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数字信号处理课程 知识点概要 第 1章 数字信号处理概念知识点 1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字 信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量） 2、数字信号的产生； 3、典型数字信号处理系统的主要构成。 量化、编码 采样 模拟信号 离散时间信号 数字信号 A / D 变换器 通用或 专用 计算机 采样 保持器 D/ A 变换器 模拟 低通 滤波器 模拟 信号 数字信号 模拟 信号 连续时间 信号 连续时间 信号 数字信号处理系统 1. 周期序列的判断与周期 T的求取。 基本概念题（填空、判断、选择）。 本章典型题型与习题讲解 ： 0 2 判断 是否为有理数。 2. 判断系统是否是线性非时变系统。 Linear system : 齐次性与叠加性 即 y1(n)=Tx1(n) ， y2(n)=Tx2(n) y (n)=Tax1(n) bx2(n) = ay1(n) by2(n) *加权信号和的响应 =响应的加权和。 Time-invariant: 时不变特性 即 y(n-n0)=Tx(n-n0) 3( ) cos( ) 78x n A n 1() 8() jnx n e 3 2 1 4, 73w w 12, 1 6 8w w 习题 1. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （ 1） （ 3） 解 ： （ 1） （ 2） 这是无理数，因此是非周期序列。 A是常数； 这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14； 4. 线性卷积的计算。 5.模拟信号数字处理的方法与过程；采样、恢 复的概念；采样定理及采样后产生的影响；预 滤波、平滑滤波的作用； 第二部分 离散时间系统 1、线性时不变系统的判定 2、线性卷积 3、系统稳定性与因果性的判定 4、线性时不变离散时间系统的表示方法 5、系统分类及两种分类之间的关系 1、线性系统：对于任何线性组合信号的 响应等于 系统对各个分量的响应的线性组合。 线性系统 判别准则 若 11( ) ( )y n T x n 22( ) ( )y n T x n 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T ax n bx n ay n by n 则 2、时不变系统：系统的参数不随时间而变化，不管 输入信号作用时间的先后，输出信号的响应的形状均 相同，仅是出现时间的不同 若 ( ) ( )yn T x n 则 00( ) ( )T x n n y n n 时不变系统 判别准则 ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) k k y n x k h n k x n h n x n k h k h n x n 3、线性卷积 y(n)的长度 Lx Lh 1 两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷 积之后是无限长序列 卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再 进行卷积，但必须看清起点在哪里 系统 时域充要条件 Z域充要条件 因果 h(n)0 (n0) ROC: R1 Z 稳定 h(n) n=- ROC: 包含单位圆 4、系统的稳定性与因果性 5、 差分方程 描述系统输入输出之间的运算关系 N阶线性常系数差分方程的一般形式： 其中 ai、 bi都是常数 。 离散系统差分方程表示法有两个主要用途： 求解系统的瞬态响应； 由差分方程得到系统结构； 01 ( ) ( ) ( ) MN ii ii y n a x n i b y n i 6、线性时不变离散时间系统的表示方法 线性常系数差分方程 单位脉冲响应 h(n) 系统函数 H(z) 频率响应 H(ejw) 零极点图（几何方法） 7、系统的分类 IIR和 FIR 递归和非递归 例 1. 判断下列系统是否为线性系统。 5)(3)()( );()()( );()()( );()()( 2 2 nxnyd nxnyc nxnyb nnxnya 解 ： (a) )()() ,()()( )()( 222111 nxTnnxnynxTnnxny nnxny ） )()( )()( )()()()( 2211 2211 22112211 nxTanxTa nyanya nnxannxanxanxaT 故为线性系统。 （ b) )()(),()()( )()( 2 2 221 2 11 2 nxTnxnynxTnxny nxny ） )()( )()( )()()()( 2211 2211 2 22 2 112211 nxTanxTa nyanya nxanxanxanxaT 故为线性系统。 )()() ,()()( )()( 2 2 221 2 11 2 nxTnxnynxTnxny nxny ） )()(2)()( )()()()( 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22112211 nxnxaanxanxa nxanxanxanxaT 故不是线性系统。 (c) )()()()( 22112211 nxTanxTanxanxaT 可见： )()()()( 2222112211 nxanxanxTanxTa (d) 。加即，系统操作为乘 ） 53 )(5)(3() ,(5)(3)( 5)(3)( 222111 nxTnxnynxTnxny nxny 5)()(3)()( 22112211 nxanxanxanxaT 故不是线性系统。 )()()()( 22112211 nxTanxTanxanxaT 2221112211 5)(35)(3)()( anxaanxanxTanxTa 可见： 例 2 判断系统 是否是移不变系统。 其中 a和 b均为常数 bnaxny )()( 解： )()()( )()()( mnybmnaxmnxT nybnaxnxT 故为移不变系统。 例 3 判断系统 是否是移不变系统。 ( ) ( )sin(2 0.1 )yn xn n 解： )1.02s i n ()()( )()1.02s i n ()()( 系统操作 nmnxmnxT nynnxnxT 故不是移不变系统。 又： 1.0)(2s i n)()( 函数操作 mnmnxmny 显然 )()( mnymnxT );1()()()( );()()( nxnxnyb nnxnya 例 4. 判断下列系统是否为移不变系统。 解： 系统操作 )()( )()()( mnnxmnxT nynnxnxT 故不是移不变系统。 又： 函数操作 )()()( mnxmnmny 显然 )()( mnymnxT （ a） )1()()( )()1()()( )1()()( mnxmnxmnxT nynxnxnxT nxnxny 故是移不变系统。 又： )1()()( mnxmnxmny 显然 )()( mnymnxT （ b) 一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这 完全由边界条件决定。 例如：差分方程 （ c) 边界条件 时，既不是线性的也不是移不变的。 )()1()( nxnayny （ a) 边界条件 时，是线性的但不是移不变的。 0)0( y （ b) 边界条件 时，是线性移不变的。 0)1( y ( 1) 1y 的情况）解：（ 0)1( yb )()(1 nnx 令 1)0()1()0( 11 ayy aayy )1()0()1( 11 211 )2()1()2( aayy . nannayny )()1()( 11 所以： )()(1 nuany n )()1()( nxnayny )1()(2 nnx 又令 0)1()1()0( 22 ayy则： . 所以： )1()( 12 nuany n 1)0()0()1( 22 ayy aayy )1()1()2( 22 122 )1()1()( nannayny 可见 是移一位的关系， 亦是移 一位的关系。因此是移不变系统。 )()( 21 nxnx )()( 21 nyny )()()()()( 111 nxTnuanynnx n 由上述分析可知： )()1()()1()( 2122 nxTnuanynnx n )1()()(3 nnnx 又令： 代入差分方程，得： 1)10()0()1()0( 33 ayy 1)0()1()0()1( 33 aayy aaayy 233 )1()2()1()2( 2333 )2()3()2()3( aaayy . 13 )( nn aany 所以： )()()()()( 2113 nxnxTnuanuany nn )()()()()( 21213 nxTnxTnynyny 因此为线性系统。 3. 判断系统是否是因果稳定系统。 Causal and Noncausal System（因果系统） causal system: (1) 响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n0 （线性、时不变系统） Stable System （稳定系统） (1) 有界输入导致有界输出 (2) （线性、时不变系统） (3) H(z)的极点均位于 Z平面单位圆内（因果系统） n nh |)(| *实际系统一般是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统 ,因 n0时 的输入 ; （ b）由于 领先于 ，故为非因果系统。 例 5 判断下列系统是否为因果系统。 )2()()()( nxnxnya )1()()1()( nxnxnyb )()()( kxnyc n k )()()( nxnyd （ a) 为因果系统，由定义可知。 )1( ny )(nx 解： 由于 由目前和过去的输入所决定，故为 因果系统。 )(ny 由于 n=-1时，有 y（ -1） =x(1)； 也就是 领先于 ，故为非因果系统。 )(ny )( nx )()()( kxnyc n k )()()( nxnyd 第 2章回顾 要点与难点 1、 Z变换 Z变换的定义、零极点、收敛域 逆 Z变换（部分分式法） Z变换的性质及 Parseval定理 2、离散时间傅里叶变换 DTFT的定义、性质 DTFT与 Z变换的关系 DTFT存在的条件 3、 DFT DFT定义，与 Z变换的关系， DFT性质 4、 FFT 5、 DFT的应用 n njj enxeX )( deeXnx njj )( 2 1 2.1节知识点 1、 DTFT的定义： 正变换： 反变换： 基本性质。 常见变换对； 离散时间信号的频域（频谱）为周期函数； 1( ) ( ) 2 j j nx n X e e d nj n j enxeX )()( n nx |)(| Condition: (DTFT)序列傅立叶变换 (IDTFT)序列傅立叶反变换 注 ： 周期序列不满足该绝对可和的条件，因此它的 DTFT 不存在。 1. DTFT的计算及其性质。 方法 1：根据定义式求解 一般序列 )()()( nxnxnx oe 共轭对 称序列 共轭反对 称序列 )(*)( 2 1 )( )(*)( 2 1 )( nxnxnx nxnxnx o e 一般实序列 () () ()eox n x n x n 偶序列 奇序列 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 e o x n x n x n x n x n x n 1 ( ) ( ) * ( ) 2 1 ( ) ( ) * ( ) 2 j j j e j j j o X e X e X e X e X e X e 方法 2：根据 DTFT的性质求解（特别是对称性） （ a）序列分成实部与虚部时 : )()()( )( )( )( j o j e j ir eXeXeX njxnxnx 其中 n njrrje enxnxFTeX )()()( n njiijo enxjnjxFTeX )()()( 序列分成实部与虚部两部分，实部对应的 FT 具有共轭对称性，虚部和 j一起对应的 FT具有共轭 反对称性。 )()()( )( )( )( j I j R j oe ejXeXeX nxnxnx 其中 )()(21)( jjjR eXeXeX （ b）序列分成共轭对称 与共轭反对称 时 : )(nxe )(nx o )()(21)( jjjI eXeXejX 序列的共轭对称部分 xe(n)对应着 FT的实部 XR(ej)，而序列的共轭反对称部分 xo(n)对应着 FT 的虚部 jXI(ej) 。 11 ( ) 1 c o s 1 22 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 0 1 1 2 j j j R e j eR H e e e F T h n h n I F T H e n n n 例 1：若序列 h(n)是实因果序列，其 DTFT的实部如 下式： HR(ej) 1+cos 求序列 h(n)及其傅里叶变换 H(ej). 解： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 () 0 ( ) 2 ( 0 ) ( 0 ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 e e e n n n h n h n h n h n hn n h n hh n h n h n h n hn 为实因果序列 时， ； 时， 01 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 1 1 2 ( ) 1 0 1 1 2 1 1 ( ) 1 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 e e e n j j n j j n j n h n h n n h n h n n h n n h n n n n h n n n H e h n e e e e 时， 时 ， 时， 而有 为其它值 2 2 c o s 2 j e 2、 Z 变换表示法： 1) 级数形式 （ 定义 ） 2) 解析表达式 （ 根据常见公式 ） （ 注意 :表示收敛域上的函数 ， 同时注明收敛域 ） 3、 Z 变换收敛域的特点： 1) 收敛域是一个圆环 ， 有时可向内收缩到原点 ， 有 时可向外扩展到 ， 只有 x(n)=(n)的收敛域是整个 Z 平面 2) 在收敛域内没有极点 ， X(z)在收敛域内每一点上 都是解析函数 。 ( ) ( ) n n X z x n z 4、几类序列 Z变换的收敛域 (1) 有限长序列 :X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2) 0 n1 n n2 0|z| 展开式出现 z的负幂 n1 n n2 0 0|z| 展开式出现 z的正幂 n1 0 0|z| Rx n1 0, n2= , Rx |z| 展开式出现 z的正幂 Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。 (3) 左边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n1 =-) n1 = -, n2 0, |z| 0, 0|z| Rx , Rx |z| Rx Rx Rx , 空集 5、部分分式法进行逆 Z变换 1) 求极点 2) 将 X(z)分解成部分分式形式 3) 通过查表，对每个分式分别进行逆 Z变换 4) 注：左边序列、右边序列对应不同收敛域 5) 将部分分式逆 Z变换结果相加得到完整的 x(n)序列 6) 6、 Z变换的性质 7) 移位 、 反向 、 乘指数序列 、 卷积 常用序列 z变换 （ 可直接使用 ） 1 1 1 1 1 ( ) 1 | | 1 z 1 1 ( ) 0 | | 1 1 ( ) | | | | 1z 1 ( 1 ) 0 | | | | 1z N N n n z u n z z z R n z z z a u n a z a z a a u n z a a 7、 DTFT与 Z变换的关系 采样序列在单位圆上的 Z变换等于该序列的 DTFT 序列频谱存在的条件 Z变换的收敛域包含单位圆 ( ) ( ) ( )jj jnze n X e X z x n e 8、 Parseval定理重要应用 计算序列能量： 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致 2 21( ) | ( ) | 2 j n x n X e d 例 2 ：求下列序列 Z 变换，并指出收敛域。 （ 1 ） )()()( 21 nunx n （ 2 ） )1()()( 21 nunx n （ 3 ） )()()( 21 nunx n （ 4 ） )10()()()( 21 nununx n 分析计算题（计算证明、分析问答）。 本章典型题型与习题讲解 ： 解：根据 Z 变换的定义： （ 1 ） 1 2 1 0 2 1 2 1 1 1 )()()()( z zznuzX n nn n nn ， 2 1: zR O C （ 2 ） 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 )2()()( zz z zzzX k k n nn ， 2 1: zR O C （ 3 ） 221 1 )2()()( 1 1 0 0 2 1 z z z zzzX k k n nn ， 2 1: zR O C （ 4 ） 1099 1 2 1 00 1 ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( 2 ) n n n nn z X z z z z ， 1 : 2 R O C z 方法 2. 幂级数法 (长除法 ) 左边序列：将 X(z)的分子、分母按 Z的升幂排列 右边序列：将 X(z)的分子、分母按 Z的降幂排列 对于大多数单阶极点的序列 ， 常常用这种 部分分式展开法求逆 Z变换 。 方法 3. 部分分式展开法 3.逆 Z变换的计算。 方法 1. 用留数定理求逆 Z变换 11Res ( ) , ( ) ( ) k nn k k z zX z z z z z X z z 求逆 z变换时特别需要注 意收敛域的范围，收敛域 不同，逆 z变换的结果是不 同的。如果没有明确告诉 收敛域的范围，则求逆 z变 换时需要讨论。 11 32() 1 121 2 Xz z z ()Xz 16. 已知 : 求出对应 的各种可能的序列的表达式。 解： 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因 此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 0 . 5z 时， （ 1）当收敛域 11( ) ( )2 n cx n X Z z dzj 1 11 11 5 7 5 7( ) ( ) (1 0.5 )(1 2 ) ( 0.5)( 2) n n nzzF z X z z z z z z z z 令 ，因为 c内无极点， x(n)=0； 0n ， C内有极点 0，但 z=0是一个 n阶极点， 改为求圆外极点留数，圆外极点有 1n 那么 0 .5 2 ( ) R e ( ) , 0 .5 R e ( ) , 2 ( 5 7 ) ( 5 7 ) ( 0 .5 ) ( 2 ) ( 0 .5 ) ( 2 ) ( 0 .5 ) ( 2 ) 1 3 ( ) 2 2 ( 1 ) 2 nn zz nn x n s F z s F z z z z z zz z z z z un ( 5 7 )() ( 0 .5 ) ( 2 ) nzz Fz zz 0 .5 2z（ 2）当收敛域 时， 1( ) R e ( ),0.5 3 ( ) 2 nx n s F z0n ， C内有极点 0.5； ( ) Re ( ),2 22 ( 1)nx n sF z u n 1() 3 ( ) () 2 2 ( 1) 2 nnx n u n u n 0n ， C内有极点 0.5， 0，但 0是一个 n阶极点， 改成求 c外极点留数， c外极点只有一个，即 2， 最后得到 ( 5 7 )() ( 0 .5 ) ( 2 ) nzz Fz zz 2 z （ 3）当收敛域 1( ) Re ( ),0.5 Re ( ),2 3( ) 2 2 2 nnx n sF z sF z nN，则 L=M）。较短的一个需要补 0至 L（两个序列的长度 要求相等）。循环卷积可以用 DFT(FFT)实现； 用循环卷积实现线性卷积： LM+N -1 若不满足这个条件，则只在 N-1 n M-1范围 内两者相等。 典型题型与习题讲解 ： 分析计算题（计算证明、分析问答、判断）。 2.4频域采样定理 如果 x（ n）的长度为 M，则 只有当频 域采样点数 NM时 ，才有 可由频域采样 恢复原序列 x（ n）， 否则将产生时域混叠现象。 ( ) ( ) ( )Nx n IDFT X k x n )( kX 在 z平面的单位圆上的 N个等角点上，对 z变 换进行取样，将导致相应的时间序列周期延拓， 延拓周期为 N。 DFS DFT 线性 线性 序列移位 循环移位 共轭对称性 共轭对称性 周期卷积 循环卷积 ( ) ( ) ( ) ( ) mk N nl N D F S x n m w X k ID F S X k l w x n D F S D F S x n X k x n X k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mk N nl NN DFT f n w X k IDFT X k l R k w x n DFT x n X N k 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N m N m F k X k Y k f n I D F S F k x m y n m y m x n m 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) N NN m N NN m F k X k Y k f n I D F T F k x m y n m R n y m x n m R n DFT 选频性 DFT与 Z变换 DFT与 DTFT DFT形式下的 Parseval定理 2 ( ) ( ) k N jkk N NzwX k X z z w e 2 ( ) 2 ( ) / ( ) 0 1 1() 10 ojq n j q k j q k N x n e n N N k qe Xk e k q 11 * 00 11 22 00 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 | ( )| | ( )| ( ) ( ) NN nk NN nk x n y n X k Y k N x n X k x n y n N 2( ) ( ) N jw w kw NX k X e w N 重新构造两个长度为 L的序列 x(n)和 y(n), 方法： 末尾补零 对 x(n)和 y(n)进行圆周卷积： 首先对两个序列进行周期延拓 对延拓后的周期序列进行周期卷积 对周期卷积的结果取主值区间 使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条 件是 LN+M-1； 步骤如下： 圆 周 卷 积 与 线 性 卷 积 的 性 质 对 比 圆周卷积 线性卷积 针对 FFT引出的 一种 表示方法 信号通过线性系统时，信 号输出等于 输入与系统单 位冲激响应的卷积 两序列长度必须 相等 ， 不等时按要求 补足零值点 两序列长度可以 不等 如 x1(n)为 N1点， x2(n)为 N2点 卷积结果长度 与两信号长度相等皆为 N 卷积结果长度为 N=N1+N2-1 2 2 N f 、 ssf 、 sf N k N 变量 周期 分辨率 数字频域 模拟频域 离散频域 时域 /频域同时采样 对有限时宽的信号 xa(t)的时域波形和频域波形 同时进行取样，其结果是时域波形和频域的都 变成了离散的、周期性的波形； 时域内的离散周期信号为 ，频域内离散周 期信号为 ，它们之间形成 DFS变换对； 分别取它们的一个周期，得到 x(n)与 X(k)，它 们之间形成 DFT变换对。 n N 0 k 0 N -N )nT(x)n(x 1/ T )k(X)k(X 1 -N ()xn ()Xk 第二部分 快速傅里叶变换 FFT 1、 FFT计算原理。 2、基 2时间抽取算法和频率抽取算法。 3、 DFT、 R-2 FFT算法的运算量比较。 4、实数序列的 FFT高效算法。 5、 FFT的应用。 主要要求掌握的内容 ： 1、 FFT、 IFFT的计算方法、特点， DIT、 DIF的运算 流图。 2、 FFT应用于频谱分析和快速卷积。 3、 DFT、 FFT的运算量计算。 4、 FFT减少运算量的途径。 本章典型题型与习题讲解 ： 作图题（作图、计算）。 N点的 FFT的运算量为 复乘 : CM =（ N/2） M=（ N/2） log2 N 复加 : CA =N M=N log2 N 1. 画出 N点（例如 8点、 16点） FFT的运算流图 2. FFT的特点， FFT减少运算量的途径。 DIT DIF 3. FFT的运算量的计算，与 DFT运算量的比较。 FFT算法的基本思想、特点、编程方法 N点的 DFT的运算量为 复乘 : CM =N2 复加 : CA =N（ N-1） 例 1：如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需 要 5s,每次复数加需要 1s,用来计算 N 1024点 DFT， 问直接计算需要多少时间。用 FFT计算呢 ?照这样计 算，用 FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估计 可实现实时处理的信号最高频率。 解： N=1024=210 直接计算 DFT的运算量： 复乘 : CM =N2 10242 220次 复加 : CA =N（ N-1） 1024 1023 1047552 直接计算 DFT所用的时间为： -6 2 -65 10 1024+1047552 10 =6.290432sDT 用 FFT计算 DFT的运算量为 复乘 : CM =（ N/2） M=（ N/2） log2 N 1024/2 10 5120 复加 : CA =N M=N log2 N 1024 10 10240 用 FFT计算 DFT所用的时间为： -6 -65 10 5120+10240 10 =35.84msFT 快速卷积时，要计算一次 N点 FFT（ H(k)已经计算好存入 ROM 中了，不需用 FFT计算出 H(k)）； N次频域复数乘法 （ H(k)*X(k)）；一次 N点 IFFT（也是用 FFT实现的）。所以， 计算 1024点快速卷积的计算时间约为 -3 -6 2 1024 2 10 1024 5 10 =76800 s cFTT 次复数乘所需时间 35.84 所以，每秒种处理的采样点数（即采样速率）为 -6 1024 =13333.3 76800 10 fs 次/秒 m ax 1 3 3 3 3 .3= 22 sff =6666.7 . 3.实数序列的 FFT高效算法。 由采样定理可知，可实时处理的信号最高频率为 实际实现时， fmax要比这个小一些。 ()Xk ()Yk ()xn ()yn ()Xk ()Yk ()xn ()yn 3. 已知 和 是两个 N点实序列 和 的 DFT，若要从 和 求 和 ，为提高运算效率，试设计用一次 N点 IFFT来完成。 )()()()()( kFkFkjYkXkF opep )(I m )(R e )()( nfjnfkFI FF Tnf ()xn ()yn ()Xk ()Yk ()Yk 解：因为 和 均为实序列，所以， 和 为共轭对称序列， j 为共轭反对称序列。可令 ()Xk ()Yk )(kF 和 j 分别作为复序列 分量和共轭反 对称分量，即 计算一次 N点 IFFT得到 )()()()(I m )()()()(R e njykjYI D F TkFI D F Tnfj nxkXI D F TkFI D F Tnf op ep )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( nfnf j ny nfnfnx 由 DFT的共轭对称性可知， 故 2.6节知识点 连续信号的频谱分析 (利用 DFT的选频性 ) 过程：采样截短 DFT 效应：混叠 原因：采样、频谱泄漏 泄漏 原因：截短 栅栏效应 原因： DFT DFT的分辨率 DFT的应用（频谱分析、分段卷积）。 频谱分析： DFT代替频谱分析引起的误差（混叠现象、栅 栏效应、截断效应 频谱泄漏、谱间干扰 ）；提高谱分辨 率的方法；分段卷积（重叠相加法、重叠保留法） 50F Hz m i nN 15. 用微处理机对实数序列作谱分析 ,要求谱分辨率 ，信号最高频率为 1kHZ，试确定以下各参数： （ 3）最少采样点数 （ 4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的 N值。 m i npT ； （ 1）最小记录时间 m a xT （ 2）最大取样间隔 ； ； 第 3章回顾 要点与难点 (1)数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响 jsa sH )( 互为映射关系 jezzH )( (2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的 0R e )( sa sH 互为映射关系 1)( zzH S到 Z平面的映射关系满足条件 主要内容 ： 1、 数字滤波器的分类及特性。 2、 数字信号系统的信号流图。 3、 IIR滤波器的结构和信号流图：直接型；级联型； 并联型。 4、 FIR数字滤波器的结构和信号流图：直接型；快速 卷积型、频率采样型。 3.1 数字滤波器的结构 本章主要要求掌握的内容 ： 1、数字信号系统的信号流图描述方法。 2、 IIR滤波器的信号流图：直接型；级联型；并联 型。 3、 FIR数字滤波器的实现流图：直接型；级联型； 线性相位型。 1.画出滤波器的实现结构（实现流图）。 IIR数字滤波器的直接 I型结构 两条延时链中对应的延时单元内容完全相同 ,可合并 ,得 )(1 zH )(zHM 2、 FIR数字滤波器：非递归结构，无反馈，但在频率 采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分。 （ 1）直接型（卷积型、横截型） （ 2）级联型 （ 3）线性相位型 （ 4）频率采样型 直接型的转置： FIR数字滤波器 要点与难点 1、线性相位：系统的相频特性是频率的线性函数 群时延 : g d ( ) d 20 )1( N 20 )5.0( N 2 偶对称 )(nh 奇对称 )(nh 2、四种线性相位 FIR滤波器 四种线性相位 FIR DF特性 第一类 ， h(n)偶、 N奇，四种滤波器都可设计。 第二类 ， h(n)偶、 N偶，可设计低、带通滤波器 不能设计高通和带阻。 第三类 ， h(n)奇、 N奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。 第四类 ， h(n)奇、 N偶，可设计高通、带通滤波 器，不能设计低通和带阻。 小结 1、相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与 h(n)的 值无关。 2、幅度特性取决于 h(n)。 3、设计 FIR数字滤波器时，在保证 h(n)对称的条 件下，只要完成幅度特性的逼近即可。 注意：当 H()用 H()表示时，当 H()为奇对 称时，其相频特性中还应加一个固定相移 3、线性相位 FIR滤波器的零点特性 )1()( nNhnh 11 zHzzH N 零点必须是互为倒数的共轭对 作图题 典型题型与习题讲解 ： 1. 设系统用下面的差分方程描述： 3 1 1 ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)4 8 3y n y n y n x n x n 试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 3 1 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) 4 8 3y n y n y n x n x n 1 2 13 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 3Y z Y z z Y z z X z X z z 1 12 1 1 3() 31 1 48 z Hz zz 解： 将上式进行 Z变换 （ 1）按照系统函数 ()Hz ，画出直接型结构如 图（一） 所示。 1 12 1 1 3() 31 1 48 z Hz zz 1 11 1 1 3 11 ( 1 ) ( 1 ) 24 z zz ()Hz （ 2）将 的分母进行因式分解 按照上式可以有两种级联型结构： 1 11 1 1 1 3() 11 (1 ) (1 ) 24 z Hz zz 1 11 1 11 3() 11 (1 ) (1 ) 24 z Hz zz (a) (b) 画出级联型结构如 图 （二）（ b） 所示 画出级联型结构如 图 （二）（ a） 所示 级联型结构 图（二）（ a） 级联型结构 图（二）（ b） 1 11 1 1 3() 11 ( 1 ) ( 1 ) 24 z Hz zz 1 () 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 4 2 4 zH z A B z z z z z 1 1 1 03 () 1 11 23 ( ) ( ) 2 24 z Az zzz 1 173 () 1 11 43 ( ) ( ) 4 24 z Bz zzz 1 0 7 () 33 11 24 Hz z zz ()Hz （ 3）将 进行部分分式展开 11 1 0 7 1 0 7 3 3 3 3() 1 1 1 1 11 2 4 2 4 zz Hz z z z z 根据上式画出并联型结构 如图（三）所示。 第 2部分 要点与难点 (1)数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响 jsa sH )( 互为映射关系 jezzH )( (2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的 0R e )( sa sH 互为映射关系 1)( zzH S到 Z平面的映射关系满足条件 主要内容 ： 1、数字滤波器的设计方法： IIR的设计方法分类。 2、理想滤波器的特性及逼近方法：理想滤波器的特性 ；连续函数逼近方法。 3、模拟滤波器设计：几种逼近函数及特点；模拟滤波 器逼近函数设计方法。 4、模拟滤波器的数字仿真：冲激响应不变法；双线性 变换法。 5、数字滤波器的频率变换。 IIR数字滤波器的设计 主要要求掌握的内容 ： 1、数字滤波器的概念、技术指标、设计过程、设计方 法。 2、 IIR数字滤波器的设计与模拟滤波器设计的关系； 转换方法：冲激响应不变法；双线性变换法； 3、 Butterworth数字低通滤波器的设计。 4、 IIR数字滤波器频带变换方法（由低通，设计高通 、带通、带阻滤波器） 5、 IIR滤波器的特点。 综合设计题（计算）。 本章典型题型与习题讲解 ： )()()( nThthnh anTta 某种变换 )( tha 1 () N i a i i AHs ss 1 ( ) ( )i N st ai i h t A e u t 1( ) ( ) ( )i N sT n iih n A e u n 1 1 () 1 i N i sT i AHz ez 思路： 脉冲响应不变法 sTze 脉冲响应不变法的映射关系 ,ST se jz ,j Tez re r T j 0 T 3 T 3 T T )Im (zj )Re( z 0 S 平面 Z 平面 : 脉冲响应不变法满足变换的映射条件，但映射关系 不是一一对应的。 脉冲响应不变法 优点： 时域脉冲响应的模仿性能好 频率坐标的变换是线性的， ， 与 是线性关系。 脉冲响应不变法 缺点： 有频谱周期延拓效应 . 只能用于带限的频响 特性，如衰减特性很好的低通或带通； 0 j 1j 0 T/ T/ S1平面 Rez Imzj 1 0 Z平面 S平面 T/ T/1 tan( /2)cT 1tanh( /2)s c sT 1sTze 一一对应 双线性变换法 优点： S平面与 Z平面是单值的一一对应关系 与 成 非线性 关系 缺点 : 不会产生混叠现象； 映射关系 1 1 21 1 zs Tz 1 ( / 2 ) 1 ( / 2 ) Tsz Ts 2 2 tg T 畸变： 经 双线性变换后，频率发生了非线性变化， 相应地，数字滤波器的幅频特性 在临界频率 点会发生非线性变化。这种频率点的畸变可 以通过 预畸 来加以校正。 注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只 能消除模拟和数字滤波器在特征频率点的畸 变。 2 2 i i tgT 设计步骤： ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 T tg T T tg T s s p p sp 预畸和阻带临界频率一：对通带临界频率 )( , sH spsp 转移函数 为目标参数，二：以预畸后参数 三：通过变量代换求 H(z) 置换过程 : 频响 1 1 1 121 1 21 ( ) ( ) 1aa zs T z z H z H s H Tz 2 2 2( ) ( ) 2 j aa tg T H e H j H j tg T 例：用双线性变换法设计一个 3 阶 B u t t e r wor t h 数字低通滤波器。其截止 频率 Hzf c 400 ，系统采样频率为： KH zf s 2.1 。 解：系统的采样频率 k H z 2.1sf 。 （ 1 ） Hzf c 400 数字滤波器截止频率： 2 2 4 0 0 1 2 0 0 2 3c c sff 模拟原型低通滤波器截止频率 2 ta n( ) ta n( 3 ) 1.7 32 r a d/s ( T =2 ) 2 c c T 令 （ 2 ） 设计模拟原型低通滤波器：（ 3 阶 B ut t er w or t h ） 32 1 () ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 c c c s s s Hs ，代入 c ，计算得： 196.56464.3 196.5 )( 23 sss sH 1. IIR滤波器的设计与实现。 （ 3 ）用双线性变换式求得： 66.11 2 4.91 2 4.1566.15 133 1 1|)()( 23 23 zzz zzz z z s sHzH （ 4 ）整理成标准形式： 321 23 )106.0()583.0()966.0(1 0 6 3 8.01 9 1 4.01 9 1 4.00 6 3 8.0 )( zzz zzz zH （ 5 ）画出实现框图： 略 冲激不变法（或称为脉冲响应不变法） 步骤： （ 1）将模拟滤波器的传递函数 Ha（ s）展开成部分分式 的形式： 1 () N k a k k AHs ss N k Ts k ze TAzH k 1 11)( （ 2）将由第（ 1）步所得到的 sk代入到下式中： （ 3）设一个 T值，并将 T值和 z ej代入到上式中即可得 到数字滤波器的频率响应。 T的选取应按照滤波器最高截止频率的 2倍以上 选取（ T过大时，频率混叠现象严重。） 3. IIR模拟滤波器到数字滤波器的转换方法 （ 1）确定数字低通技术指标： 通带截止频率 、通带衰减 、 阻带截止频率 、阻带衰减 ； （ 2）将数字低通指标转换成模拟低通指标： （ 和 不变 ） 边界频率的变换关系： p s p s p s ) 2 t an ( 2 T 频率预畸变 双线性变换法步骤： （ 3）设计模拟低通滤波器； （ 4）转换成数字低通滤波器： 这里的采样间隔 T可任意选取 通常取 T=1或 T=2 1 1 1 12 |)()( z z T s a sHzH 4. IIR模拟滤波器到数字滤波器转换特性与 对应关系 脉冲响应 不变法 Ha(s)的极点 si映射到 z平面，其极点变为 eSiT 稳定条件： Tre T 产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的 设计。 sTze （ S Z） 0 ( ) z 1isTis s e的实部左半平面的单位圆内 1 1 () 1 k N k sT k TA Hz ez 0,0 0,)( 9.0 t teth t a 例： .设 h(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波 器（ h(n)表示单位取样响应，即 h(n) ha(nT)）。确 定系统函数 H(z)，并把 T作为参数，证明： T为任何值 时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为 低通滤波器还是高通滤波器。 0.9 0 1() 0.9 t st aH s e e dt s Ha(s)的极点 s1 0.9，数字滤波器系统函数应为 1 1 0.9 1 11() 11sT THz e z e z H（ z)的极点为 0 .9 0 .9 11 1 0 1 TTz e z e Tz ， 当 时， ()Hz 满足稳定条件。 画出 T=0.5和 T=1时的幅频响应，由图可以看出数 字滤波器近似是低通滤波器。 （ S Z） 双线性变换法 1 1 1 12 |)()( z z T s a sHzH 1 2 t a n ( ) 2 Tre a r c T s T s Tz 2 2 稳定条件： 消除了频率混叠，但产生了频率畸变现象，需要 预畸变处理。 0 ( ) z iss 的实部左半平面的单位圆内 2 1() 1aHs ss 2 1() 2 3 1aHs ss 5. 已知模拟滤波器的传输函数为： （ 2） 试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字 滤波器，设 T=2s。 （ 1） 2 1() 1aHs ss ()aHs 1 30 . 5 2sj 2 30 . 5 2sj 解： （ 1）用脉冲响应不变法 方法 1 直接按脉冲响应不变法设计公式， 的极点为： 33 33() 33 ( 0 .5 ) ( 0 .5 ) 22 a jj Hs s j s j 33( 0 .5 ) ( 0 .5 ) 1122 33 33() 11 j T j T jj Hz e z e z ( 1 3 ) 1 ( 1 3 ) 1 33 33() 11 jj jj Hz e z e z 11 1 1 2 2 23 sin 3 3 1 2 cos 3 ze z e e z 代入 T=2s 22( ) ,()a bH s c c s a b 2 2 2 21 3 1 31 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2s s s s 2 22 1 3 / 2 2 3() 13 13 ( ) ( ) 22 aH s sss s ()aHs ()aHs 方法 2 直接套用 4题 (2)所得公式，为了套用公式，先对 为一常数， 的分母配方，将 化成 4题中的标准形式： 由于 所以 13, 22ab 1 1 2 2 2 3 sin( )() T=23 1 2 cos( ) aT aT aT z e bTHz e bT z e z 11 1 1 2 2 23 sin 3 3 1 2 cos 3 ze z e e z 对比可知， 套用公式得 2 1 1 -1( ) = + 2 3 1 s+0.5 s+1aHs ss -0 .5 T -1 -T -1 1 -1H (z)= + T = 21 -e z 1 -e z -1 -2 -1 -1 -2 -1 -3 2 (e -e )zH (z )= 1 -(e + e )z + e z 或通分合并两项得 1 1 ( ) ( ) 21 ,2 1 aH z H s zsT Tz 11 2 11 1 11( ) 1 11 zz zz 12 1 2 1 1 1 2 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) z z z z z 12 2 12 3 zz z （ 2）用双线性变换法 1 1 ( ) ( ) 21 ,2 1 aH z H s zsT Tz 11 2 11 1 112 ( ) 3 1 11 zz zz 12 1 2 2 1 2 (1 ) 2(1 ) 3(1 ) (1 ) z z z z 12 1 12 62 zz z 3.3.4节要点 1. 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 了解设计 IIR数字滤波器的两种变换法 其中第二种要求会低通变换和高通变换 2.从数字滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 已知 ，会利用表，求 )( 11)()( zgup uHzH )(uH p )(zH 主要内容 ： 1、 FIR滤波器的设计方法分类。 2、 FIR滤波器的线性相位特性：线性相位特性；实现 FIR滤波器的线性相位特性的条件。 3、 FIR滤波器的窗函数截取方法：理想滤波特性的傅 立叶级数逼近；窗函数截取的吉布斯效应和解决方法 ；常用的窗函数。 4、 FIR 滤波器的窗函数设计法设计步骤。 5、 FIR滤波器的频率取样设计法。 第 3部分 FIR数字滤波器的设计 第 3部分 FIR数字滤波器 要点与难点 1、线性相位：系统的相频特性是频率的线性函数 群时延 : g d ( ) d 20 )1( N 20 )5.0( N 2 偶对称 )(nh 奇对称 )(nh 3.4.2节要点 1、窗口设计法步骤； 2 、线性相位理想低通 FIR DF 的设计 (会求 h(n)； 3 、窗口函数对理想特性的影响； (过渡带 , 肩峰 , Gibbs效应 , 窗函数的要求 , 常用窗 函数的名称 ) 4、窗口法设计原理： )()()()( nwnhnheH ddjd ( ) ( )jH e h n )(*)()( jjdj eWeHeH 卷积关系 窗口函数对理想特性的影响： 改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 ，等于 WR()的主瓣宽度。（决定于窗长） 过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏）， 取决于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值 大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状） N增加 ,过渡带宽减小 ,肩峰值不变。当 N增加时，幅 值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为 8.95%，这 种现象称为吉布斯（ Gibbs）效应。 4 N 窗函数的要求： 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集 中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻 带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽 度来换取对旁瓣的抑制。 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带 内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。 3.4.3节要点与难点 基本思想 在某些离散频率点上的值准确地等 于所需滤波器在这些频率点处的值，其它频率处 的特性则有较好的逼近 线性相位 FIR DF的约束条件 线性相位低通 FIR DF设计 会求各采样点的 H(k) 增大阻带衰减的两种方法 j nh N I D F T N N kj d j d eHnhkHeHeH d )( 2 )()( 不同于 点点 频率取样确定 内插公式 增大阻带衰减的两种方法： 1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加 2）如果要进一步增加阻带衰减，但又不允许再增加过 渡带宽，可增加采样点数 N。 主要要求掌握的内容 ： 1、 FIR滤波器的线性相位特性和实现条件。四种基 本类型的 FIR滤波器。 2、窗函数截取的吉布斯效应和解决方法。 3、各种窗函数； FIR 滤波器的窗函数设计法。 4、频率采样法设计 FIR滤波器。 5、 FIR与 IIR数字滤波器的比较。 典型题型与习题讲解 ： 综合设计题（计算）。 例 ： 用 汉 宁 窗 设计 一个 线性 相位 高 通滤波 器 0 0 )( )( c c aj j d eeH ， 求 )( nh 的 表达 式 ， 确定 a 与 N 的 关系 。 解：根据题意有： )(s i n () s i n ( )( 1 )( 2 1 )( )( c ja njajnjj dd anan an e deedeeHnh c F I R 的系数 )( nh 应为实数，所以 a 取整数使 aja ajae )1()s i n ()c o s ( 。 同时 0)s i n ( an ，得： ) s i n ( )( )1( )s i n () c o s ( )( )1( )( c n c a d an an anan an nh 1. FIR滤波器的设计与实现。 为了实现线性相位，取 )( nh 为偶对称序列，即 )()( nNhnh ； ) s i n ( )( )1( ) s i n ( )( )1( c n c nN an an anN anN 所以应该取 2 Na 来满足上式。 因此， N 为整数，且 2 Na 。 ) s i n ( )( )1( )( 2 2 c N N n n n nh ， )1(0 Nn 汉宁窗处理得 F I R 系数表达式： ) 1 c o s5.05.0() s i n ( )( )1( )( 2 2 N n n n nh c N N n ， )1(0 Nn 1 2 3 41( ) (1 0.9 201 0.9 ) 10H z z z z z ()hn 3. 设 FIR滤波器的系统函数
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