数值计算方法复习提纲

1 13:30 复习 2 13:30 第一章 绪论及误差估计 误差的来源、分类 （） 误差的估计 （） 绝对误差、绝对误差限 相对误差、相对误差限 有效数字 和、差、积、商的误差 数值计算（近似计算）的基本原则 （） 3 13:30 第 2章 非线性方程求根 非线性方程求根的 基本步骤 （） 判断根存在性 有根区间的隔离 根的精确化 二分法求根 基本原理 误差估计 4 13:30 简单迭代法 迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量 Newton迭代法 原理 算法步骤 （） 收敛的阶 手工计算 （） newton迭代法的改进 1) 重根时的改进 2) 避免求一阶导数的改进：弦截法 5 13:30 第 3章 线性方程组求解 线性方程组的求解方法： （） 直接法 迭代法 直接法 ：（各种方法的适用条件、手工计算） Guass顺序消元法 1) 适用条件： a) 系数矩阵 A是严格对角占优的矩阵 b) 顺序阶主子式为正 2) 算法步骤 （ ） 之和同行其余元素的绝对值值的每行主对角元的绝对 Aaa n i ij ijii ,| 1 6 13:30 列主元 Gauss消元法 （） 1) 选主元的必要性 2) 算法的改进 Gauss-Jordan 消元法 1) 思想、方法 2) Gauss-Jordan消元法的应用：求 矩阵的逆矩阵 三角分解法 1) Doolittle分解 （） 2) Crout分解 （） 追赶法 1) 适用于：三对角方程组 2) 实质：作 Crout分解 改进平方根法 1) 适用条件：对称正定矩阵 2) 计算量减半 7 13:30 迭代法： 向量与矩阵的范数： （） 1) 向量范数： 1-范数、 2-范数、 -范数 2) 矩阵范数（算子范数）： 1-范数、 2-范数、 -范数 3) 矩阵的谱半径： a) ( A) |A| b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 |A| 1，则 必有 : I A可逆、 4) 矩阵的条件数： cond(A)=|A|A-1| |m a x)( 1 iniA 1 11 | |IA A 8 13:30 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （） 1) 充分条件： x=Bx+f， |B|1 2) 充要条件： x=Bx+f， B的谱半径 ( B ) 1 Jacobi迭代： 1) 公式： x=Jx+f（其中： J=I-D-1A， f=D-1b） 2) 收敛的条件： （） a) 充要 条件： ( J ) 1 b) 充分 条件 ： |J|1 c) Ax=b的系数矩阵 A （ 非迭代矩阵 J ） ：严格对角占 优 3) 会手工计算 （） 9 13:30 Guass-Seidel迭代法： Ax=b 1) 迭代公式： x=Gx+f ,其中 G=(D-L)-1U， f= =(D-L)-1 b 2) 收敛性判断： （） a) 充要 条件： ( G ) 1 b) 充分 条件 ： |G|1 c) 方程组 Ax=b的系数矩阵 A（非迭代矩阵）：严格对角 占优 d)方程组 Ax=b的系数矩阵 A（非迭代矩阵）：对称正定 e) 若方程组的 Jacobi迭代收敛并且 |J|q1，则该方程组 的 Gauss-Seidel迭代也收敛 3) 能写出其迭代矩阵 （） 10 13:30 第 4章 插值法 插值的基本概念： 插值条件、插值点 插值多项式 插值多项式的存在、唯一性： 故 Ln(x)与 Nn(x)等价 Lagrang插值多项式 （） 构造 余项 线性插值、抛物插值公式及其截断误差 1 0 0 00 n k k n k k n ki i ik i n k kk )x(l y )xx( )xx( (y)x(l)x(f 11 13:30 Newton插值 差商及其性质： （） 1) 对称性 2) Newton插值公式的构造 （） 1) 步骤 2) 估算某点的近似值： , 00 kiik xxfxxf n i niiiiii i n )xx()xx)(xx()xx( )x(fx,xf 0 110 0 )!( )(, )( 0 n fxxf n n nk, nk,ax,xf),x(P)x(f n kn 00 推论：若 Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx 0,x1,x n (x-x0)(x-x1)(x -xn-1) 12 13:30 Hermit插值 基本思想 插值多项式的构造方法 1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商） 了解高次插值会产生 Runge现象，解决办法：分段 低次插值 （） 了解三次样条插值的基本原理 13 13:30 第 5章 最小二乘法与曲线拟合 最小二乘原理及正规方程组的构造（ 计算 ） （） 多项式拟合： y=a0+a1x+a mxm （ 1） 1) 对应的正规方程组： CTCa=CTy 2) 解之即得 (1）的最小二乘解 )3( . , . , . . . . . 0 0 2 0 0 2 1 0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 3 0 2 0 2 0 00 n i i m i n i ii n i ii n i i T m n i m i n i m i n i m i n i m i n i m i n i i n i i n i i n i i n i m i n i i T yx yx yx y yC a a a a a xxx x x x x x x xxn CC 14 13:30 一般曲线拟合 利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（ 会 计算） （） Ax=b的最小二乘解为： ATAx=ATb 15 13:30 第 6章 数值积分 基本概念： 数值积分（机械求积公式）的一般形式 求积公式的代数精度（ 计算、证明 ） 插值型求积公式： 插值求积公式的构造方法 （） 1) n+1积分结点的插值型求积公式至少具有 n次代数精度 2) n+1个积分结点构造 n阶 Newton-Cotes积分公式，若 n为偶数则具有 n+1次代数精度 Newton-cotes公式的构造 重点掌握： 1) 梯形公式 2) Simpson公式 abA k 16 13:30 复化积分 原理 复化梯形积分、复化 Simpson积分 （计算） Romberg积分公式 是外推公式，由复化梯形积分 3次外推得到 （） Gauss积分： n个积分结点的 Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度 （） 17 13:30 重点例题、习题 第一章： 例： 1-1、 1-2、 1-14、 习题： 2、 8、 17 第二章： 例： 2-3、 2-5、 2-15、 第三章： 例： 3-29 习题： 1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元 法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、 高斯 -塞德尔迭代法求解 18 13:30 第四章 习题： 16题、 20题 第五章： 习题： 4题、 7题、 8题 第六章： 习题： 1、 2、 12题 算法考查： Guass顺序消元法解线性方程组的解