《极限的运算法则》PPT课件.ppt

目 录学 习 目 的 与 要 求1、 熟 练 地 利 用 极 限 的 四 则 运 算 法 则 求 极 限2、 掌 握 常 用 的 求 极 限 方 法 目 录 极 限 运 算 法 则 的 理 论 依 据定 理一 、 复 习 : 函 数 极 限 与 无 穷 小 量 的 关 系 . 在 同 一 变 化 过 程 中 , 函 数 f(x)极 限 是 A的 充 要 条 件 为 : 函 数 f(x) 可 以 表 示 成 : 极 限 A与 一 个 无 穷 小 之 和 .Axf )(lim )( Axf 目 录 二 、 法 则 导 入 , )(lim , )(lim 则存 在设 BxgAxf . ) 0,( , )( , )( BxgAxf 在 该 极 限 过 程 中 )()( xgxf 有 何联 想 ?, )()( BA , )()( BA BAxgxf )()(lim 函 数 和 的 极 限 等 于 极 限 的 和 . 目 录 , )()()()()2( BAABBAxgxf . )0( , )()( )()3( BBB ABBABABABABAxg xf 目 录(1)和 函 数 的 极 限 等 于 极 限 的 和 .(2)积 函 数 的 极 限 等 于 极 限 的 乘 积 .(3)商 函 数 的 极 限 等 于 极 限 的 商 (分 母 不 为 零 ).差 一 点 ! 结 论 成 立 的 条 件 . 目 录 设 在 某 极 限 过 程 中 , 函 数 f (x)、 g(x) 的 极 限 lim f (x)、 lim g(x) 存 在 , 则一 、 极 限 的 四 则 运 算 法 则)()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf 1、 加 法 法 则 ： 代 数 和 的 极 限 等 于 极 限 的 代 数 和推论1：推广到有限个函数的代数和 2、 乘 法 法 则 ： 乘 积 的 极 限 等 于 极 限 的 乘 积 )()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf 目 录推 论 2： 推 广 到 有 限 个 函 数 的 积 )(lim)(lim 00 xfcxfc xxxx （ c为 常 数 ）推 论 1： 常 数 因 子 可 以 提 到 极 限 记 号 外 面 )( )(lim xg xf )(lim )(lim xg xf 0B（ 当 ）3、 除 法 法 则 : 商 的 极 限 等 于 极 限 的 商小 结 : 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 的 极 限 等 于 函 数 极 限 的 和 、 差 、 积 、 商 目 录例 ： xtgxx x cossinlim0 xx sinlim0 xx coslim0 tgxx 0lim 0解 ： xtgxxx cossinlim0 .41lim 23 xxx 41lim 23 xxx ）（）（4lim 1lim3 23 xxxx .1043 19 例 ：解 ： )4(lim3 xx 4limlim 33 xx x 0143 .53lim 22）（ xxx )53(lim 22 xxx 5lim3limlim 2222 xxx xx 352322 例 ：解 ： 目 录 )(lim)(lim ,)()(lim,)(lim xufxuf AfxufAxu 则有意义且存在若4、 法 则 4: x x 1sinlim xx coslnlim 0 0cosln 1ln 0)1limsin( xx 解 ：例 ： xx 1sinlim 00sin 例 ：解 ： xx coslnlim 0 目 录解 0)32(lim 21 xxx 03)14(lim 1 xx又 03014 32lim 21 x xxx由 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系 ,得 32 14lim 21 xx xx 32 14lim: 21 xx xx求 求 极 限 方 法 (2)无 穷 小 与 无 穷大 关 系 法例 当 分 母 极 限 为 零 时 ，商 的 极 限 法 则 不 能 用 .型0A 目 录练 习 ：求下列函数的极限)ln()1(3lim)1( 0 exxx 14 2lim)2( 2 21 xxxx 10)11(lim).5( x x xx sinlnlim)4( 2 )ln(lim)1(lim3 00 exx xx 3)0ln()10(3 e解 ： 12 2lim)3( 2 21 xxxx)ln()1(3lim)1( 0 exxx 14 2lim)2( 2 21 xxxx )14(lim )2(lim 2 1 21 xxxx x 1limlim4 2lim 121 21 xx x xx x211114 2122 目 录练 习 ：求下列函数的极限 10)11(lim).3( xx xx sinlnlim)4( 212 2lim)1( 2 21 xxxx 14 2lim)2( 2 21 xxxx 目 录12 2lim)1( 2 21 xxxx 0102 12lim 221 x xxx 12 2lim 2 21 xxxx14 2lim)2( 2 21 xxxx 211114 2122 10)11(lim).3( xx 10)11(lim xx 1)01( 10 xx sinlnlim)4( 2 )sinlimln( 2 xx 2sinln 01ln 目 录定义： 无穷小之比或无穷大之比的极限等，这类极限 可能存在，也可能不存在,极限存在也会有各 种不同的结果。 这种类型的极限称为未定式极限。不 能 直 接 使 用 极限 的 四 则 运 算 法则 来 计 算 的 极 限四 、 未 定 式 极 限 ”“00,1”“”“0”“主要的未定式的极限有: 目 录.39lim 23 xxx )3( )3)(3(lim39lim 323 x xxxx xx方 法 ： 分 子 分 母 分 解 因 式 ， 消 去 使 他 们 趋 于 零 的 公 因 子型有理式00.1 .03lim09lim 323 ）（，）（分析：因为xx xx *求 未 定 式 极 限 方 法 举 例 、 练 习)00(型 6)3(lim3 xx解例 求 极 限 的 方 法 (3)约 零 因 子 法 目 录 方 法 ： 含 根 式 的 极 限 ， 需 有 理 化 变 形 ： 分 子 分 母 同 乘 所 含 根 式 的 有 理 化 因 子 ， 再 消 去 使 他 们 趋 于 零 的 公 因 子 。型无理式00.2 求 极 限 的 方 法 (3) 约 零 因 子 法 目 录220 11lim xxx ,0 分 母 都 趋 于 零分 子时当分 析 x .,再 求 极 限先 分 母 有 理 化 220 11lim xxx )1(1 )11(lim 2 220 x xxx 2 220 )11(lim x xxx ),(2)11(lim 2 0 代 入 计 算极 限 确 定 xx )00(型解例 )11)(11( )11(lim 22 220 xx xxx 目 录14 31-2x lim5x x解例 * 14 31-2x lim5x x )31-2x)(14)(14( )14)(31-2x)(31-2x( lim 5x xx x)31-2x)(14( 14)912 lim 5x x xx）（32 )31-2x)(5( 14)52 lim 5x x xx ）（31-2x 14(2 lim 5x ）x 31-10 145(2 ） 目 录.4 65lim.1 222 x xxx求练 习 .42lim.2 2 2 xxx求.1 213lim.3 1 xxx求.21 34lim.4 5* xxx求 1015.lim(1 )x x 目 录.42lim.2 22 xxx 4123lim.)2)(2( )3)(2(lim 22 xxxx xx xx 4121lim)2)(2( 2lim 22 xxx x xx)00(型)00(型.4 65lim.1 222 x xxx解 1 213lim.3 1 xxx )213)(1( )213)(213(lim1 xx xxx )213)(1( 413lim1 xx xx )213)(1( )1(3lim1 xx xx43213 3lim1 xx 目 录.21 34lim.4 5* xxx求.)34)(21)(21( )21)(34)(34(lim5 xxx xxxx .)34)(41( )21)(94(lim 5 xx xxx .)34)(5( )21)(5(lim5 xx xxx3234 21lim5 xxx 10)11(lim).5( xx 10)11(lim xx 1)01( 10 目 录 11lim.2 31* xxx )1)(1( )1)(1(lim 31 xx xxx 1 )1)(1)(1(lim 21 x xxxxx 61 )1)(1(lim 21 xxxx 目 录方 法 ： 分 子 分 母 同 时 除 以 x的 最 高 次 方 幂型有理式及无理式.3 求 极 限 的 方 法 (4)约 最 高 次 幂 法 目 录.13 32lim 22 xxx 13 32lim 22 xxx )13(lim )32(lim 22xxxx 3203 02 )(型解例 1 , 分 母 都 趋 于 无 穷 大分 子时当分 析 x .,2 再 求 极 限转 化 为 无 穷 小去 除 分 子 分 母先 用 x 2213 32lim xxx 目 录0A0)111(lim )11(lim 22 xx xxx x )11(lim )111(lim 2 2xx xxxx .1 1lim 2 x xxx )(型 2 211 111lim xx xxx 例 2 .324 23lim 32 xx xxx )(型 32 32 324 213lim xx xxxx 040 .13 32lim 22 xxx 32例 3例 1 目 录为 非 负 整 数 时 有和当 nmba ,0,0 00 lim 110 110 nnn mmmx bxbxb axaxa 小 结 : , 00 分 母 最 高 次 幂 ）（ 分 子 最 高 次 幂当 mnba , ,0 分 母 最 高 次 幂 ）（ 分 子 最 高 次 幂当 nm , , 分 母 最 高 次 幂 ）（ 分 子 最 高 次 幂当 nm 要 记 住 哦 ! 目 录练 习 167 435lim.1 23 xx xxx求167 435lim.2 22 xx xxx求167 435lim.3 32 xx xxx求23 15lim.4 2* x xxx求 75=0 3103 0123 151lim x xxx 目 录型有理式.4 方 法 ： 先 通 分 化 为 分 式 ， 再 求 极 限求 极 限 的 方 法(5)约 最 高 次 幂 法 目 录).1211(lim 21 xxx 12lim,11lim 211 xx xx分析：)1211(lim 21 xxx 11lim 21 xxx 11lim1 xx 21解 例 )( )1211(lim 221 xxxx 00)1)(1( 1lim1 xx xx 目 录 00 练 习 ).1 11 3(lim 31 xxx 求 1 2lim 321 x xxx 3 21 1 )1(3lim x xxx ).111 3(lim 3 231 x xxxx 3 21 12lim x xxx )1)(1( )2)(1(lim 21 xxx xxx 112lim 21 xx xx 目 录).21(lim 222 nnnnn 求是无穷小之和时,n 2222 21lim)21(lim n nnnnn nn 2 )1(21lim nnnn )11(lim21 nn .21先变形再求极限. 说 明 :无 穷 多 个无 穷 小 量 之和 不 一 定 是无 穷 小解例 目 录五 、 小 结 -极 限 求 法 ;1.多 项 式 与 分 母 不 为 零 的 分 式 函 数 代 入 法 求 极 限 ;6.利 用 左 右 极 限 求 分 段 函 数 极 限 .2.利 用 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系 求 型 极 限 ;3.消 去 零 因 子 法 求 极 限 ;005.通 分 法 求 极 限 ;4.分 子 分 母 同 除 以 x的 最 高 次 方 法 求 型 极 限 ; )(x7.复 合 函 数 的 极 限 . 8.无 穷 小 与 有 界 变 量 的 积 是 无 穷 小 .0A