曲率求法与方程求解

2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 1 一 、 复 习 提 问1、 微 分 中 值 定 理2、 洛 必 达 法 则3、 单 调 性 与 凹 凸 性 的 判 定 方 法4、 极 值 于 最 值 的 判 定 方 法 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 2 第 七 节 曲 率一 、 弧 微 分二 、 曲 率 及 其 计 算 公 式三 、 曲 率 圆 与 曲 率 半 径四 、 曲 率 中 心 的 计 算 公 式 渐 屈 线与 渐 伸 线 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 3 N RTA0 x Mx xx xyo. ),()(内 具 有 连 续 导 数在 区 间设 函 数 baxf ),(: 00 yxA基 点 ,),( 为 任 意 一 点yxM规 定 ： ;)1( 增 大 的 方 向 一 致曲 线 的 正 向 与 x,)2( sAM ., 取 负 号相 反 时取 正 号一 致 时 的 方 向 与 曲 线 正 向当 ss AM一 、 弧 微 分 * x y 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 4 ).(xss 单 调 增 函 数 ),( yyxxN 设 NTMTMNMN ,0时当 x22 )()( yxMN xxy 2)(1 ,1 2 dxysMN ,ds 22 )()( dydxMT ,1 2 dxydyyNT ,0 .1 2 dxyds 故 ,)( 为 单 调 增 函 数xss .1 2dxyds 故 N RTA0 x Mx xx xyo x y 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 5 曲 率 是 描 述 曲 线 局 部 性 质 （ 弯 曲 程 度 ） 的 量 1M 3M) 22M 2S1S M M1S 2SN N)弧 段 弯 曲 程 度越 大 转 角 越 大 转 角 相 同 弧 段 越短 弯 曲 程 度 越 大1)1、 曲 率 的 定 义二 、 曲 率 及 其 计 算 公 式 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 6 ) SS ). M.M C0My xo设 曲 线 C是 光 滑 的 ，.0 是 基 点M ,sMM （ . 切 线 转 角 为MM .sKMM 的 平 均 曲 率 为弧 段 （定 义 sK s 0lim曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ,lim0 存 在 的 条 件 下在 dsdss .dsdK 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 7 注 意 : (1) 直 线 的 曲 率 处 处 为 零 ;(2) 圆 上 各 点 处 的 曲 率 等 于 半 径 的 倒 数 ,且 半 径越 小 曲 率 越 大 .2、 曲 率 的 计 算 公 式 ,)( 二 阶 可 导设 xfy ,tan y ,1 2 dxyyd .)1( 232yyk ,arctan y有 .1 2dxyds ) SS ). M.M C0My xo 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 8 ,),( ),( 二 阶 可 导设 ty tx .)()( )()()()( 2322 tt ttttk ,)( )(ttdxdy .)( )()()()( 322 t ttttdxyd 2004-4-10 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 9 例 1 ?2 上 哪 一 点 的 曲 率 最 大抛 物 线 cbxaxy 解 ,2 baxy ,2ay .)2(1 2 232baxak 显 然 , ,2 时当 abx .最 大k ,)4 4,2( 2 为 抛 物 线 的 顶 点又 a acbab .最 大抛 物 线 在 顶 点 处 的 曲 率3、 应 用 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 10 定 义 .),( ,.1 , ,).0(),( )( 处 的 曲 率 圆称 此 圆 为 曲 线 在 点如 图作 圆 为 半 径为 圆 心以 使在 凹 的 一 侧 取 一 点处 的 曲 线 的 法 线 上在 点 处 的 曲 率 为 在 点设 曲 线 MDk DMDM kkyxM xfy ,曲 率 中 心D .曲 率 半 径 D )(xfy Mk1 xyo三 、 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 11 1.曲 线 上 一 点 处 的 曲 率 半 径 与 曲 线 在 该 点 处 的 曲 率 互为 倒 数 . .1,1 kk即注 意 :2.曲 线 上 一 点 处 的 曲 率 半 径 越 大 ,曲 线 在 该 点 处 的 曲率 越 小 (曲 线 越 平 坦 );曲 率 半 径 越 小 ,曲 率 越 大 (曲 线越 弯 曲 ).3.曲 线 上 一 点 处 的 曲 率 圆 弧 可 近 似 代 替 该 点 附 近 曲 线弧 (称 为 曲 线 在 该 点 附 近 的 二 次 近 似 ). 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 12 例 2 设 工 件 内 表 面 的 截 线 为 抛 物 线 .现 在 要 用砂 轮 磨 削 其 内 表 面 ， 问 用 直 径 多 大 的 砂 轮 才 比 较 合 适 ？24.0 xy 解 为 了 在 磨 削 时 不 使 砂 轮 与 工 件 接 触 处 附 近 的 那 部分 工 件 磨 去 太 多 ， 砂 轮 的 半 径 应 不 大 于 抛 物 线 上 各 点 处曲 率 半 径 中 的 最 小 值 .由 本 节 例 1可 知 ， 抛 物 线 在 其 顶 点处 的 曲 率 半 径 最 小 。 因 此 8.0,0 8.0,8.0 00 xx yy yxy所 以 ， K=0.8因 而 ， 求 得 抛 物 线 顶 点 处 的 曲 率 半 径 25.11 K 2、 应 用 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 13 四 、 小 节本 讲 主 要 讲 述 了 函 数 图 形 的 描 绘 、 注 意 做 题 步骤 、 曲 线 的 曲 率 与 曲 率 半 径 的 定 义 。 会 用 公 式求 解 。 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 14 五 、 作 业 CT3-7 P177 3 4 8 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 15 重 点 ： 本 章 基 本 内 容 及 基 本 计 算 方 法 。难 点 ： 基 本 计 算 方 法 及 应 用 。关 键 ： 微 分 中 值 定 理 的 内 容 及 灵 活 应 用 方 法 。 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 16 一 、 问 题 的 提 出求 近 似 实 根 的 步 骤 ： 确 定 根 的 大 致 范 围 根 的 隔 离 根 的 隔 离 区 间 称 为 所 求 实间区 间 内 的 唯 一 实 根 区使 所 求 的 根 是 位 于 这 个确 定 一 个 区 间 , baba问 题 ： 高 次 代 数 方 程 或 其 他 类 型 的 方 程 求 精 确根 一 般 比 较 困 难 ,希 望 寻 求 方 程 近 似 根 的 有 效 计算 方 法 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 17 轴 交 点 的 大 概 位 置 定 出 它 与 的 图 形 ， 然 后 从 图 上如 图 ， 精 确 画 出x xfy )( 以 根 的 隔 离 区 间 的 端 点 作 为 根 的 初 始 近 似值 ， 逐 步 改 善 根 的 近 似 值 的 精 确 度 ， 直 至 求 得满 足 精 确 度 要 求 的 近 似 实 根 常 用 方 法 二 分 法 和 切 线 法 （ 牛 顿 法 ） 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 18 二 、 二 分 法 区 间 即 是 这 个 根 的 一 个 隔 离 ， 于 是内 仅 有 一 个 实 根在 且 方 程 ，上 连 续 ，在 区 间设, ),()( 0)()(,)(ba baxf bfafbaxf ；， 那 末如 果 11 0)( f作 法 ： ).(2, 11 fbaba ， 计 算的 中 点取 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 19 ,)()( 1111 bbaaff 同 号 ， 那 末 取与如 果 );(21 0)()(11 1111 abab babfaf ， 且， 即 知由 ,)()( 1111 baabff 同 号 ， 那 末 取与如 果 );(211111 ababba 及也 有 总 之 ， );(211111 ababba 且时 ， 可 求 得当 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 20 );(21 )(21, 222 2211211 abab bababa 且时 ， 可 求 得当 复 上 述 做 法 ，作 为 新 的 隔 离 区 间 ， 重以 ).(21 , abab bannnn nn 且可 求 得次如 此 重 复 小 于 的 近 似 值 ， 那 末 其 误 差作 为或如 果 以 )(21 ab ban nn 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 21 例 .10, 04.19.01.1 323 使 误 差 不 超 过的 实 根 的 近 似 值用 二 分 法 求 方 程 xxx解 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf令 .),()( 内 连 续在显 然 xf ,9.02.23)( 2 xxxf .0)(,049.1 xf ,),()( 内 单 调 增 加在故 xf 如 图至 多 有 一 个 实 根 0)( xf 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 22 ,06.1)1(,04.1)0( ff .1,00)( 内 有 唯 一 的 实 根在 xf .1,0,1,0 即 是 一 个 隔 离 区 间取 ba计 算 得 : ;1,5.0,055.0)(,5.0 1111 baf 故 ;75.0,5.0,032.0)(,75.0 2222 baf 故 ;75.0,625.0,016.0)(,625.0 2333 baf 故 ;687.0,625.0,0062.0)(,687.0 4444 baf 故 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 23 ;687.0,656.0,0054.0)(,656.0 5555 baf 故 ;672.0,656.0,0005.0)(,672.0 6666 baf 故 ;672.0,664.0,0025.0)(,664.0 7777 baf 故 ;672.0,668.0,0010.0)(,668.0 8888 baf 故 ;672.0,670.0,0002.0)(,670.0 9999 baf 故 .671.0,670.0,0001.0)(,671.0 10101010 baf 故 .671.0670.0 .10,671.0 ,670.0 3其 误 差 都 小 于作 为 根 的 过 剩 近 似 值 作 为 根 的 不 足 近 似 值即 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 24 三 、 切 线 法是 根 的 一 个 隔 离 区 间 ，内 有 唯 一 个 的 实 根在 则 方 程 上 保 持 定 号 在及且 ，上 具 有 二 阶 导 数 ，在设 , ),()( ,)()( 0)()(,)(ba baxf baxfxf bfafbaxf 定 义 用 曲 线 弧 一 端 的 切 线 来 代 替 曲 线 弧 ， 从而 求 出 方 程 实 根 的 近 似 值 ， 这 种 方 法 叫 做 切 线法 （ 牛 顿 法 ） 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 25 如 图 ， 更 接 近 方 程 的 根比 轴 的 交 点 的 横 坐 标线 与 作 切 线 ， 这 切那 个 端 点 （ 此 端 点 记 作同 号 的在 纵 坐 标 与 01 00 )(,( )(xx xxfx xf ,0 ax 令 ).)()( 000 xxxfxfy 则 切 线 方 程 为 A Bxyo a b1x )(xfy 0)(,0)( 0)(,0)( xfxf bfaf 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 26 作 切 线 ，在 点 )(,( 11 xfx .)( )( 1112 xf xfxx 得 根 的 近 似 值如 此 继 续 ， 得 根 的 近 似 值 )1()( )( 111 nnnn xf xfxx .,)()(: 0 bxxfbf 可 记同 号与如 果注 意 ,)( )( 0001 xf xfxx 得令 ,0y A Bxyo a b1x )(xfy 2x 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 27 例 .10, 04.19.01.1 323 使 误 差 不 超 过的 实 根 的 近 似 值用 切 线 法 求 方 程 xxx解 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf令 .0)1(,0)0(.1,0 ff是 一 个 隔 离 区 间上 ，如 图 ， 在 1,0 ,02.26)( xxf ,09.02.23)( 2 xxxf 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 28 同 号 ，与 )()( xfxf .10 x令代 入 (1),得 ;738.0)1( )1(11 ffx ;674.0)738.0( )738.0(738.02 ffx ;671.0)674.0( )674.0(674.03 ffx ;671.0)671.0( )671.0(671.04 ffx 计 算 停 止 .10,671.0 3其 误 差 都 小 于得 根 的 近 似 值 为 2021-4-25 泰 山 医 学 院 信 息 工 程 学 院 刘 照 军 29 四 、 小 结求 方 程 近 似 实 根 的 常 用 方 法 :二 分 法 、 切 线 法 （ 牛 顿 法 ） 、 割 线 法 切 线 法 实 质 ： 特 定 的 迭 代 法 求 方 程 的 根 的 迭 代 法 是 指 由 根 的 近 似 值 出 发 ,通 过递 推 公 式 将 近 似 值 加 以 精 确 化 的 反 复 演 算 过 程 .基 本 思 想 : )(0)( xxxf )( )()( xf xfxx 优 点 : .形 式 简 单 便 于 计 算 ;2.形 式 多 样 便 于 选 择 .