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第四章 一 次 函 数4.2 一 次 函 数 与 正 比 例 函 数 1.掌 握 一 次 函 数 、 正 比 例 函 数 的 概 念 .（ 重 点 ）2.能 根 据 条 件 求 出 一 次 函 数 的 关 系 式 （ 难 点 ）学 习 目 标 如 果 设 蛤 蟆 的 数 量 为 x， y分 别 表 示 蛤 蟆 嘴 的 数量 ， 眼 睛 的 数 量 ， 腿 的 数 量 ， 扑 通 声 ， 你 能 列 出 相应 的 函 数 解 析 式 吗 ？y=xy=2xy=4xy=kx 导 入 新 课情境引入 在 现 实 生 活 当 中 有 许 多 问 题 都 可 以 归结 为 函 数 问 题 ,大 家 能 不 能 举 一 些 例 子 ? 讲 授 新 课一次函数与正比例函数知 识 点 1 y=3+0.5x 情 景 一 ： 某 弹 簧 的 自 然 长 度 为 3 cm ， 在 弹 性 限 度 内 ， 所挂 物 体 的 质 量 x每 增 加 1千 克 ， 弹 簧 长 度 y增 加 0.5 cm . (1) 计 算 所 挂 物 体 的 质 量 分 别 为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时 的 长 度 ， 并 填 入 下 表 ：x/kg 0 1 2 3 4 5y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 情 景 二 ： 某 辆 汽 车 油 箱 中 原 有 油 60 L,汽 车 每 行 驶50 km 耗 油 6 L. (1) 完 成 下 表 ：汽 车 行 使 路 程x/km 0 50 100 150 200 300油 箱 剩 余 油 量y/L 60 54 48 42 36 30(2) 你 能 写 出 y与 x的 关 系 吗 ?y=60 0.12x 上 面 的 两 个 函 数 关 系 式 : (1) 若 两 个 变 量 x、 y之 间 的 关 系 可 以 表 示 成y=kx+b(k,b为 常 数 ， k不 等 于 0） 的 形 式 ， 则 称 y是 x的 一 次 函 数 .（ x为 自 变 量 ， y为 因 变 量 .）当 b=0时 ， 称 y是 x的 正 比 例 函 数 .大 家 讨 论 一 下 ,这两 个 函 数 关 系 式有 什 么 关 系 ? 下 列 关 系 式 中 ， 哪 些 是 一 次 函 数 ， 哪 些 是 正 比 例 函 数 ？ (1)y x 4; (2)y 5x2 6； (3)y 2x; (6)y 8x2 x(1 8x)(4) ;2xy 2(5) ;y x解 ： (1)是 一 次 函 数 ， 不 是 正 比 例 函 数 ；(2)不 是 一 次 函 数 ， 也 不 是 正 比 例 函 数 ；(3)是 一 次 函 数 ， 也 是 正 比 例 函 数 ；(4)是 一 次 函 数 ， 也 是 正 比 例 函 数 ；(5)不 是 一 次 函 数 ， 也 不 是 正 比 例 函 数 ；(6)是 一 次 函 数 ， 也 是 正 比 例 函 数 练一练 方法总结1.判 断 一 个 函 数 是 一 次 函 数 的 条 件 ：自 变 量 是 一 次 整 式 ， 一 次 项 系 数 不 为 零 ；2.判 断 一 个 函 数 是 正 比 例 函 数 的 条 件 ：自 变 量 是 一 次 整 式 ， 一 次 项 系 数 不 为 零 ， 常 数 项为 零 典例精析例 1： 写 出 下 列 各 题 中 y与 x之 间 的 关 系 式 ， 并 判 断 ：y是 否 为 x的 一 次 函 数 ？ 是 否 为 正 比 例 函 数 ？（ 1） 汽 车 以 60km /h的 速 度 匀 速 行 驶 ,行 驶 路 程 为y(km )与 行 驶 时 间 x(h)之 间 的 关 系 ; 解 ： 由 路 程 =速 度 时 间 ， 得 y=60 x ,y是 x的 一次 函 数 ,也 是 x的 正 比 例 函 数 . 解 ： 由 圆 的 面 积 公 式 ， 得 y=x 2, y不 是 x的 正 比 例 函 数 ， 也 不 是 x的 一 次 函 数 .（ 2） 圆 的 面 积 y (cm 2 )与 它 的 半 径 x (cm )之 间 的 关 系 . 解 ： 这 个 水 池 每 时 增 加 5m 3水 ， x h增 加 5x m 3水 ， 因 而 y=15+5x, y是 x的 一 次 函 数 ， 但 不 是 x的 正 比 例 函 数 .（ 3） 某 水 池 有 水 15m 3， 现 打 开 进 水 管 进 水 ， 进 水 速度 为 5m 3/h， x h后 这 个 水 池 有 水 y m 3. 例 2： 已 知 函 数 y (m 5)xm2 24 m 1.(1)若 它 是 一 次 函 数 ， 求 m的 值 ；(2)若 它 是 正 比 例 函 数 ， 求 m的 值 解 ： (1) 因 为 y (m 5)xm2 24 m 1是 一 次 函 数 ， 所 以 m2 24 1且 m 50， 所 以 m 5且 m5， 所 以 m 5. 所 以 ， 当 m 5时 ， 函 数 y (m 5)xm 2 24 m 1是 一 次 函 数 (2)若 它 是 正 比 例 函 数 ， 求 m 的 值 解 ： (2)因 为 y (m 5)xm2 24 m 1是 一 次 函 数 ， 所 以 m2 24 1且 m 50且 m 1 0. 所 以 m 5且 m5且 m 1， 则 这 样 的 m不 存 在 ， 所 以 函 数 y (m 5)xm2 24 m 1不 可 能 为 正 比 例 函 数 【 方 法 总 结 】 函 数 是 一 次 函 数 ， 则 k0， 且 自 变 量的 次 数 为 1.当 b 0时 ， 一 次 函 数 为 正 比 例 函 数 变式训练(1)若 是 正 比 例 函 数 ， 则 m= ；|m|y (m )x 12 -= -(2)若 是 正 比 例 函 数 ， 则 m= ； 21 1( )y m- x m -= + -2 -1 m-20， |m|-1=1， m=-2. m-10， m2-1=0， m=-1. 如 图 ， ABC是 边 长 为 x的 等 边 三 角 形 .（ 1） 求 BC边 上 的 高 h与 x之 间 的 函 数 解 析 式 .h是 x的一 次 函 数 吗 ？ 如 果 是 ， 请 指 出 相 应 的 k与 b的 值 .解 : (1) BC边 上 的 高 AD也 是 BC边 上 的 中 线 ， BD= .在Rt ABD中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 2 2 2 21 3 ,4 2h AD AB BD x x x 即 3 .2h x h是 x的 一 次 函 数 ， 且 3, 0.2k b 能力提升 12x （ 2） 当 h= 时 ， 求 x的 值 .3 （ 3） 求 ABC的 面 积 S与 x的 函 数 解 析 式 .S是 x的 一 次 函 数 吗 ？解 : （ 2） 当 h= 时 ， 有 .3 33 2 x 解 得 x=2. （ 3） 21 1 3 3 ,2 2 2 4S AD BC x x x 即 S不 是 x的 一 次 函 数 .23 ,4S x 1.判 断 :(1)y=2.2x， y是 x的 一 次 函 数 ， 也 是 x的 正 比 例函 数 . （ ） (2)y=80 x+100 ， y是 x的 一 次 函 数 . （ ） 2.在 函 数 y=(m-2)x+(m2-4)中 ， 当 m 时 ，y是 x的 一 次 函 数 ； 当 m 时 ， y时 x的 正比 例 函 数 . 2=-2随 堂 练 习 3.已 知 函 数 y=(m-1)x m +1是 一 次 函 数 ， 求 m值 .4.若 函 数 y=(m-3)x+m2-9是 正 比 例 函 数 ， 求 m的 值 .解 ： 根 据 题 意 ， 得 m =1,解 得 m= 1，但 m-10,即 m1,所 以 m=-1.解 ： 根 据 题 意 ， 得 m2-9=0,解 得 m= 3，但 m-30,即 m3,所 以 m=-3. 5.已 知 y-3与 x成 正 比 例 ， 并 且 x=4时 ， y=7， 求y与 x之 间 的 函 数 关 系 式 . 解 ： 依 题 意 ， 设 y-3与 x之 间 的 函 数 关 系 式 为 y-3=kx， x=4时 ， y=7， 7-3=4k， 解 得 k=1. y-3=x， 即 y=x+3. 6.有 一 块 10公 顷 的 成 熟 麦 田 ， 用 一 台 收 割 速 度 为0.5公 顷 每 小 时 的 小 麦 收 割 机 来 收 割 .（ 1） 求 收 割 的 面 积 y（ 单 位 ： 公 顷 ） 与 收 割 时 间x（ 单 位 ： 时 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 ；（ 2） 求 收 割 完 这 块 麦 田 需 用 的 时 间 .解 ： （ 1） y=0.5x；（ 2） 把 y=10代 入 y=0.5x中 ， 得 10=0.5x.解 得 x=20， 即 收 割 完 这 块 麦 田 需 要 20小 时 . 7.一 个 小 球 由 静 止 开 始 沿 一 个 斜 坡 向 下 滚 动 ， 其速 度 每 秒 增 加 2 m /s （ 1） 求 小 球 速 度 v（ 单 位 ： m /s） 关 于 时 间 t（ 单 位 ：s） 的 函 数 解 析 式 ;解 ： 小 球 速 度 v关 于 时 间 t的 函 数 解 析 式 为 v=2t. （ 2） 求 第 2.5 s 时 小 球 的 速 度 ； （ 3） 时 间 每 增 加 1 s， 速 度 增 加 多 少 ， 速 度 增加 量 是 否 随 着 时 间 的 变 化 而 变 化 ？解 ： (2)当 t=2.5时 ， v=2 2.5=5(m /s).(3)时 间 每 增 加 1 s， 速 度 增 加 2 m /s， 速 度 增 加 量 不 随 着 时间 的 变 化 而 变 化 . 一 次函 数 一 次 函 数 的 概 念正 比 例 函 数 的 概 念函 数 关 系 式 的 确 定课 堂 小 结
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