静电场中的导体和介质

oE 6-1-1 导 体 的 静 电 平 衡 条 件金 属 导 体 特 征 ： 存 在 大 量 的 自 由 电 子 -F E- +E = 0- +静 电 感 应 ： 在 外 电 场 影 响 下 ， 导体 表 面 不 同 部 分 出 现 正 负电 荷 的 现 象 。静 电 平 衡 ： 导 体 内 部 和 表 面 没 有电 荷 的 宏 观 定 向 运 动 。 E感 应 电 荷 ： 因 静 电 感 应 而 在 导 体 两 侧 表 面 上 出 现的 电 荷 。静 电 平 衡 时 导 体 中 的 电 场 特 性 ：1、 导 体 内 部 的 电 场 强 度 处 处 为 零 。 导 体 表 面的 电 场 强 度 垂 直 与 导 体 的 表 面 。2、 导 体 内 部 和 导 体 表 面 处 处 电 势 相 等 ， 整 个导 体 是 个 等 势 体 。-F 0E 6-1-2 静 电 平 衡 时 导 体 上 的 电 荷 分 布1. 在 静 电 平 衡 下 ， 导 体 所 带 的 电 荷 只 能 分 布 在 导体 的 表 面 ， 导 体 内 部 没 有 净 电 荷 。 i S o qSdE 1 00 iqE导 体 内 部 没 有 净 电 荷 ， 电 荷 只 能 分 布 在 导 体 表 面 。结 论 ： 0E S 2. 处 于 静 电 平 衡 的 导 体 ， 其 表 面 上 各 点 的 电 荷 密 度与 表 面 邻 近 处 场 强 的 大 小 成 正 比 。高 斯 定 理 ： odSEdS oE SdE3. 静 电 平 衡 下 的 孤 立 导 体 ， 其 表 面 处 电 荷 密 度 与 该表 面 曲 率 有 关 ， 曲 率 （ 1/R） 越 大 的 地 方 电 荷 密 度 也越 大 ， 曲 率 越 小 的 地 方 电 荷 密 度 也 越 小 。 尖 端 放 电 ： - + + + + 6.1.3 空 腔 导 体 1 腔 内 无 带 电 体 S iS o qSdE 1 00 iqE 电 荷 分 布 在 导 体 外 表 面 ， 导 体 内 部 和 内 表面 没 净 电 荷 。结 论 ： 2. 腔 内 有 带 电 体 00 iqE qq 在 静 电 平 衡 下 ， 电 荷 分 布 在 导 体 内 、 外 两 个 表面 ， 其 中 内 表 面 的 电 荷 是 空 腔 内 带 电 体 的 感 应 电荷 ， 与 腔 内 带 电 体 的 电 荷 等 量 异 号 。 结 论 ： 6-1-4 静 电 屏 蔽1、 空 腔 导 体 ， 腔 内 没 有 电 荷空 腔 导 体 起 到 屏 蔽 外 电 场的 作 用 。接 地 的 空 腔 导 体 可 以 屏蔽 内 、 外 电 场 的 影 响 。一 个 接 地 的 空 腔 导 体 可 以 隔 离 内 外电 场 的 影 响 。静 电 屏 蔽 ：2、 空 腔 导 体 ， 腔 内 存 在 电 荷 +q 例 1. 有 一 外 半 径 R1， 内 半 径 为 R2的 金 属 球 壳 。 在 球 壳中 放 一 半 径 为 R3的 金 属 球 ， 球 壳 和 球 均 带 有 电 量 10-8C的 正 电 荷 。 问 ： （ 1） 两 球 电 荷 分 布 。 （ 2） 球 心 的 电势 。 （ 3） 球 壳 电 势 。0 3 E （ r R3 ）22 4 rqE o （ R3 R2 ）1、 电 荷 +q分 布 在 内 球 表 面 。2、 球 壳 内 表 面 带 电 -q。3、 球 壳 外 表 面 带 电 2q。01 E （ R2 R1 ）R3R2 R1 （ 2） 3 23 12 100 R RR RR Ro ldEU 222 42423123 rqdrrqdrdrEdrEU oRR oR oRRo 123123 21144 2114 RRRqRqRRq ooo （ 3） 121 4 24 21 RqdrrqU oR o BAq1 q2例 2.两 块 大 导 体 平 板 ， 面 积 为 S， 分 别 带 电 q1和 q2， 两 极板 间 距 远 小 于 平 板 的 线 度 。 求 平 板 各 表 面 的 电 荷 密 度 。电 荷 守 恒 ： 243 121 qSS qSS 由 静 电 平 衡 条 件 ， 导 体 板 内 E = 002222 02222 4321 4321 ooOOB ooooAEE Sqq 2 2141 Sqq 2 2132 2 3 41 分 子 中 的 正 负 电 荷 束 缚 的 很 紧 ， 介 质 内 部几 乎 没 有 自 由 电 荷 。电 介 质 ：电 阻 率 很 大 ， 导 电 能 力 很 差 的 物 质 ， 即 绝 缘 体 。（ 常 温 下 电 阻 率 大 于 107欧 米 ） 6-2-1 电 介 质 的 极 化 两 大 类 电 介 质 分 子 结 构 ：分 子 的 正 、 负 电 荷 中 心 在 无 外 场 时重 合 。 不 存 在 固 有 分 子 电 偶 极 矩 。1. 无 极 分 子 ： H 4C H 2OHH O分 子 的 正 、 负 电 荷 中 心 在 无 外 场 时不 重 合 ， 分 子 存 在 固 有 电 偶 极 矩 。2. 有 极 分 子 ： O HO H 电 偶 极 子 1、 无 极 分 子 的 位 移 极 化 E 在 外 电 场 的 作用 下 ， 介 质 表 面 产生 电 荷 的 现 象 称 为电 介 质 的 极 化 。 由 于 极 化 ， 在 介质 表 面 产 生 的 电 荷 称为 极 化 电 荷 或 称 束 缚电 荷 。 FF 2、 有 极 分 子 的 转 向 极 化 Eo FF - p E o 无 极 分 子 在 外 场 的 作 用下 由 于 正 负 电 荷 发 生 偏 移 而产 生 的 极 化 称 为 位 移 极 化 。 有 极 分 子 在 外 场 中 发 生 偏 转而 产 生 的 极 化 称 为 转 向 极 化 。 0E EE外 电 场 ： 0E极 化 电 荷 产 生 的 电 场 ： E介 质 内 的 电 场 ： E EEE o 击 穿 ： 在 强 电 场 作 用 下 电 介 质 变 成 导 体 的 现 象 。空 气 的 击 穿 电 场 强 度 约 为 ： 1mmKV3 矿 物 油 的 击 穿 电 场 强 度 约 为 ： 1mmKV15 云 母 的 击 穿 电 场 强 度 约 为 ： 1mmKV20080 6-2-2 极 化 强 度 电 极 化 强 度 是 反 映 介 质 极 化 程 度 的 物 理 量 。P 0p没 极 化 ： 0p极 化 时 ： Eo 电 极 化 强 度 定 义 ： VpP i （ C m-2 ）实 验 表 明 ： 对 于 各 向 同 性 的 均 匀 电 介 质 ， 其 中 任一 点 处 的 电 极 化 强 度 与 该 点 的 总 场 强 成 正 比 。EP oe e ： 介 质 的 极 化 率极 化 率 e与 电 场 强 度 E无 关 ， 取 决 于 电 介 质 的 种 类 。 电 极 化 强 度 与 极 化 电 荷 的 关 系 ： 设 在 均 匀 电 介 质 中 截 取 一斜 柱 体 。 体 积 为 V。coslSV iplSlq VpP i nPP coscos coslS lS L P PSd 结 论 ： 均 匀 电 介 质 表 面 产 生 的 极 化 电 荷 面 密度 等 于 该 处 电 极 化 强 度 沿 表 面 外 法 线 方 向的 投 影 。 cosP :2 极 化 电 荷 带 正 电极 化 电 荷 带 负 电:2 nPP cos0 xn 电 极 化 强 度 通 过 任 意 封 闭 曲 面 的 通 量 ： SSS SSPSP ddcosd 内 ）（ S iS qSP d 6.2.3 有 介 质 时 的 高 斯 定 理 iS o qSPE d iioS qqSE 1d iq 封 闭 曲 面 S所 包 围 的 自 由 电 荷 。 iq 封 闭 曲 面 S所 包 围 的 极 化 电 荷 。 SoioS SPqSE d11d 定 义 电 位 移 矢 量 ： PED o 介 质 中 的 高 斯 定 理 ： 在 静 电 场 中 ， 通 过 任 意 封 闭曲 面 的 电 位 移 通 量 等 于 该 曲 面 所 包 围 的 自 由 电 荷 的代 数 和 。 iS qSD d 2mC 注 意 ：电 位 移 矢 量 是 一 个 辅 助 量 。 描 写 电 场 的 基 本 物理 量 是 电 场 强 度 。D E 介 质 中 的 高 斯 定 理 包 含 了 真 空 中 的 高 斯 定 理 。真 空 中 ： 0P EPED oo 所 以 ： iS oS qSESD dd ioS qSE 1d与 的 关 系D E EP oe 对 于 各 向 同 性 的 电 介 质 ： PED o EE oeo Eoe 1er 1令 r ： 相 对 介 电 常 数ED ro ro 令 或 ： 介 电 常 数 注 ： PED o 是 定 义 式 ， 普 遍 成 立 。ED 只 适 用 于 各 向 同 性 的 均 匀 介 质 。真 空 中 ： ooED 介 质 中 ： ED ro EE ro EE rooo 有 介 质 时 静 电 场 的 计 算1. 根 据 介 质 中 的 高 斯 定 理 计 算 出 电 位 移 矢 量 。iS qSD d2. 根 据 电 场 强 度 与 电 位 移 矢 量 的 关 系 计 算 场 强 。DE EEDP r 00 )1( 3. 根 据 电 位 移 矢 量 的 定 义 计 算 电 极 化 强 度 。 例 3. 图 中 是 由 半 径 为 R1的 长 直圆 柱 导 体 和 同 轴 的 半 径 为 R2的 薄 导体 圆 筒 组 成 ， 其 间 充 以 相 对 介 电 常数 为 r的 电 介 质 . 设 直 导 体 和 圆 筒 单位 长 度 上 的 电 荷 分 别 为 +和 - . 求 : (1)电 介 质 中 的 电 场 强 度 、 电 位 移和 极 化 强 度 ； (2)电 介 质 内 外 表 面 的 极 化 电 荷 面密 度 . 1R2R lSDS d解 (1) lrlD 2 rD 2rDE r0r0 2 )( 21 RrR EDP 0 1R2R r rE rr0r 2 1)1( 2r02 2 RE )( 2Rr 1r01 2 RE )( 1Rr (2) 由 r DE r02 1R2R r 2rr20r2 2 )1()1( RE 1rr10r1 2 )1()1( RE cos ppn cos)1( 0Er 6-3-1 孤 立 导 体 的 电 容 5毫 升0 5毫 升导 体 具 有 储 存 电 荷 的 本 领 电 容 ： 孤 立 导 体 所 带 电 量 q与其 电 势 V 的 比 值 。法 拉 （ F= CV-1 ）pF10F10F1 126 VqC 孤 立 导 体 球 RqV 04 1孤 立 导 体 球 的 电 容 为 ：电 势 ： RRqqVqC 0 0 44 1 孤 立 导 体 的 电 容 仅 取 决 于 导 体 的 几 何 形 状 和 大小 ， 与 导 体 是 否 带 电 无 关 。 地 球 的 电 容 ： F104.61085.844 6120 RC F1011.7 4 6-3-2 电 容 器 电 容 器 ： 一 种 储 存 电 能 的 元 件 。由 电 介 质 隔 开 的 两 块 任 意 形状 导 体 组 合 而 成 。 两 导 体 称为 电 容 器 的 极 板 。 电 容 器 的 符 号 ：电 容 器 电 容 ： 极 板 电 量 q与 极 板 间 电 势 差 VAB之 比 值 。 ABVqC 电 容 器 的 计 算1、 平 板 电 容 器 dC SC 1d+ -BA -q+q E SrE 0 SqddEdV rr 00AB 电 容 ： 00AB Cd SVqC rr r ： 相 对 电 容 率 = 相 对 介 电 常 数 2. 球 形 电 容 器 24 rqE ro BA020AB 1144B A RRqrdrqV rRR r AB BA0AB 4 RR RRVqC r AB RR 当 A04 RC r （ 孤 立 导 体 球 的 电 容 ） d Sd RC rr 02A04 AAB RdRR 当 RARB r RA RB3. 圆 柱 形 电 容 器由 高 斯 定 理 计 算 得 ： lrrlqrE rr 122 00 BARR rAB rrlqV d2 0 ABr RRlq ln2 0 AB0AB ln2 RR lVqC r圆 柱 形 电 容 器 电 容 ：设 极 板 间 距 为 d， RB = RA +d当 d RA时 AAAAAB RdRdR dRRR 1lnlnlnd lRC Ar02 d Sr0 （ ）A2 lRS 计 算 电 容 器 电 容 的 步 骤 ：1、 计 算 极 板 间 的 场 强 E BA lEV d2、 计 算 极 板 间 的 电 势 差3、 由 电 容 器 电 容 定 义 计 算 C VqC 6-3-3 电 容 器 的 联 接 qCCCVVVV AB n21n21 111 2.电 容 器 的 串 联 C1 C2 CnVAB设 各 极 板 带 电 量 为 q串 联 电 容 器 的 等 效 电 容 的 倒 数 等 于 各 电 容的 倒 数 之 和 。结 论 ： 11 CqV 22 CqV 等 效 电 容 ： C1 nCCC 111 21 CqV AB 2. 电 容 器 的 并 联 C1 C2 C3VAB总 电 量 ： AB2121 VCCCqqqq nn 等 效 电 容 ： nCCCVqC 21AB并 联 电 容 器 的 等 效 电 容 等 于 个 电 容 器 电 容 之 和 。结 论 ： AB11 VCq AB22 VCq 例 4. 自 由 电 荷 面 密 度 为 o的 平 行 板 电 容 器 ， 其 电容 量 为 多 少 ？ 极 化 电 荷 面 密 度 为 多 少 ？解 ： 由 介 质 中 的 高 斯 定 理SSD o oD ro oroDE rood D 0 0EdVAB dSd Sro ABV SC 0 oooE oE EEE o oooro 0 or 11 0 0 0E E 例 5.一 平 行 板 电 容 器 ， 中 间 有 两 层 厚 度 分 别 为 d1和 d2的 电 介 质 ， 它 们 的 相 对 介 电 常 数 分 别 为 r1和 r2， 极板 面 积 为 S。 求 电 容 。解 ： oD 11 ro oE 22 ro oE 1211 dEdEV VSC o d1d2 2r1r 2211 rroo dd 2211 rr o dd S 21 111 CCC 例 6.一 平 行 板 电 容 器 充 以 两 种 不 同 的 介 质 ， 每 种介 质 各 占 一 半 体 积 。 求 其 电 容 量 。 dS1r 2r解 ： dSC ro2 11 d SC ro2 22 21 CCC 212 rrodS 例 7. 球 形 电 容 器 由 半 径 为 R1的 导 体 球 和 内 半 径 为 R3的导 体 球 壳 构 成 ， 其 间 有 两 层 均 匀 电 介 质 ， 分 界 面 的 半径 为 R2， 相 对 介 电 常 数 分 别 为 r1和 r2 。 求 ： 电 容 。R1R2R 3 r1r2解 ： qDrSDS 24d 24 rqD roDE 211 4 rqE ro 222 4 rqE ro 3221 2221 4 d4 d RR roRR ro rrqrrqV 321321 23111232 4 RRR RRRRRRq rrr rr 23111232 321214 RRRRRR RRRVqC rr rro 该 问 题 也 可 看 成 两 个 球 形 电 容 器 的 串 联 ：12 21101 4 RR RRC r 23 32202 4 RR RRC r 等 效 电 容 21 111 CCC 6-4-1 点 电 荷 系 的 电 能 a br功 ： rqqW 2104 1静 电 能 ： 221 02 4 1 VqrqqWWe 11201 4 1 VqrqqWe 221121 VqVqWe 两 个 点 电 荷 的 相 互 作 用 能 ： 或 点 电 荷 系 统 的 相 互 作 用 能 ： ni iie VqW 121式 中 Vi 表 示 除 第 i 个 点 电 荷 以 外 的 所 有 其 它 点 电 荷的 电 场 在 所 qi 在 处 的 总 电 势 。 连 续 分 布 带 电 体 的 电 能 ： qe qVW d21 6-4-2 电 容 器 的 能 量qqCqVW d1dd AB -q +qVAB+ +dq Q CQqqCW 0 221d1 ABCVQ因 为所 以 AB2AB2 212121 QVCVCQWe 6-4-3 电 场 的 能 量 电能储存在（定域在）电场中dSC SdEW e 221电 容 器 体 积 ： V = Sd2AB21CVWe EdV AB以 平 板 电 容 器 为 例 ： 电 场 的 能 量 密 度 ： 单 位 体 积 电 场 所 具 有 的 能 量221 Ee w结 论 ： 电 场 的 能 量 密 度 与 电 场 强 度 的 平 方 成 正 比 电 场 能 的 计 算 式 ： VW ee dw注 意 ： 对 于 任 意 电 场 ， 上 式 普 遍 适 用 。 例 8. 真 空 中 一 半 径 为 a， 带 电 量 为 Q 的 均 匀 球 体 的 静电 场 能 。 oraQrE 34344 3321 球 内 场 强 ： 31 4 aQrE o aQ球 外 场 强 ： 22 4 rQE o aar rErEV dd 21 34 3aQ 3223 384 d4 d arQQrrQarQrV oa oar o rraraQaQVVW a oe d4383421d21 20 323 体 rararaQ ao d3163 0 32232 aQW oe 203 2 aQ 解 二 ： a oa oee VEVEVW d21d21d 220 21 w a ooao oo rrrQrrrQ d4421d4421 222222 aQaQaQ ooo 203840 222 例 9. 空 气 平 行 板 电 容 器 ， 面 积 为 S， 间 距 为 d。 现 在把 一 块 厚 度 为 t的 铜 板 插 入 其 中 。 （ 1） 计 算 电 容 器的 电 容 改 变 量 。 （ 2） 电 容 器 充 电 后 断 开 电 源 ， 再 抽出 铜 板 需 作 多 少 功 ？插 入 前 ： dSC oo 插 入 后 ： tdV o td SVSC o StQCQCQWWA ooo 222 222 )( tdd StC o d t 例 10. 球 形 电 容 器 带 电 q， 内 外 半 径 分 别 为 R1和 R2， 极板 间 充 满 介 电 常 数 为 的 电 介 质 。 计 算 电 场 的 能 量 。R1R2rdr解 ： 24 rqD 24 rqDE rrV d4d 2 222 821 rqEe w VW ee dd w 21222 118d821 RRqrrqdVW RRee w计 算 电 容 量 ： CqRR RRqWe 2 12 212 21421 12 214 RR RRC