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专题八 数列、不等式 数列、不等式要 点 回 扣易 错 警 示查 缺 补 漏 3 要点回扣问题1已知数列a n的前n项和Snn21，则an_. 2.等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n 2).(2)等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d. 若公差d0，则为递增等差数列；若公差dB. (5)等比数列的性质当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman .2pa问题3(1)在等比数列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整数，则a10_.(2)各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log 3a1log3a2log3a10_.51210 4.数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法； (6)并项法.数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法.问题4数列an满足anan1 (n N，n 1)，若a21，Sn是an的前n项和，则S21的值为_. 5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.问题5不等式3x25x20的解集为_. 6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行.问题6已知a，b，c，d为正实数，且cd，则“ ab”是“ acbd”的_条件.充分不必要 (2)用法：已知x，y都是正数，则若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2 ；若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值 s2. 易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.9 8.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解. 易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误 易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误 易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误易错警示 易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误 易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q是_.错解-1 找准失分点当q1时，符合要求.很多考生在做本题时都想当然地认为q 1.正解当q1时，S3S69a1，S99a1， S3S6S9成立.当q 1时，由S3S6S9 q9q6q310，即(q31)(q61)0. q 1， q31 0， q61， q1.答案1或1 易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误例2若等差数列an的首项a121，公差d4，求：Sk|a1|a2|a3|ak|.错解由题意，知an214(n1)254n，因此由an 0，解得n ，即数列a n的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. |a1|a2|a3|ak|(a1a2a3a6)(a7a8ak)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8ak)2k223k132所以Sk2k223k132. 找准失分点忽视了k 6的情况，只给出了k 7的情况.正解由题意，知an214(n1)254n，因此由an 0，解得n ，即数列an的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k 6时，Sk|a1|a2|ak|a1a2ak2k223k.当k 7时，|a1|a2|a3|ak|(a1a2a3a6)(a7a8ak)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8ak)2k223k132， 易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误例3各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，则S40_.错解150或200找准失分点数列S 10，S20S10，S30S20，S40S30的公比q100.忽略了此隐含条件，就产生了增解200. 正解记b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S40S30，b1，b2，b3，b4是以公比为rq100的等比数列. b1b2b31010r10r2S3070， r2r60， r2或r3(舍去)，答案150 易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误 找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到. 查缺补漏1.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7等于()A.10 B.18 C.20 D.28解析因为a3a810，所以由等差数列的性质，得a 5a610，所以3a5a72a52a620，选C.C 查缺补漏2.若 0，则下列不等式：ab|b|；ab中，正确的不等式有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个故ab0，所以ab|a|，故错误；由知|b|a|，a0，bb，即错误，选B.答案B 查缺补漏 查缺补漏答案A 查缺补漏4.设等比数列an的前n项和为Sn，若S10 S51 2，则S15 S5等于()A.3 4 B.2 3 C.1 2 D.1 3解析 an是等比数列， S 5，S10S5，S15S10也构成等比数列，记S52k(k 0)，则S10k，可得S10S5k， 查缺补漏答案A 查缺补漏5.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，则第50个括号内各数之和为()A.195 B.197 C.392 D.396 查缺补漏解析将三个括号作为一组，则由501632，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16696项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项，即为2981195， 查缺补漏第二个数为2991197，故第50个括号内各数之和为195197392.故选C.答案C 查缺补漏6.已知点A(m，n)在直线x2y10上，则2m4n的最小值为_.解析点A(m，n)在直线x2y10上， 查缺补漏解析由x，a，b，y成等差数列知abxy，由x，c，d，y成等比数列知cdxy， 4 查缺补漏 查缺补漏解析画出可行域D，如图中阴影部分所示，答案4 查缺补漏 查缺补漏解析 an是单调递增数列， 4a0， anan14(n 2，n N). an为公差为4的等差数列，由8a 1 4a13，得a13或a11. 查缺补漏当a13时，a27，a727，不满足a2是a1和a7的等比中项.当a11时，a25，a725，满足a2是a1和a7的等比中项. an1(n1)44n3. 查缺补漏由符号x表示不超过实数x的最大整数知，当2 m n2m1时，log2nm，2nb 查缺补漏所以令Sb1b2b3b2nlog21log22log23log22n011234n1n. S121222323424(n1)2n1n， 2S12 2223324425(n1)2n2n. 查缺补漏得S22223242n1(n1)2nn S(n2)2 nn2，即b1b2b3 (n2)2nn2.2nb
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