《机器人运动学》PPT课件.ppt

机器人运动学基础1机器人正运动学方程2机器人逆运动学方程3机器人的微分运动与雅可比矩阵4 机 器 人 运 动 学 A矩 阵 和 T矩 阵 运 动 姿 态 和 方 向 角 运 动 位 置 和 坐 标机 器 人 运 动 学 基 础 3.1.1 A矩 阵 和 T矩 阵机 械 手 可 以 看 成 由 一 系 列 关 节 连 接 起 来 的 连 杆 组 构 成 .用 A矩 阵 描 述 连 杆 坐 标 系 间 相 对 平 移 和 旋 转 的 齐 次 变 换 .A1表 示 第 一 连 杆 对 基 坐 标 的 位 姿A2表 示 第 二 连 杆 对 第 一 连 杆 位 姿则 第 二 连 杆 对 基 坐 标 的 位 姿 为 6543216 AAAAAAT 3.1机 器 人 运 动 学 基 础如 此 类 推 ， 对 于 一 个 六 连 杆 机 器 人 ，有机 器 人 最 后 一 个 构 件 （ 手 部 ） 有 三 个 自由 度 用 来 确 定 其 位 置 ， 三 个 自 由 度 确 定其 方 向 。 用 表 示 机 械 手 的 位 置 和 姿 态 ， 这 样 六 连 杆 机 器 人 在 它 的 活 动 范 围 内 可以 任 意 定 位 和 定 向 212 AAT 3.1.2 运 动 姿 态 和 方 向 角1.运 动 方 向接 近 矢 量 a:夹 持 器 进 入 物 体 的 方 向 ;Z轴方 向 矢 量 o:指 尖 互 相 指 向 ;Y轴法 线 矢 量 n:指 尖 互 相 指 向 ;X轴 111 aoaaoo aon 10006 zzzz yyyy xxxx paon paon paonTT 3.1机 器 人 运 动 学 基 础 3.1机 器 人 运 动 学 基 础 3.1.2 运 动 姿 态 和 方 向 角2.用 欧 拉 角 表 示 运 动 姿 态欧 拉 角 :绕 Z轴 转 ,再 绕 新 Y轴 转 ,绕 最 新 Z轴 转 . 注 意 :坐 标 变 换 是 右 乘 .即 后 面 的 变换 乘 在 右 边 .(绕 新 轴 转 ,连 乘 ) 1000 0100 00 001000 00 0010 001000 0100 00 00 ),(),(),(),( cs sccs sccs sc zRotyRotzRotEuler 3.1机 器 人 运 动 学 基 础3.1.2 运 动 姿 态 和 方 向 角3.用 滚 仰 偏 转 表 示 运 动 姿 态横 滚 :绕 Z轴 转 ,俯 仰 :绕 Y轴 转 ,偏 转 :绕 X轴 转 . 注 意 :左 乘 . 1000 00 00 00011000 00 0010 001000 0100 00 00 ),(),(),(),( cs sccs sccs sc xRotyRotzRotRPY 3.1.3 运 动 位 置 和 坐 标1.用 柱 面 坐 标 表 示 末 端 运 动 位 置从 基 础 坐 标 系 出 发 变 换 的 顺 序 为 ： 沿 x轴 平移 r， 接 着 绕 z轴 旋 转 最 后 沿 z轴 平 移 z;相 对 于 参 考 坐 标 系 的 变 换 ， 位 置 和 姿 态 都有 变 化 ， 变 换 矩 阵 为 ： 1000 100 001000 0100 0010 0011000 0100 00 001000 100 0010 0001 )0,0,(),(),0,0(),( zrscs rcscrcs scz rTranszRotzTransrzCyl 3.1机 器 人 运 动 学 基 础 3.1.3 运 动 位 置 和 坐 标2.用 球 面 坐 标 表 示 末 端 运 动 位 置沿 Z平 移 r,绕 Y轴 转 ,绕 Z轴 转 . 1000 0 1000 100 0010 00011000 00 0010 001000 0100 00 00 ),0,0(),(),(),( rccs srsssccs srcccscc rcs sccs sc rTransyRotzRotrSph3.1机 器 人 运 动 学 基 础 机 器 人 正 运 动 学机 器 人 正 运 动 学 方 程已 知 杆 件 几 何 参 数 和 关 节 角 矢 量 求 机 器 人 末 端相 对 于 参 考 坐 标 系 的 位 置 和 姿 态 3.2 机 器 人 正 运 动 学 方 程 连 杆 描 述 连 杆 连 接 的 描 述 对 连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定 操 作 臂 运 动 学 PUMA560运 动 学 方 程 机 器 人 正 逆 运 动 学 引 入 3.2.1连 杆 描 述 描 述 一 个 连 杆 的 两 个 参 数 : 1.Link length 连 杆 长 度 ai-1 关 节 轴 i-1和 关 节 轴 i之 间 的 公垂 线 的 长 度 ai-1 2.Link twist 连 杆 转 角 假 设 作 一 个 平 面 ,并 使 该 平 面 与两 关 节 轴 之 间 的 公 垂 线 垂 直 ,然后 把 关 节 轴 i-1和 关 节 轴 i投 影 到该 平 面 上 ,在 平 面 内 轴 i-1按 照 右 手 法 则 绕 ai-1转 向 轴 i,测 量 两 轴 角之 间 的 夹 角 为 i-1.假 设 条 件把 连 杆 看 作 是 一 个 刚 体 3.2.1连 杆 描 述 下 图 中 的 连 杆 长 度 和 连 杆 转 角 ？ 3.2.2连 杆 连 接 的 描 述 描 述 连 杆 连 接 的 两 个 参 数 : 1) link offset 连 杆 偏 距 相 邻 两 个 连 杆 之 间 有 一 个 公 共 的关 节 轴 , 沿 着 两 个 相 邻 连 杆 公 共 轴 线 方 向 的距 离 可 以 用 一 个 参 数 描 述 为 连 杆偏 距 d i. 当i为移动关节时,连杆偏距为一变量. 2) joint angle 关 节 角 描 述 两 个 相 邻 连 杆 绕 公 共 轴 线 旋转 的 夹 角 i. 当i为转动关节时,关节角为一变量.（ 1） 连 杆 中 的 中 间 连 杆 3.2.2连 杆 连 接 的 描 述对 于 运 动 链 中 的 末 端 连 杆 ,其 参 数 习 惯 设 为 0,即 a0=an=0.0,0=n=0.0.从关节2到关节n的连杆偏距di和关节角i.是 根 据 前 面 的 规 定 进 行 定 义 . 关 节 1(或 n)如 果 为 转 动 关 节 ,则 1的零位可以任意选取,并规定d1.=0.0; 关节1 (或n)如果为移动关节,则d1的零位可以任意选取,并规定1.=0.0;（ 2） 连 杆 中 的 首 尾 连 杆（ 3） 连 杆 参 数对 于 转 动 关 节 , i为 关 节 变 量 ,其 他 三 个 连 杆 固 定 不 变 ;对 于 移 动 关 节 , di为 关 节 变 量 ,其 他 三 个 连 杆 固 定 不 变 ; 这种用连杆参数描述机构运动关系的规则称为Denavit-Hartenberg参数,所以对于一个6关节机器人,需要用18个参数就可以完全描述这些固定的运动学参数,可用6组(ai, i , di) 表示. 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定（ 1） 连 杆 中 的 中 间 连 杆为 了 描 述 每 个 连 杆 和 相 邻 连 杆 之 间 的 相 对 位 置 关 系 ,需 要 在 每 个 连 杆上 定 义 一 个 固 连 坐 标 系 .规 定 : 坐 标 系 i的 Z轴 称 为 Zi,与关 节 轴 i重 合 ; 坐 标 系 i的 原 点 位 于 公 垂线 a i与 关 节 轴 i的 交 点 处 . Xi轴 沿 ai方 向 由 关 节 i指 向关 节 i+1(若 : ai =0,则 Xi垂 直 于 Zi和 Zi+1所在 的 平 面 ;按 照 右 手 定 则 绕 Xi轴 的转 角 定 义 为 i ,由 于 Xi轴 的 符 号有 两 种 ,则 转 角 的 符 号 也 有 两 种 .) Yi轴 由 右 手 定 则 确 定 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定坐 标 系 0 通 常 规 定 :Z0轴 沿 着 关 节 轴 1的 方 向 ,当 坐 标 系 1的 关 节 变 量 为 0时 ,设 定 参 考 坐标 系 0与 1重 合 .且 a0=0, 0=0,当关节1为转动关节,d1=0;当关节1为移动关节, 1.=0.0坐 标 系 n 通 常 规 定 :对 于 转 动 关 节 n,设 定 n=0.0,此时Xn和Xn-1轴的方向相同,选取坐标系n 的 原 点 位 置 ,使 之 满 足 dn=0;对 于 移 动 关 节 n, 设 定 Xn轴的方向使 之 满 足 n=0.0,当dn=0时,选取坐标系n 的 原 点 位 于 Xn-1轴与关节轴n的交点位置.（ 2） 连 杆 中 的 首 尾 连 杆 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定ai=沿 Xi轴 ,从 Zi移 动 到 Zi+1的 距 离 ;i=绕Xi轴 ,从 Zi旋 转 到 Zi+1的 角 度 ;di=沿 Zi轴 ,从 Xi-1移 动 到 Xi的 距 离 ;i=绕Zi轴 ,从 Xi-1旋 转 到 Xi的 角 度 ; 通常规定ai 0,其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的, Z i的指向有两种选择;如果关节轴相交, Xi轴的指向也有两种选择.当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择,当关节为移动关节时,坐标系的选取一定具有任意性.（ 3） 在 连 杆 坐 标 系 中 对 连 杆 参 数 的 归 纳 Axis i+1i 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定 确 定 关 节 轴 ， 并 画 出 轴 的 延 长 线 。 找 出 关 节 轴 i和 i+1的 公 垂 线 或 交 点 ， 作 为 坐 标 系 i的 原 点 。 规 定 Zi的 指 向 是 沿 着 第 i个 关 节 轴 。 规 定 Xi轴 得 指 向 是 沿 着 轴 i和 i+1的 公 垂 线 的 方 向 ， 如 果 关 节 轴i和 i+1相 交 ， 则 Xi轴 垂 直 于 关 节 轴 i和 i+1所 在 的 平 面 。 Yi 轴 的 方 向 由 右 手 定 则 确 定 。 当 第 一 个 关 节 变 量 为 0时 ， 规 定 坐 标 系 0和 1 重 合 ， 对 于 坐标 系 N， 尽 量 选 择 坐 标 系 使 得 连 杆 参 数 为 0.（ 4） 建 立 连 杆 坐 标 系 的 步 骤 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定例 题 1 0 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定例 题 2 3.2.3连 杆 附 加 坐 标 系 的 规 定例 题 3 3.2.4操 作 臂 运 动 学 目 的 ： 求 出 相 邻 连 杆 间 的 坐 标 变 换 的 形 式 ， 进 一 步 求 出 连 杆 n相 对 于 连杆 0的 位 置 和 姿 态 。（ 1） 推 导 过 程 ：1.坐 标 系 i相 对 于 坐 标 系 i+1的 变 换是 由 连 杆 四 个 参 数 构 成 的 函 数 ， 其 中 只有 一 个 变 量 。2.为 求 解 ， 对 每 个 连 杆 建 立坐 标 系 ， 分 解 成 4个 变 换 子 问 题 ， 每 个子 变 换 只 包 含 一 个 连 杆 参 数 。3.定 义 三 个 中 间 坐 标 系 P Q R：坐 标 系 P 是 由 坐 标 系 i-1绕 X轴 偏转 i-1得 到 ；坐 标 系 Q是 由 坐 标 系 P 沿 着 X轴 平移 ai-1得 到 ；坐 标 系 R是 由 坐 标 系 Q绕 Z轴 旋 转 i得 到 ；坐 标 系 i是 由 坐 标 系 R沿 着 Z轴 平 移di得 到 。 Ti i1 Ti i1P QR 3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程 Ti i1P QR的组合变换。轴旋转再绕，轴平移代表沿着 Q rQrScrew dScrewaScrewT dDRaDRT TTTTT PTP PTTTTP Q iiZiiXi i iZiZiXiXi i PiQPRQi Ri i ii ii iPiQPRQi Ri ),( ),(),( )()()()( 111 111 11 11 11 化简：这里：根据变换过程：即：最后，得到相邻连杆的一般变换为： 1000 0 11111 11111 11 iiiiiii iiiiiii iiii i cccscss csscccs ascT 变换矩阵： 3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程（ 2） 连 续 连 杆 变 换定 义 了 连 杆 坐 标 系 和 相 应 得 连 杆 参 数 ， 就 能 建 立 运 动 学方 程 ， 坐 标 系 N相 对 于 坐 标 系 0的 变 换 矩 阵 为 ：TTTTT N NN 12312010 变 换 矩 阵 是 关 于 n个 关 节 变 量 的 函 数 ， 这 些 变 量 可 以 通过 放 置 在 关 节 上 的 传 感 器 测 得 ， 则 机 器 人 末 端 连 杆 再 基 坐 标 系（ 笛 卡 尔 坐 标 系 ） 中 的 位 置 和 姿 态 就 能 描 述 出 来 。TN0 已 知 各 关 节 转 角 ， 求 末 端 位 姿 腕部机构简图3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程 （）i是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度； （）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离； （）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；（）i是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。 1.确 定 D-H坐 标 系 2.确 定 各 连 杆 D-H参 数 和 关 节 变 量3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程 3.求 出 两 杆 间 的 位 姿 矩 阵 10000 ),()0,0,(),0,0(),( 11 111 111 iii iiiiiii iiiiiii iiiii dcs sascccs casscsc xRotaTransdTranszRotA 3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程,1000 0010 00 00 11 111 cs scA ,1000 100 00 2 2222 22222 dsacs cascA 1000 010 00 3 3333 33333 dsacs cascA ,1000 0010 00 00 44 444 cs scA ,1000 0010 00 00 55 555 cs scA 1000 0100 00 0066 666 cs scA不 同 的 坐 标 系 下 D-H矩 阵 是 不 同 的 ， 关 键 是 约 定 ! 4. 求 末 杆 的 位 姿 矩 阵3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程 1000654321360306 zzzz yyyy xxxx paon paon paonAAAAAATTT 541525421 )( ssscsscccax 541525421 )( ssccssccsay 52542 ccscsaz 21321 dsdscpx 21321 dcdsspy 32dcpx 3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程 3.2.5 PUMA560运 动 学 方 程5.验 证 mmdmmdmmammdmma oo 25.56,07.433,32.20,09.149,8.431 00,0,90,0,90 64322 654321 机 器 人 逆 运 动 学 方 程3.3 机 器 人 逆 运 动 学 方 程实 质 ： 已 知 T6（ 即 已 知 矢 量n 、 o 、 a和 p ） ） 求 解 ， 从而 确 定 与 末 端 位 置 有 关 的 所有 关 节 的 位 置 关 的 所 有 关 节的 位 置 -实 际 工 程 问 题已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到 这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？ 3.3机 器 人 逆 运 动 学 可 解 性 多 解 性 求 解 方 法 PUMA560 逆 解 过 程 机 器 人 逆 运 动 学3.3.1可 解 性 解 的 存 在 问 题 取 决 于 操 作 臂 的 工 作 空 间 （ Workspace）工 作 空 间 ： 操 作 臂 末 端 执 行 器 所 能 到 达 的 范 围 。 所 有 具 有 转 动 和 移 动 关 节 的 机 器 人 系 统 ， 在 一 个 单 一 串 联链 中 共 有 个 6自 由 度 或 小 于 6个 自 由 度 时 是 可 解 的 。 其 通 解是 数 值 解 ， 不 是 解 析 表 达 式 ， 是 利 用 数 值 迭 代 原 理 求 解 得到 的 ， 其 计 算 量 比 求 解 析 解 大 得 多 。 要 使 机 器 人 有 解 析 解， 设 计 时 就 要 使 机 器 人 的 结 构 尽 量 简 单 ， 而 且 尽 量 满 足 连续 三 个 旋 转 关 节 的 旋 转 轴 交 会 于 一 点 的 充 分 条 件 ， 或 许 多 i等 于 0或 90的 特 殊 条 件 。 的 特 殊 条 件 。 机 器 人 逆 运 动 学 3.3.2多 解 性 对 于 给 定 的 位 置 与 姿 态 ， 它 具 有 多 组 解 。 造 成 机 器 人 运 动学 逆 解 具 有 多 解 的 原 因 是 由 于 解 反 三 角 函 数 方 程 产 生 的 。对 于 一 个 真 实 的 机 器 人 ， 只 有 一 组 解 与 实 际 情 况 对 应 ， 为 此 必 须 做 出 判 断 ， 以 选 择 合 适 的 解 。 通 常 采 用 剔 除 多 余解 的 方 法 ： 为 此 必 须 做 出 判 断 ， 以 选 择 合 适 的 解 。 通 常 (1) 根 据 关 节 运 动 空 间 来 选 择 合 适 的 解 。 (2) 选 择 一 个 最 接 近 的 解 。 (3) 根 据 避 障 要 求 选 择 合 适 的 解 。 (4) 逐 级 剔 除 多 余 解 。 机 器 人 逆 运 动 学3.3.3 求 解 方 法操 作 臂 全 部 求 解 方 法 分 为 ： 封 闭 解 和数 值 解 法 。 数 值 解 法 是 利 用 迭 代 性 质 求解 ， 速 度 慢 。 封 闭 解 是 我 们 主 要 的 求 解方 法 。 封闭解分为代数解和几何解 1000 0100 00 12211123123 1221112312303 slslcs clclscTTBW（ 1） 代 数 解 机 器 人 逆 运 动 学 1000 0100 00 ycs xscTBW 12211 12211 123123 slsly clclx sscc 通过比较，我们得出四个方程：求得： ),(2tan321 csA ),(2tan),(2tan 121 kkAxyA ),(2tan 222 csA 机 器 人 逆 运 动 学几 何 方 法 中 ， 首 先 将 操 作 臂 的 空 间 几 何 参 数 分 解 成 为 平 面 几 何参 数 ， 然 后 应 用 平 面 几 何 方 法 求 出 关 节 角 度（ 2） 几 何 解: 2 )180cos(2 221222122 llllyx 21 2221222 2 ll llyxc ),(2tan xyA 1 321 221 2221222cos yxl llyx 3.3.4 PUMA560 机 器 人 逆 运 动 学 方 程问 题 ： 已 知 ，求 ： 各 转 角 10000 6 zzzz yyyy xxxx paon paon paonT 机 器 人 逆 运 动 学 上 式 两 端 的 元 素 （ 3， 4） 对 应 相 等 ， 得 ： -s1px+c1py=d2Tpaon paon paoncs sc zzzz yyyy xxxx 1411 11 10001000 00 0100 00 1000 010 00 2 222342332323 222342332323 d sacdsacs casdcasc首 先 求 1， 将 等 式 两 端 左 乘 ， 得TTpaon 14011000 22 yx pp ),(2tan xy ppA再 利 用 三 角 代 换 :和 ， 其 中cosxp sinyp机 器 人 逆 运 动 学 把 它 们 代 入 代 换 前 的 式 子 得 ： 21)sin( d 22121 )(1)(sin1)cos( d )(1,(2tan 2221 ddA ),(2tan),(2tan 222221 dppdAppA yxxy 再 求 3。 再 令 矩 阵 方 程 两 端 的 元 素 （ 1， 4） 和 （ 2， 4）分 别 对 应 相 等 得 ： 22234233 2223423311 sacdsap casdcapspc z yx 机 器 人 逆 运 动 学 两 边 平 方 相 加 得 ： 232343223242232322324223232222232343 2232422323223242232322222211 2222 22)( csdascadssaacdsasascda csadccaasdcacappspc zyx 24222322222342332 22 daadpppsdacaa zyx 合 并 同 类 项 并 整 理 得 ： 2 24222322222 2 )( a ddaapppk zyx 令 ， 再 利 用 三 角 代 换 可 得 ：),(2tan),(2tan 22423433 kdakAdaA 式 中 正 ， 负 号 对 应 着 3的 两 种 可 能 解 。 机 器 人 逆 运 动 学 然 后 求 2： 22234233 sacdsapz 将 展 开 并 整 理 得 ： 23433234233 )()( ccdsassdacapz 同 样 再 利 用 三 角 代 换 容 易 求 得 2的 四 种 可 能 解 ： ),(2tan),(2tan 222 2 xyzyxz kkApkkpA 34233 sdacakx )( 3433 cdsaky 其 中其 他 关 节 变 量 过 程 类 似 ， 略 。 机 器 人 逆 运 动 学 3.3.5关 节 空 间 和 操 作 空 间 机械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量 ，所有关节矢量 构成的空间称为关节空间。 末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间或作业定向空间来表示。 各驱动器的位置统称为驱动矢量 。所有驱动矢量构成的空间称为驱动空间。机 器 人 逆 运 动 学 3.4 机 器 人 的 微 分 运 动 与 雅 可 比 矩 阵 3.4.1微 分 运 动 和 速 度 3.4.2机 器 人 雅 可 比 矩 阵 3.4.3雅 可 比 矩 阵 求 逆 3.4.4坐 标 系 的 微 分 运 动 微 分 运 动3.4.1微 分 运 动 和 速 度微 分 运 动 就 是 指 机 器 人 的 微 小 运 动 （ 推 导 不 同 杆 件 间 的 速 度 关 系 ） ， 而微 分 关 系 是 指 微 分 运 动 与 速 度 之 间 的 关 系以两自由度平面关节机构为例，推导速度方程B点的速度)( 21211/ llVVV ABAB 2121221211 21221211 )cos()cos(cos )sin()sin(sin lll lllVV YXBB B点的位置方程根据物理学中的相关公式)sin(sin )cos(cos 21211 21211 llY llXBB求微分 2121221211 21221211 )cos()cos(cos )sin()sin(sin ddlll llldydxBB比较发现？关节的微分运动雅克比矩阵末端的微分运动方程 雅 可 比 矩 阵3.4.2机 器 人 雅 可 比 矩 阵雅 可 比 矩 阵 表 示 各 单 个 变 量 与 函 数 间 的 微 分 关 系 ， 可 以 将 机 器 人 单 个关 节 的 速 度 转 换 为 手 部 的 速 度 揭 示 了 操 作 空 间 与 关 节 空 间 的 映 射 关 系 。雅 可 比 矩 阵 是 机 器 人 构 型 设 计 的 函 数 ， 同 时 也 是 机 器 人 即 时 位 姿 的 函数 ， 即 矩 阵 各 元 素 的 大 小 也 随 时 间 变 化 654321 ddddddzyxdzdydx雅克比机器人机 器 人 手沿 x,y,z轴的 微 分 运动机 器 人 手 绕x,y,z轴 的 微分 旋 转 关 节 的微 分 运动 D D J机器人速度分析左、右两边各除以dt得或表示为 雅 可 比 矩 阵雅 可 比 矩 阵 的 几 何 意 义 ： 每 一 列 对 应 每 个 关 节 坐 标 的 微 分 变 化 以 二 自 由 度 平 面 关 节 型 机 器 人 的 雅 可 比 矩 阵 为 例 ： J1列 是 在 2 0时 ， 即 第 2关 节 固 定 ， 仅 第 1关 节 转 动 情 况 下 ， 指 尖 平 移速 度 在 基 坐 标 系 上 表 示 出 的 向 量 ； J2同 样 )cos()cos(cos )sin()sin(sin 21221211 2122121121 21 lll lllyy xxJ对于n自由度机器人，若机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X 表示，关节变量可用广义关节变量q 表示，q= q1, q2, qnT；当关节为转动关节时qi= i；当关节为移动关节时qi=di，则 nzzz nyyy nxxx nnnT qqq qqq qqq qZqZqZ qYqYqY qXqXqXqX . 21 21 21 21 21 21 雅 可 比 矩 阵雅 可 比 矩 阵 的 求 法 矢 量 积 法 对 移 动 关 节 对 转 动 关 节 0,0 iiii zJqzwv , i oniiiii onii zpzJqzpzwv nioioni pRp 雅 可 比 矩 阵 为 了 计 算 机 器 人 关 节 上 的 微 分 运 动 (或 速 度 )以 得 到 所 需 要 的 手 的 微 分运 动 (或 速 度 )， 需 要 计 算 雅 可 比 矩 阵 的 逆 DJDDJJDJ DJDDJJDJ JDD TTTTTT 666666 111 111 类似的求 符 号 形 式 的 雅 可 比 矩 阵 的 逆 或 数 值 方 法 求 矩 阵 的 逆 ， 都 有 计 算 量大 费 时 的 问 题求 解 逆 雅 可 比 矩 阵 的 方 法 ： 给 定 的 值 ， 在 求 得 各 关 节 坐 标 的 解 之 后 ，对 这 个 解 进 行 微 分 ， 具 体 方 法 不 作 讨 坐 标 系 的 微 分 运 动 机 器 人 的 每 个 关 节 坐 标 系 的 微 分 运 动 ， 导 致 机 器 人 手 部 坐标 系 的 微 分 运 动 假设机器人焊接时，为了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，即要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定姿态的恒速运动3.4.3 坐 标 系 的 微 分 运 动坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合成。如果用T表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系T的变化量用dT表示，则有： ),(),( ),(),( TIdkRotdzdydxTransdT TdkRotdzdydxTransdTT 或 ),(),( IdkRotdzdydxTransTdT 可令：我们称 为微分算子，用它乘以一个坐标系将导致坐标系的变化。 坐 标 系 的 微 分 运 动微 分 算 子 0000 000 1000 0100 0010 00011000 01 01 011000 100 010 001 ),(),( dzxy dyxz dxyz xy xz yzdzdydx IdkRotdzdydxTrans 坐 标 系 的 微 分 运 动 前 面 介 绍 的 微 分 算 子 是 相 对 于 固 定 参 考 坐 标 系 来 说 的 ， 同 样 的 ，我 们 可 以 定 义 另 外 一 个 微 分 算 子 ， 是 相 对 于 当 前 坐 标 系 的 ， 这 样 使 得可 以 在 该 坐 标 系 （ 当 前 ） 中 计 算 同 样 的 变 换 。 由 于 是 相 对 于 当 前 坐 标 系 的 ， 必 须 用 右 乘 该 坐 标 系 的 。 如 下 式 所示 ： 1 11 TT TTTT TTdTT TT 得到的结果如下 10001 paaaa poooo pnnnnT zyx zyx zyx 0000 000 dzxy dyxz dxyz 坐 标 系 的 微 分 运 动 0000 0001 dzxy dyxz dxyzTT TTT TTT TTTT 应注意， 看上去如同 矩阵，但所有元素都是相对于当前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结果归纳如下： T dpadz dpody dpndx az oy nxTTTTTT THANK YOU