文科经管类微积分第七章

高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程二 元 函 数 的 基 本 概 念 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ： 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 7.1 二 元 函 数 的 基 本 概 念一 、 邻 域二 、 二 元 函 数 概 念三 、 二 元 函 数 的 极 限四 、 二 元 函 数 的 连 续 性 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 、 多 元 函 数 的 概 念 引 例 : 圆 柱 体 的 体 积 ,2hrV 0,0),( hrhr hr 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 元 函 数 的 微 积 分 下 面 在 一 元 函 数 微 积 分 的 基 础 上 , 来 研 究 多 元 函 数的 微 积 分 . 因 从 一 元 函 数 到 二 元 函 数 将 会 面 临 一 些 新 问题 , 而 从 二 元 函 数 到 二 元 以 上 的 多 元 函 数 , 可 完 全 类 推 ; 需 首 先 介 绍 一 些 空 间故 下 面 主 要 研 究 二 元要 研 究 二 元 函 数 ,现 就 必 备 知 识 作解 析 几 何 知 识 .简 单 介 绍 .函 数 的 微 积 分 及 其 应 用 . ( )1,1 =3 1+2 1= 5f 鬃( , ) 3 2z f x y x y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 空 间 直 角 坐 标 系 （ 三 维 直 角 坐 标 系 ）右 手 原 则 （ 纵 轴 ）yx （ 横 轴 ）z（ 竖 轴 ）O 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页xoy平 面xoz 平 面yoz 平 面 y z x O 三 个 坐 标 平 面 分 空 间 为 八 个 卦 限 （ 演 示 ） 三 个 坐 标 平 面 八 个 卦 限 空 间 的 点 有 序 数 组 ),( zyx 11特 殊 点 的 表 示 : )0,0,0(O ),( zyxMx yzo二 、 空 间 中 点 的 直 角 坐 标 (称 为 点 M 的 坐 标 )x yz )0,( yxA 空 间 中 两 点 间 的 距 离 ：zx y 0 x 0y0z两 点 间 的 距 离 1 1 1 1, , ,M x y z 2 2 2 2, ,M x y z1 2M M 2 2 21 2 1 2 1 2x x y y z z 点 M到 原 点 的 距 离2 2 20 0 0OM x y z M 0 0 0, ,x y z 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 平 面 直 角 坐 标 系 o xy平 面 内 任 取 一 点 O原 点 过 O点 另 作 一 垂 线 y轴 （ 纵 轴 ） 过 O点 做 一 直 线 x轴 （ 横 轴 ） 两 坐 标 轴 分 平 面 为 、 、 、 象 限 实 数 对 对 应 平 面 内 的 点 P， 记 作 ， 分 别 称 数 x为 点 P的 横 坐 标 ， 数 y为 点 P的 纵 坐 标 。 平 面 内 的 点 p与 实 数 对 (x,y)一 一 对 应 P(x,y)xy ,P x y ,x y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 , ,z f x y 0 0 0,z f x yo xy P(x,y)xy平 面 内 的 点 p与 实 数 对 (x,y)一 一 对 应 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 一 、 区 域 xy 1.邻 域 设 P0(x0, y0)是 xOy平 面 上 的 一 个 点 , d 是 某 一 正 数 . 点集 U(P0, d U(P0, d)P | |PP0|d (x, y)| d 2020 )()(| yyxx . v去 心 邻 域U(P0, d)P | 0|PP0|0, x1), 求 证 zy zxxzyx 2ln1 . 例 . 证 1 yyxxz , xxy z yln . zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln1ln1 1 . 证 证 zxxxxzyx yyy 2lnll . xxyxy xyzxxzyx yy lln1ln1 1 . y l1 . 证 证 下 页 分 段 形 式 的 多 元 函 数 在 分 段 点 上 的 求 偏 导 数 ， 由 于 多 元 分 段 函 数 一 般 不 是 多 元 初 等 函 数 ， 故 一 般 只 能 用 “ 定 义 法 ” 求 偏 导 数 值 。 3 32 2 , ( , ) (0,0)( , ) ,0 , ( , ) (0,0)(0,0) (0,0)x yx y x yf x y x y x yf f 求例 设： 和 3 32 20 000lim lim 1;x xx xx x x 3 32 20 0 0(0, ) (0,0) 0(0,0) lim lim0y y y yf y f yf y y 0 ( ,0) (0,0)(0,0) lim 0 x x f x ff x 解 0lim( ) 1.y yy 多 元 函 数 可 偏 导 性 与 连 续 性 的 关 系 “可 偏 导 ” 未 必 “ 连 续 ” “连 续 ” 未 必 “ 可 偏 导 ” 因 为 对 于 一 元 函 数 而 言 ， “ 连 续 ” 未 必 “ 可 导 ” ， 而 一 元 函数 是 二 元 函 数 的 特 例 ， 故 一 般 而 言 ， 连 续 的 二 元 函 数 未 必 可 偏 导 。00lim ( , )xy f x y 不 存 在 ， 24 20 0 00( ,0) (0,0) 03 0(0,0) lim lim lim 0,0 x x x xxf x f xf x x x 但 2 20 0 00(0, ) (0,0) 00 3(0,0) lim lim lim 0,0y y y yyf y f yf y y y ( , ) (0 ,0)f x y 在 点 处 可 偏 导 。24 2 , ( , ) (0,0)( , ) 30 , ( , ) (0,0)x y x yf x y x y x y 设例 ( , ) (0 ,0)f x y 在 点 处 不 连 续 。分 段 点 处 偏 导数 要 用 定 义 求 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 、 高 阶 偏 导 数 ( , )x yf x yv二 阶 偏 导 数 如 果 函 数 zf(x, y)的 偏 导 数 也 具 有 偏导 数 , 则 它 们 的 偏 导 数 称 为 函 数 zf(x, y)的 二 阶 偏 导 数 .其 中 和 称 为 混 合 偏 导 数 . 类 似 地 可 定 义 三 阶 、 四 阶 以 及 n阶 偏 导 数 .下 页)( xz( )zx y ( )zy x 2 2( ) ( , )y yz z f x yy yy 22xz ( , );xxf x y 2zx y ( , )x yf x y2 ( , );yxz f x yy x x ( , )yxf x y , , ,x yf x y f x y 函 数 zf(x, y)的 二 阶 偏 导 数 有 四 个 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 解 22)( xzxzx , yxzxzy 2)( , xyzyzx 2)( , 22)( yzyzy . 例 6. 设 zx3y23xy3xy1, 求 z 的 所 有 二 阶 偏 导 数 . 解 yyyxxz 322 33 , xxyyxyz 23 92 222 6xyxz , 196 22 2 yyxxyz 196 222 yyxyxz , xyxy z 182 322 . 解 22 19 22 y 解 x2 解 3 . 此 例 中 两 个 混 合 偏 导 数 是 相 等 的 . 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 解 22)( xzxzx , yxzxzy 2)( , xyzyzx 2)( , 22)( yzyzy . 例 6. 设 zx3y23xy3xy1, 求 z 的 所 有 二 阶 偏 导 数 . 解 yyyxxz 322 33 , xxyyxyz 23 92 222 6xyxz , 196 22 2 yyxxyz 196 222 yyxyxz , xyxy z 182 322 . 解 22 19 22 y 解 x2 解 3 . 连 续 , 那 么 在 该 区 域 内 有 xy z2 yx z2 . 定 理 如 果 二 阶 混 合 偏 导 数 xy z2 及 yx z2 在 区 域 D 内 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 7 验 证 函 数 22ln yxz 满 足 方 程 02 222 yzxz . 例 7. 证 证 因 为 )ln(2 1ln 2222 yxyxz , 所 以 222 22222 2222 )()( 2)( yx xyyx xxyxxz , 222 22222 2222 )()( 2)( yx yxyx yyyxyz . 因 此 0)()( 222 22222 222222 yx xyyx yxyzxz . 2) , 2 . 因 此 . 因 此 22 yx xxz , 22 yx yyz , 2xz 22 yy , 下 页 x z y0 ),( yxfz 0, 0 x yzx x yxfyxxfx ),(),(lim 00000 0 0, x yzx由 一 元 函 数 导 数 的 几 何 意 义 ： z= f (x,y) 0 ),(yy yxfzL： L得 曲 线 = tan3. 偏 导 数 的 几 何 意 义 . y =y0)( y,x 0 0, ?x yzy 同 理 ，. M Tx固 定 y =y0 0,f x y M ),( yxfz 0 0, x yzy y y,xfyy,xfy )()(lim z= f (x,y)L)( y,x x =x0固 定 x =x0 Tx3. 偏 导 数 的 几 何 意 义 .x z y0 M ),( yxfz Myz y y,xfyy,xfy )()(lim 0 0, x yzy由 一 元 函 数 导 数 的 几 何 意 义 ： z= f (x,y) xx y,xfz )( L得 曲 线 = tan . )( y,x x =x0固 定 x =x0 Tx Ty3. 偏 导 数 的 几 何 意 义 .x z y0 0,f x y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 1. (1)(3) 2. (3)(5)(6) 3. (2)(3) 4. (2)(3) 6. 7. 8. 5. 9. 作 业 P73 10. 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 全 微 分 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ： 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 一 、 全 微 分 的 定 义二 、 全 微 分 的 计 算 7.3 全 微 分 及 其 应 用 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 实 例 : 正 方 形 金 属 薄 片 受 热 后 面 积 的 改 变 量 .0 x 0 xx x 2)( xxx 0设 边 长 由 x0 变 到 x0 + x, 2 x 的 高 阶 无 穷 小 , 当 |x| 很 小 时 可 忽 略1 x 的 线 性 函 数 , 且 为 A 的 主 要 部 分(2)(1) 正 方 形 面 积 A = x02 A = x02xx 0复 习 一 元 函 数 的 微 分 再 如 , ., 03 yx xxy 求 函 数 的 改 变 量时为 处 的 改 变 量在 点设 函 数 既 容 易 计 算 又 是 较 好 的 近 似 值问 题 :所 有 函 数 的 改 变 量 是 否 都 有 这 个 线 性 主部 ? 它 是 什 么 ? 如 何 求 ?当 |x| 很 小 时 , (2) 是 x 的 高 阶 无 穷 小 , o(x)(1) (2) 微 分 的 定 义函 数 y = f (x) 在 x0 某 一 邻 域 内 有 定 义 , ( ) ( )f 0 0 ( ), ( 0) y= f x + x x A x+o x x定 义x0 和 x0 + x 都 在 领 域 内 . 如 果成 立 (其 中 A 与 x 无 关 ). 则 称 f (x) 在 x0 可 微 , 并 且把 A x 称 为 f (x) 在 x0 的 微 分 , 记 为 dy 或 df (x), 即 d y A x 例 如 , dcos x(cos x)x sin xdx dyf (x)x, 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 函 数 改 变 量 的 变 化 情 况 . xy则 其 面 积 为 S=xy， 是 x和 y的 二S=(x+x)(y+y) xy =yx+xy+xy一 .全 微 分 的 概 念本 节 研 究 二 元 函 数 在 两 个 自 变 量 都 有 微 小 变 化 时 ，如 图 所 示 的 矩 形 长 和 宽 为 x和 y,函 数 .若 边 长 x和 y分 别 取 得 微 小改 变 量 x和 y， 则 面 积 S也 相 应 有一 个 改 变 量而 xy 2 2( ) ( )x y 较 高 阶 的 无 穷 小 量 ,故 可 将 它 略 去 ,(当 x0, y0时 )是 比 而 用 x、 y的 线 性 x yx yxy yxS xy部 分 yx+xy近 似 表 示 S， 类 似 于 一 元 函 数 的 微 分 ，yx+xy也 称 为 S的 全 微 分 dS. . 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v全 微 分 的 定 义其 中 A、 B不 依 赖 于 x、 y而 仅 与 x、 y有 关 , 则 称 函 数zf(x, y)在 点 (x, y)可 微 分 , 而 称 AxBy为 函 数 zf(x, y)在点 (x, y)的 全 微 分 , 记 作 dz, 即 dzAxBy. 如 果 函 数 在 区 域 D内 各 点 处 都 可 微 分 , 那 么 称 这 函 数在 D内 可 微 分 . 下 页 如 果 函 数 zf(x, y)在 点 (x, y)的 全 增 量 zf(xx, yy)f(x, y) 可 表 示 为 zAxByo() ( 22 )()( yx ), 2 2 2 2, , ,dist x x y y x y x x x y y y x y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v可 微 分 与 连 续 偏 导 数 存 在 不 一 定 连 续 , 但 可 微 分 必 连 续 . 这 是 因 为 , 如 果 zf(x, y)在 点 (x, y)可 微 , 则 zf(xx, yy)f(x, y)AxByo(), 于 是 0lim0 z , 从 而 ),(),(lim),(lim 000 yxfzyxfyyxxfyx . 从 而从 而 ,(li 00 fyx因 此 函 数 zf(x, y)在 点 (x, y)处 连 续 . 下 页 2 2( ) ( )x y zf(xx, yy)f(x, y) 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 如 果 函 数 zf(x, y)在 点 (x, y)可 微 分 , 则 函 数 在 该 点 的yyzxxzdz . 偏 导 数 x z 、 y z 必 定 存 在 , 且 函 数 在 该 点 的 全 微 分 为 简 要 证 明 特 别 当 y0时 有f (xx, y)f(x, y)Axo(|x|). 设 函 数 zf(x, y)在 点 (x, y)可 微 分 . 于 是 有 AxxoAx yxfyxxf xx |)(|lim),(),(lim 00 , fx ,li 0 从 而 x z 存 在 , 且 Ax z . 同 理 y z 存 在 , 且 By z . 从 而 存 在 且 同 理 存 在 且 zf(xx, yy)f(x, y)AxByo(),因 此 返 回定 理 2 2( ) ( ) ,x y x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 返 回 zf(xx, yy)f(x, y)AxByo(),注 意 : 该 定 理 的 逆 定 理 不 成 立 .偏 导 数 存 在 的 函 数 不 一 定 可 微 !即 : 如 果 函 数 zf(x, y)在 点 (x, y)可 微 分 , 则 函 数 在 该 点 的yyzxxzdz . 偏 导 数 x z 、 y z 必 定 存 在 , 且 函 数 在 该 点 的 全 微 分 为 定 理 .00 0),( 22 2222 yx yxyxxyyxf 在 点 )0,0( 处 有 0)0,0()0,0( yx ff , 注 ： 可 偏 导 不 一 定 可 微 ,见 下 面 反 例 . x fxff xx )0 ,0()0 ,0(lim)0,0( 0 ，0 .0)0,0( yf同 理 , xx 00lim0 .00 0),( 22 2222 yx yxyxxyyxf 在 点 )0,0( 处 有 0)0,0()0,0( yx ff , )0,0()0,0( yfxfz yx ,)()( 22 yx yx 注 ： 可 偏 导 不 一 定 可 微 ,见 下 面 反 例 . 22220 /lim yxyx yxxyx 220lim xx xxx 21 ，0所 以 ，)()0,0()0,0( oyfxfz yx 即 ),( yxf 在 )0,0( 处 不 可 微 . 若 二 元 函 数 的 偏 导 函 数 是 连 续 函 数 时 ， 则 该 二 元 函 数 必 定 可 微 . 因 为 若 可 偏 导 必 可 微 ， 而 “ 可 微 必 定 是 连 续 ” 的 ，于 是 有 可 偏 导 必 定 连 续 ， 这 与 原 来 的 结 论 “ 可 偏 导未 必 连 续 ” 矛 盾 ！ “可 偏 导 ” 未 必 “ 可 微 ”函 数 可 微函 数 连 续 偏 导 数 连 续 函 数 可 偏 导 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v叠 加 原 理 按 着 习 惯 , x、 y分 别 记 作 dx、 dy, 并 分 别 称 为 自 变量 的 微 分 , 这 样 函 数 zf(x, y)的 全 微 分 可 写 作dyyzdxxzdz . 二 元 函 数 的 全 微 分 等 于 它 的 两 个 偏 微 分 之 和 这 件 事称 为 二 元 函 数 的 微 分 符 合 叠 加 原 理 . 叠 加 原 理 也 适 用 于 二 元 以 上 的 函 数 , 例 如 uf(x, y, z) 的 全 微 分 为 dzzudyyudxxudu . 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 dyyzdxxzdz . 例 1. 计 算 函 数 zx2yy2的 全 微 分 . 解 因 为 xyx z 2 , yxy z 22 , 解 所 以 dz 例 2. 计 算 函 数 zexy在 点 (2, 1)处 的 全 微 分 . 解 因 为 xyyex z , xyxey z , 解 212 exz yx , 212 2ey z yx , 所 以 dz 解 因 为 yx 22 , 解 因 为 xy, yx 解 因 为 解 因 为 解 因 为解 因 为 2xydx(x22y)dy .e2dx2e2dy . 212 2eyx , 下 页 （ 4） 多 元 函 数 的 全 微 分 计 算 实 例( 2 ) , d .xz x y z 例 已 知 求 ：ln( 2 ) ln( 2 )( 2 ) xx x y x x yz x y e e 解 ln( 2 ) ln( 2 )( ) ( ln( 2 )x x y x x yx x xz e e x x y ln( 2 ) ln( 2 ) ln( 2 ) 2( ) ( ln( 2 ) 2x x y x x y x x yy y y xz e e x x y e x y x ydz z dx z dy 2( 2 ) ln( 2 ) .2 2 x x xx y x y dx dyx y x y ln( 2 ) ln( 2 ) 2ln( 2 ) 2 2x x y x x yx xe x y dx e dyx y x y ln( 2 ) ln( 2 ) 2x x y xe x y x y (1,0)( 1)ln(1 ), .x yz xe x y dz 设 二 元 函 数例 求0(1,0) 1 ( ( 1)ln(1 0)xx xz xe x 解 1( ) 2 ;x x xe xe e 1(1,0) 0 ( 2ln(1 )yy yz e y 1 02( ) 2;1y ye ey (1,0) (1,0) (1,0) 2 ( 2) .x ydz z dx z dy edx e dy 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 3. 计 算 函 数 yze yxu 2sin 的 全 微 分 . 例 3. 解 dzzudyyudxxudu . 解 因 为 1 xu , yzze yyu 2cos21 , yzyez u , 解 因 为 yzze y2cos , yzyez u , 解 因 为 1 xu , yzy u 21 , yzyez u , 解 因 为 ze , 解 因 为解 因 为 所 以 dzyedyze ydxdu yzyz )2cos21( . 首 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 1. (1)(3)(5) 2. 3. 4. (1)6. 8. 作 业 P80 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程多 元 复 合 函 数 的 求 导 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ： 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 7.4 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 一 元 复 合 函 数 )(),( xuufy 求 导 法 则 d d dd d dy y ux u x yxu .y f x )(),( ttfz 一 、 二 元 复 合 函 数 求 导 的 链 式 法 则定 理 . 若 函 数 ,)(,)( 可 导在 点 ttvtu ( , )z f u v处 偏 导 连 续 , ),( vu在 点在 点 t 可 导 , d d d ,d d dz z u z vt u t v t z则 复 合 函 数简 要 说 明 ： 且 有 链 式 法 则 vu tt( 全 导 数 公 式 )tvvztuuztz dddddd z zdz du dvu v 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 1 , , sin , .t dzz uv u e v t dt 例 设 求 dz z du z dvdt u dt v dt 解 costv e u t (sin cos ).te t t z vu xx22 , sin , , .u v x dzz e u x v e dx 例 设 求 dz z du z dvdx u dx v dx 解 2 2cos 2u v u v xe x e e sin 2 (cos 2 ).xx e xe x e 2 (cos 2 )u v xe x e z vu tt 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 都 存 在 ,且 在 对 应 于 (x,y)的 点 (u,v)处 ,函 数 z=(u,v),u ux y 定 理 若 u=(x,y),v=(x,y)在 点 (x,y)处 的 偏 导 数可 微 ,则 复 合 函 数 z=(x,y),(x,y)对 x及 y的 偏 导 数 都 存在 ,且 ,z z u z vx u x v x .z z u z vy u y v y 注 1 此 定 理 也 可 称 为 求 导 的 链 式 法 则 .记 忆 可 用 上 图 所 示的 链 子 来 记 . 定 理 中 的 等 式 数 为 自 变 量 的 个 数 ； 每 一 个 等式 中 的 项 数 为 中 间 变 量 的 个 数 . z到 x的 路 径 有 两 条 ,一 条是 “ zux”, 一 条 是 “ zvx”; z到 y路 径 也 有 两 条 ,一 条 是 “ zuy”,一 条 是 “ zvy”.,v vx y 及 z vux y x y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 设 zf(u, v), 而 u(x, y), v(x, y), 则 xvvzxuuzxz , y vvzyuuzyz . 例 1. 设 ze u sin v , ux y, vxy , 求 x z 和 y z . 例 . 解 x vvzxuuzxz 解 e usin v yvvzyuuzyz e usin vex yy sin(xy)cos(xy),1e ucos vyex yx sin(xy)cos(xy).1e ucos vx 下 页 z vux yx y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 2 220 ( ) , , .xy z zz x y x y 例 设 求 , , .v z xz u y 从 而 是 的 复 合 函 数2 2 , ,u x y v xy 解 令 则 ,z z u z vx u x v x 1, ln ,v vz zvu u uu v 而 1 2 lnv vz vu x u u yx 2 , ;u vx yx x 22 2 2 22 22( ) ln( )xy x yx y y x yx y z z u z vy u y v y ， 2 , ;u vy xy y 而1 2 lnv vz vu y u u xy 22 2 2 22 22( ) ln( )xy xyx y x x yx y z vux yx y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 推 广 : 1) 中 间 变 量 多 于 两 个 的 情 形 . 例 如 , ( , , ),z f u v wddzt z wvut t tddz uu t ddz vv t ddz ww t ( ), ( ), ( )u t v t w t 例 3. 设 sin ,z uv w d .dzt zu v w ttddzt tve (cos sin ) coste t t t ddz uu t tvvz dd zw求 全 导 数 ,tu e cos ,v t解 : tusin cosw tdwdt .w t 推 广 : 1) 中 间 变 量 多 于 两 个 的 情 形 . 例 如 , ( , , ),z f u v wddzt z wvut t tddz uu t ddz vv t ddz ww t ( ), ( ), ( )u t v t w t 例 3. 设 sin ,z uv t d .dzt z tvu ttddzt tve (cos sin ) coste t t t ddz uu t tvvz dd zt 求 全 导 数 ,tu e cos ,v t解 : tusin cost tdtdt .t t 先 根 据 的 定 义 画 出中 间 变 量 ， 再 画 自 变 量 ，最 后 按 求 导 的 原 则 求 导 z某 些 中 间 变 量 也 是 最 终 变 量 的 情 况 ： 例 3 设 求2 2 2( , ) sin 2 e , ,vz f x v x v x v x y .zx解 : z f dx f vx x dx v x 在 该 例 中 ， 我 们 清 楚 看 出 与 含 意 是 不 同 的 .xfxz 2 2 sin 4 sin( ) 4 .f v x x y xx 显 然 不 等 于 .xz (sin 4 ) ( cos e ) 2 vv x x v x 2 22 2 2 2sin( ) 4 cos( ) e 2 .x yx y x x x y x ,z f x vx x yvx 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 复 合 函 数 结 构 虽 然 是 多 种 多 样 ， 求 复 合 函 数 的 偏 导 数公 式 也 不 完 全 相 同 ， 但 借 助 函 数 的 结 构 图 ,都 可 以 直 接 写出 给 定 的 复 合 函 数 的 偏 导 数 的 公 式 . ,z z u z vx u x v x .z z u z vy u y v y 注 1 此 定 理 也 可 称 为 求 导 的 链 式 法 则 .记 忆 可 用 上 图 所 示的 链 子 来 记 . 定 理 中 的 等 式 数 为 自 变 量 的 个 数 ； 每 一 个 等式 中 的 项 数 为 中 间 变 量 的 个 数 . z到 x的 路 径 有 两 条 ,一 条是 “ zux”, 一 条 是 “ zvx”; z到 y路 径 也 有 两 条 ,一 条 是 “ zuy”,一 条 是 “ zvy”. z vu yxyx 例 2. 2 2 2( , , ) ,x y zu f x y z e , .u ux y 求 解 :ux 2 2 22 x y zxe 2 2 4 22 2 sin2 (1 2 sin ) x y x yx x y e x y z x y , ,u f x y zuy 2 2 22 x y zye 2 2 4 24 sin2( sin cos ) .x y x yy x y y e fx xzzf 2 2 22 x y zze fy f zz y 2 2 22 x y zze 2 sinx y 2 cosx y 2sin ,z x y x y, ,x x y y ,u f dx f dy f zx x dx y dx z x 0y y x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 2 设 ,其 中 z=f(u,v)为 可 微 函 数 ,求2 2( , )z f x y xy , .z zx y 解 令 ， 可 得2 2,u x y v xy z f u f vx u x v x z f u f vy u y v y 2 f fx yu v ， 2 f fy xu v ，二 元 抽 象 复 合 函 数 求 导 ： ,z f u v vux yx y其 中 不 能 再 具 体 计 算 了 ， 这 是 因 为 外 层 函 数 f 仅 是 抽 象 的 函 数 记 号 ， 没 有 具 体 给 出 函 数 表 达 式 . ,f fu v 2 2 221 ( , ), , , .u u uu f x y z x y z x y z 例 设 求( , ), , , .u f s t u x y z则 从 而 是 的 复 合 函 数u f s f tx s x t x 2f fxs t u f s f ty s y t y 2f fys t u f s f tz s z t z 2f fzs t 2 2 2 , ,s x y z t x y z 解 令 ,u f s ts t x y zx y z 多 元 抽 象 复 合 函 数 求 导 ： 1 22 ,f xf 1 22f yf 1 22f zf 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 uvuff ),(1 , vu vuff ),(12 同 理 有 2f, 11f , 22f 等 . 引 入 记 号 : 12f提 示 : 1211111 fxyfzvvfzuufzf 1211111 fxyfzvfzuufzf 121111 fxyfzvvfzuufzf 提 示 2221222 fxyfzvvfzuufzf 2222 fxyfzvvfzff 22222 fxyfzvvfzuufzf 解 例 4. 设 wf(xyz, xyz), f具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 xw 及 zxw2 . 令 uxyz, vxyz , 则 wf(u, v). zfyzfyzffyzfzzxw 221212 )( 21 fyzfxvvfxuufxw , 21 fyzf ff , zfyzfff 221 2222121211 fzxyfyzfyfxyf 1211 ffyf 2222121211 fzxyfyzfyfxyf 22221211 )( fzxyfyfzxyf . 下 页 ,w f u v vux y zx y z 21 , ff 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 1. 2. (1)(3)(5)3.(1) 4. 6. 7. 8. 5. 作 业 P84 13. 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程隐 函 数 的 求 导 法 则 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ： 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 7.5 隐 函 数 的 求 导 法 则 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 0, yxF xfy若 方 程 确 定 了 函 数 x我 们 有 以 下 方 法 求 函 数 xfy 对 的 导 数 ：1. 先 把 函 数 显 化 再 求 导 。2. 将 方 程 0, yxF 两 边 同 时 对 求 导 ，x yxxy 1sin例 如 ： 两 边 对 求 导 ， 得 ：x yyxyxy 1cos 1coscos1 xyx xyyy注 意 这 时 是 的 函 数y x 一 、 复 习 一 元 隐 函 数 求 导 数 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 yyy cos 两 边 对 x 求 导xe y 0 yxcosxe yy x sin 1 0,xy e xy ,)(xfy 复 习 一 元 隐 函 数 求 导 数( ) sin 1 0. xy y x y e xydydx 设 函 数 由 方 程 确 定 ，求例 解 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 , 0F x y x 两 边 对 x 求 导0dd xyyFxFd ,d xyFyx F 0yF ,0),()( 所 确 定 的 隐 函 数为 方 程设 yxFxfy 如 果 F xx利 用 上 一 节 二 元 复 合 函 数 求 导 的 公 式 也 有 : sin 1 0,xy e xy ( ),y y x x y 令 , ,F F x y ,y y x 则 要 分 清 方 程 与 函 数定 理 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 xydd xyFF cosy xxe y ,1sin),( yxeyyxF x,xxF e y 则cosyF y x ,0),()( 所 确 定 的 隐 函 数为 方 程设 yxFxfy 则d , d xyFyx F 令 ( ) sin 1 0. xy y x y e xydydx 设 函 数 由 方 程 确 定 ，求例 解 法 二 要 分 清 方 程 与 函 数定 理 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 元 隐 函 数 求 导 数 ：设 ,z z x y 是 由 方 程 3 4 5 1yz xz z 3 4 5, , , 1y z x y x z x y z x y 3 3, , , ,v z z z x y v z x y zv yx 2 ,3 , z x yv z z x yz x x 所 确 定 的 隐 函 数 ，且 0,0 1,z 0,0 , 0,0 .x yz z 求解 ： 对 方 程两 边 关 于 求 偏 导 得 ，x 23 zy z x 于 是 42 3 4 ,3 4 5z zx yz xz z 因 此 0,0zx 1.54z 34 zx z x 45 zz x 0, 3 ,z x yx vx 一 元 复 合 函 数 求 导 ， 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 元 隐 函 数 求 导 数 ：设 ,z z x y 是 由 方 程 3 4 5 1yz xz z 所 确 定 的 隐 函 数 ，且 0,0 1,z 0,0 , 0,0 .x yz z 求解 ： 对 方 程两 边 关 于 求 偏 导 得 ，y 3z于 是 32 3 4 ,3 4 5z zy yz xz z 因 此 0,0zy 1.523 zy z y 34 zx z y 45 zz y 0,3 4 5 1yz xz z 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 由 方 程 F(x, y, z)0确 定 的 隐 函 数 zz(x, y)的 偏 导 数 为zxFFxz , z yFFyz . 下 页 说 明 类 似 可 得 其 中 0.Fz , .yxz zFz zx F , .yxz zFFz zx F y F 令 , , ,F F x y z ,0),()( 所 确 定 的 隐 函 数为 方 程设 yxFxfy 则d ,d xyFyx F 要 分 清 方 程 与 函 数 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 由 方 程 F(x, y, z)0确 定 的 隐 函 数 zf(x, y)的 偏 导 数 为zxFFxz , z yFFyz . 设 F(x, y, z)x2y2z24z, 解 例 2. 设 04222 zzyx , 求 2 2xz . 例 2.则 Fx2x, Fz2z4, zxzxFFxz zx 2422 . . 首 页 , .yxz zFFz zx F y F zx 要 分 清 方 程 与 函 数 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 2. 设 2 2 2 4 0,x y z z 方 法 二 : 直 接 对 方 程 两 边 求 导 ,2 2 4 0z zx z x x .2z xx z 2 2 .zx求再 对 x 求 导 ,二 元 隐 函 数 求 导 数 ： ,z z x yzx2 2 2 4 0,x y z z 要 分 清 方 程 与 函 数 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 lnx zz y例 求 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 ,z f x y的 偏 导 数 , .z zx y 解 ： 对 方 程 ,ln, z x yxz x y y 两 边 对 x 求 偏 导 有 ，1z 21 zxz x 1 ,zz x yy 即1z 21 zxz x 1 ,y zz y x 21 1 1.z zxz x z x z 因 此 .z zx x z 将 上 式 两 端 同 乘 得 ，2z 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 lnx zz y例 求 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 ,z f x y的 偏 导 数 , .z zx y 解 ： 对 方 程 ,ln, z x yxz x y y 两 边 对 y求 偏 导 有 ，21 zxz y 1 1 ,zz y yy 即 21 zxz y 1y zz y y 21 1 1.z zxz y z y y 因 此 2 .z zy xy yz 将 上 式 两 端 同 乘 得 ，2z yyz z 21 ,y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 lnx zz y例 求 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 ,z f x y的 偏 导 数 , .z zx y 由 方 程 F(x, y, z)0确 定 的 隐 函 数 zf(x, y)的 偏 导 数 为 zxFFxz , zyFFyz . 解 ： 设 , , ln .x zF x y z z y 则1,Fx z 1F y zy z y y 1yz y yz 21y zz y 1.y2 1F x yz z z z yz 2 1x yz z y 2 .x zz, .yxz zFFz zx F y F 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页1. 3. 5. 7. 8. 作 业 P88 12. 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ： 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 一 、 多 元 函 数 的 极 值 及 最 大 值 、 最 小 值 7.7 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v极 值 的 定 义 设 二 元 函 数 uf(P)在 点 P0的 某 个 邻 域 U(P0)内 有 定 义 . 如 果 对 于 U(P0)内 任 何 异 于 P0的 点 P都 有f(P)f(P0), 则 称 函 数 在 点 P0有 极 小 值 f(P0) 下 页 y x0P 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页提 示 : 当 (x, y)(0, 0)时 , z0, 而 当 (x, y)(0, 0)时 , z0. 因 此 z0是 函 数 的 极 小 值 .提 示 当 时 而 当 时 因 此 是 函 数 的 极 大 值 提 示 因 为 在 点 (0, 0)处 的 函 数 值 为 零 , 而 在 点 (0, )的 任 一邻 域 内 , 总 有 使 函 数 值 为 正 的 点 , 也 有 使 函 数 值 为 负 的 点 . 例 1. 函 数 z3x24y2在 点 (0, 0)处 有 极 小 值 . 例 3. 函 数 在 点 (0, 0)处 既 不 取 得 极 大 值 也不 取 得 极 小 值 . 例 2. 函 数 22 yxz 在 点 (0, 0)处 有 极 大 值 . 例 2. 下 页 2 2z y x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页一 定 有 极 大 值 ,即 0 0( , )x y0y y 0( , ) z f x y 0 x 00 0 0, ( , ) 0;x x xd f x y f x ydx 0 0 ( , ) 0.yf x y 同 理 可 证证 : 因 二 元 函 数 (x,y)在 点 处 有 极 值 ，故 固 定 时 ,一 元 函 数 在 点 处 也 v取 得 极 值 的 必 要 条 件 设 函 数 zf(x, y)在 点 (x0, y0)具 有 偏 导 数 , 且 在 点 (x0, y0)处 有 极 值 , 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 故 不 妨 设 ,z f x y在 点 0 0,x y 处 取 得 极 大 值 , 0 0, , ,f x y f x y 0 0,f x y 0 0 0, , ,f x y f x y因 此 有 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx 例 如 , 函 数 在 点 (0, 0)处 的 两 个 偏 导 数 都 是 零 , 因此 点 (0, 0)是 驻 点 。 但 点 (0, 0)既 不 是 函 数 的 极 大 值 点 也 不是 函 数 的 极 小 值 点 .2 2z y x 设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点),( 00 yx 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 ：0),( 00 yxfx ， 0),( 00 yxfy . （ 称 驻 点 ） 驻 点极 值 点注 意 ：定 理 1（ 必 要 条 件 ） 问 题 ： 如 何 判 定 一 个 驻 点 是 否 为 极 值 点 ？ 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页则 f (x, y)在 (x0, y0)处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 (1) B2AC0时 具 有 极 值 , 且 当 A0时 有 极 小 值 (2)B2 AC 0时 没 有 极 值 (3) B2 AC0时 可 能 有 极 值 , 也 可 能 没 有 极 值 . 下 页 同 一 元 函 数 类 似 ， 有 如 下 02 02 , ,x xd f x y Adx 02 02 , y yd f x y Cdy 0 0( , ) ,xxf x y A 0 0( , ) ,xyf x y B 0 0( , ) ,yyf x y C v取 得 极 值 的 充 分 条 件 设 函 数 zf(x, y)在 点 (x0, y0)的 某 邻 域 内 连 续 且 有 一 阶及 二 阶 连 续 偏 导 数 , 又 令0 0 0 0( , ) 0, ( , ) 0,x yf x y f x y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页v极 值 的 求 法 第 一 步 解 方 程 组求 得 一 切 实 数 解 , 即 可 得 一 切 驻 点 . 下 页 v设 函 数 zf(x, y) ,fx(x0, y0)0, fy(x0, y0)0, 令 (1) B2AC0时 具 有 极 值 , 且 当 A0时 有 极 小 值 (2)B2 AC 0时 没 有 极 值 0 0( , ),xxf x y 0 0( , ),xyf x y 0 0( , ).yyf x y 2 0 0 0 0 0 0, , ,xy xx yyf x y f x y f x y , 0, , 0,x yf x y f x y 第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 (x0, y0), 求 出第 三 步 定 出 的 符 号 , 判 定 f(x0, y0)是 否 是 极 值 、 是 极 大 值 还 是 极 小 值 . 0 0( , ) ,xxf x y A 0 0( , ) ,xyf x y B 0 0( , ) ,yyf x y C 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 4. 求 函 数 f(x, y)x3y33x23y29x 的 极 值 . 得 x1, 3 y0, 2. 函 数 的 驻 点 为 (1, 0)、 (1, 2)、 (3, 0)、 (3, 2). 求 得 二 阶 偏 导 数 为 在 点 (1, 0)处 , 在 点 (1, 2)处 , 1260, 下 页2B AC2B AC所 以 函 数 在 (1, 0)处 有 极 小 值 f(1, 0)5 所 以 f(1, 2)不 是 极 值 ( , ) 6 6,xxf x y x ( , ) 0,xyf x y ( , ) 6 6yyf x y y 解 : 求 驻 点解 方 程 组 ( , )xf x y 0963 2 xx( , )yf x y 063 2 yy 1260, 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 在 点 (3, 0)处 , 1260, 例 4. 求 函 数 f(x, y)x3y33x23y29x 的 极 值 . 得 x1, 3 y0, 2. 函 数 的 驻 点 为 (1, 0)、 (1, 2)、 (3, 0)、 (3, 2). 在 点 (3, 2)处 , 1260 , 又 f xx12 0 为 定义 在 D上 的 给 定 二 元 函 数 。以 区 域 D 的 边 界 为 母 线 ，生 成 一 个 垂 直 于 坐 标 平 面 的柱 面 ， 它 与 函 数 图 像 曲 面 z = f ( x , y ),平 面 区 域 D 所围 成 的 封 闭 立 体 ， 称 之 为 曲顶 柱 体 。1.曲 顶 柱 体 的 体 积 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页提 示 : 相 应 地 把 曲 顶 柱 体 分 成 了 n个 小 曲 顶 柱 体 . 用 曲 线 网 把 D分 成 小 区 域 1, 2, , n . 用 小 平 顶 柱 体 体 积 近 似 代替 小 曲 顶 项 柱 体 体 积 Vi Vif(xi, hi)i. 用 小 平 顶 柱 体 体 积 之 和 近似 代 替 整 个 曲 顶 柱 体 体 积 ini iifV hx 1 ),( . f(xi,hi)i (xi,hi)下 页 1.曲 顶 柱 体 的 体 积 1max ,ii n d 又 令 :i id 令 表 示 内 任 意 两 点 间 距 离 的 最 大 值 ,( ),称 为 该 区 域 的 直 径 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页提 示 : 相 应 地 把 曲 顶 柱 体 分 成 了 n个 小 曲 顶 柱 体 .提 示 其 中 为 各 小 区 域 直 径 的 最 大 值 . 用 曲 线 网 把 D分 成 小 区 域 1, 2, , n . 用 小 平 顶 柱 体 体 积 近 似 代替 小 顶 项 柱 体 体 积 Vi Vif(xi, hi)i. 用 小 平 顶 柱 体 体 积 之 和 近似 代 替 整 个 曲 顶 柱 体 体 积 ini iifV hx 1 ),( . 将 分 割 加 细 , 取 极 限 , 求 得曲 顶 柱 体 体 积 的 精 确 值 ini iifV hx 10 ),(lim . f(xi,hi) i (xi,hi)下 页 1.曲 顶 柱 体 的 体 积 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 D ),( yxfz 上 页 下 页 铃结 束返 回首