空间直角坐标系的建立的常见方法

、空间直角坐标系的建立的常见方法运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系.依据空间几何体的结构特 征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键.一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例1、在正方体ABCDA B CD，中，点M是棱AA的中点，点0是对角线BD，的中点.(I) 求证：0M为异面直线AA和BD的公垂线;(II) 求二面角MBCB的大小；例2、如图，在直三棱柱ABC-ABC中,1 1 1AB=1，AC = AA1 = 73，ZABC=60(I )证明：AB丄AC1(II)求二面角A AC B的大小。1二、利用线面垂直关系建系例3、已知三棱锥PABC中，PA丄面ABC，AB丄AC,PA=AC= AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(I) 证明：CM丄SN；(II) 求SN与平面CMN所成角的大小.例4、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE丄 AC,EFAC,AB二 J2 , CE=EF=1.(I) 求证：AF平面BDE；(II) 求证：CF丄平面BDE；(III) 求二面角A-BE-D的大小。例5、如图，在三棱锥P- ABC中，AC二BC二2zZACB = 90，AP 二 BP 二 AB，PC 丄 AC(I) 求证：PC丄AB ；(II) 求二面角B - AP - C的大小；(III) 求点C到平面APB的距离.E例6、 如图2,在三棱柱ABCABC中，AB丄侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C勺一点，EA丄EB .已知 AB =J2，BB=2, BC=1，ZBCC=.1113求二面角AEBA的平面角的正切值.三、利用面面垂直关系建系例7、如图3,在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形, 侧面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.(1) 证明AB丄平面VAD；(2) 求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.例8、在直三棱柱ABC-ABC中,1 1 1AB=BC, D、E分别为BB, AC的中点.1 1(1) 证明：ED为异面直线BB与AC的公垂线；1 1(2) 设AA = AC =弋2AB，求二面角A 一 AD一 C的大小.1 1 1例9、四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC丄底面ABCD。已知ZABC = 45,AB = 2, BC= 2、迂，SA=SB=3。(I) 证明：SA丄BC；(II) 求直线SD与平面SAB所成角的大小；例10、如图，直三棱柱ABC-ABC中，1 1 1AC = BC, AA = AB , D为BB的中点，E为AB上的一点,1 1 1AE = 3EB .1(I)证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；1(II)设异面直线AB 1与CD的夹角为45,求二面角A1 - AC1 - B1的大小四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例11已知正四棱锥vABCD中，E为VC中点, 正四棱锥底面边长为2a，高为h.(1) 求ZDEB的余弦值；(2) 若BE丄VC，求ZDEB的余弦值.、求平面的法向量法向量的定义：如果向量a丄平面a ,那么向量a叫做平面a的法向量。平面的法向量共 有两大类(从方向上分)，且有无数条。方法：1、找现成的面的垂线；2、不定方程组法：设平面a的法向量为n =(x,y,z), a = (x ,y ,z牀庸=(x ,y ,z )是平面a内的2个相交向量,由111 222一 一可得一个含x, y,z的不定方程组，然后在x, y,z中任取一个好算的值(一般不能取0)n - b = 0即可得一个法向量n。3、矢量积法:x1x2y1y2z1z2y1y2y1y2=(y1 J y 2 今 x2 厂 x1 z2, x1y 2 - x2 y1)注意：a x b与a, b都垂直,222THANKS致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考