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第 二 章 基 本 初 等 函 数2.2 对 数 函 数第 二 课 时 2.2.2对 数 函 数 及 其 性 质 理 解 对 数 函 数 的 概 念 ； 掌 握 对 数 函 数 的 图 象 、 性 质 ； 培 养 学 生 数 形 结 合 的 意 识 掌 握 对 数 函 数 的 单 调 性 ； 掌 握 同 底 数 对 数 比 较 大 小 的 方 法 ； 掌 握 对 数 形 式 的 复 合 函 数 的 定 义 域 、 值 域 ； 一般地,函数 y = ax ( a 0, 且 a 1 ) 叫做 指数函 数,其中x是自变量.a 1 0 a 1）的图象 y=logax（0a1及0a0，且a1 ).8.5log3.4,log 22 2.7log1.8,log 0.30.3 5.9log5.1,log aa （ 1） 考 查 对 数 函 数 y=log2x， 因 为 它 的 底 数 21,所 以 它 在 (0,+) 上 是 增 函 数 ， 于 是 log23.4log28.5.（ 2） 考 查 对 数 函 数 y=log0.3x， 因 为 它 的 底 数 满 足 00.3log0.32.7.（ 3） 对 数 函 数 的 增 减 性 决 定 于 对 数 的 底 数 是 大 于 1还 是 小 于 1，而 已 知 条 件 中 并 未 明 确 指 出 底 数 a与 1哪 个 大 ， 因 此 ， 要 对 底 数 a进 行 讨 论 ：当 a1时 ， 函 数 y=logax在 (0,+)上 是 增 函 数 ， 于 是 loga5.1loga5.9;当 0aloga5.9. 考点二 求定义域求下列函数的定义域：（1）（2）3);-(4xlogy 0.5 ).4-(16logy x1x【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.【解析】（1）由log 0 .5 (4 x-3 )0 4 x-3 0得0 4 x-3 1 , 0 x0 得 x-1 x+1 1 x0 . -1 x0或0 x0 x0 log0 .8 x-1 0 即 x0 .8 2 x-1 0 , x , 0 0 x x-1 0 解得 x1 3 x-1 0 x 3 x-1 0 x 因此，函数的定义域为 (1 ,+) . 3132 23 考点三 求值域求 下 列 函 数 的 值 域 ：（ 1） （ 2）（ 3） y=log a(a-ax)(a1). 12);4x-(-x logy 221 3);-2x-(x logy 221【 分 析 】 复 合 函 数 的 值 域 问 题 ， 要 先 求 函 数 的 定 义 域 ，再 由 单 调 性 求 解 . 【 解 析 】 （ 1） -x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616, 又 -x2-4x+120, 00,且 y=log x在 (0,+)上 是 减 函 数 , y R, 函 数 的 值 域 为 实 数 集 R.2121 （3）令u=a-ax, u0 ,a1 , axa,x1 , y=loga(a-ax)的定义域为x|x1 , ax0 ,u=a-axa, y=loga(a-ax)logaa=1 ,函数的值域为y|y0知 - x0得 (2x+1)(x-3)0， 得 x3. 易 知 y=log0.1是 减 函 数 ， =2x2-5x-3在 上 为 减 函 数 ， 即 x越 大 ， 越 小 ， y=log0.1u越 大 ； 在 (3,+)上 函 数 为增 函 数 ， 即 x越 大 ， 越 大 ， y=log0.1 越 小 . 原 函 数 的 单 调 增 区 间 为 ,单 调 减 区 间 为 (3,+).21 )21,-(-)21,( 【 评 析 】 复 合 函 数 单 调 区 间 的 求 法 应 注 意 三 点 ： 一 是 抓 住 变 化 状 态 ；二 是 掌 握 复 合 函 数 的 单 调 性 规 律 ； 三 是 注 意 复 合 函 数 的 定 义 域 . 考点六 求变量范围例.已知函数f(x)=lg(ax2 +2 x+1 ).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 【 分 析 】 若 f(x)的 定 义 域 为 R， 则 对 一 切 x R,f(x)有 意 义 ； 若 f(x)值 域 为 R， 则 f(x)能 取 到 一 切 实 数 值 .【 解 析 】 （ 1） 要 使 f(x)的 定 义 域 为 R， 只 要 使 (x)=ax2+2x+1的 值 恒为 正 值 ， a0 =4-4a0， 1.a（ 2） 若 f(x)的 值 域 为 R， 则 要 求 (x)=ax2+2x+1的 值 域 包 含 (0,+). 当 a0时 ， (x)=ax2+2x+1要 包 含 (0,+)， 需 a0 =4-4a0 综 上 所 述 ， 0 a1. 1.a0 【 评 析 】 本 题 两 小 题 的 函 数 的 定 义 域 与 值 域 正 好 错 位 .（ 1） 中 函 数 的 定 义 域 为 R,由 判 别 式 小 于 零 确 定 ；（ 2） 中 函 数 的 值 域 为 R， 由 判 别 式 不 小 于 零 确 定 . 考点七 对数的综合应用例、已知函数f(x)= .（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)在(1,+)上是增函数.1-x 1xlog21 【 分 析 】 由 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调 性 的 证 明 方 法 作 出 证 明 .【 解 析 】 （ 1） 由 0 解 得 f(x)的 定 义 域 是 (- ,-1) (1,+ ), f(-x)= = = -f(x), 是 奇 函 数 . 1-x 1x 1-x- 1x-log21 1x 1xlog 21 1-x 1xlog- 21 （ 2） 证 明 :设 x1,x2 (1,+)， 且 x1x11, x2-x10,x1-10,x2-10, u(x1)-u(x2)0,即 u(x1)u(x2)0, y=log u在 (0,+)上 是 减 函 数 , log u(x1)log u(x2), 即 log log , f(x 1)0的 x的 范 围 ， 即 求 函 数 的 定 义 域 .假 设 f(x)在 定 义 域 的 子 区 间 I1上 单 调 递 增 ， 在 子 区 间 I2上 单 调 递 减 ， 则 当 a1时 ， 原 函 数 与 内 层 函 数 f(x)的 单 调 区 间 相 同 ， 即 在 I1上 单 调递 增 ， 在 I 2上 单 调 递 减 . 当 0a0， 且 a1.但 指 数 函 数 的 定 义 域 是 R， 对 数 函 数 的 定 义 域 是 (0,+).对 数 函 数的 图 象 在 y轴 的 右 侧 ， 真 数 大 于 零 ， 这 一 切 必 须 熟 记 .2.反 函 数（ 1） 在 写 指 数 函 数 或 对 数 函 数 的 反 函 数 时 ， 注 意 函 数 的 定 义 域 且底 数 必 须 相 同 ；（ 2） 互 为 反 函 数 的 两 个 函 数 在 各 自 的 定 义 域 内 单 调 性 相 同； 如 何 学 好 对 数 函 数 ？对 数 函 数 与 指 数 函 数 的 学 习 要 对 比 着 进 行 ， 如 它 们的 定 义 域 和 值 域 互 换 ， 它 们 的 单 调 性 与 底 数 a的 关 系完 全 一 致 ， 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 图 象 分 别 过 点(0,1)和 点 (1,0)等 ， 这 样 有 助 于 理 解 和 把 握 这 两 个函 数 . 例 1、 若 函 数 f(x)=ax(a0， 且 a1)的 反 函 数 的 图 象 过点 (2,-1),则 a= .【 解 析 】 反 函 数 的 图 象 过 点 (2,-1)， 则 f(x)=ax的图 象 过 (-1,2),得 a-1=2,a= .21 例 2、 设 f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x).（ 1） 求 函 数 f(x)的 定 义 域 ；（ 2） f(x)是 否 存 在 最 大 值 或 最 小 值 ？ 如 果 存 在 ， 请 把它 求 出 来 ;如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .1-x 1x （1）由 0 x - 1 0 p - x0 当 p1时 ， 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (1,p)(p1).)1)(,1( ppx 1-x 1x（ 2） 因 为 f(x)=所 以 当 1,即 1p 3时 ， f(x)无 最 大 值 和 最 小值 ； 当 1 3,x= 时 ， f(x)取 得 最 大 值 ， log2 =2log2(p+1)-2， 但 无 最 小 值 p),x(14 )1()21-p-(x-log 22 p2 1-p2 1-p 2 1-p41)(p 2 请 同 学 们 独 立 完 成 配 套 课 后 练 习 题 。 下 课 ！谢 谢 同 学 们 ！
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