x h y h 用 平 面 截 曲 面 ， 截 线 为 抛 物 线 ， 方 程 为 xyz o2 22 2 2 22 2( ), ( ),. .h hy b z x a za bx h y h 和 图 像 为 下 图 所 示 ： E-mail: 在 讲 直 线 与 平 面 之 关 系 时 ， 曾 介 绍 过 如 何求 空 间 直 线 在 某 平 面 上 的 投 影 . 下 面 介 绍 一 般 的空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 .设 空 间 曲 线 F (x, y, z)=0,G (x, y, z)=0,消 去 z， 得 H(x, y)=0.C :三 、 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影H(x, y)=0 z=0即 为 曲 线 C 在 xoy 面 的 投 影 曲 线 方 程 . E-mail: 【 注 】同 理 ： 消 去 x得 到 在 yoz上 面 的 投 影 方 程 ； 消 去 y得 到 在 xoz上 面 的 投 影 方 程 ； E-mail: 例 9 求解 ： 2 2 2 22 2 2 2x y z Rx y z Rz 在 三 个 坐 标 轴 上 的 投 影 曲 线2 2 23(1) 40 x y Rz xoyz 消 去 得 ： 在 上 的 曲 线 方 程3(2) ,2 20Rzx y R yozx 消 去 得 ： , 在 上 的 曲 线 方 程 3(3) ,2 20Rzy x R xozy 消 去 得 ： , 在 上 的 曲 线 方 程 E-mail: 练 习 ： 求 球 面 x2+y2+z2=1. 和 x2+(y1)2+(z1)2=1 的 交 线 在 xoy 面 上 的 投 影 方 程 .解 ： 交 线 方 程 为 x2+y2+z2=1 x2+(y1)2+(z1)2=1. zx y E-mail: 投 影 方 程 ： x2+2y22y=0，z=0.两 式 相 减 ： 2y+2z=2. 即 z=1y. 代 入 第 一 个 方 程 . x2+y2+(1y)2=1, x2+2y22y=0.