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直线和圆的方程一、知识导学1.两点间的距离公式:不管A（1,1),(2，2)在坐标平面上什么位置,均有d=|AB|=,特别地,与坐标轴平行的线段的长AB|2-1或|A|=|21定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1,1),B（2,2),P(,）之间数量关系的一种公式,其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后的值也就随之拟定了.若以A为起点，B为终点，P为分点,则定比分点公式是当P点为的中点时,=1，此时中点坐标公式是3直线的倾斜角和斜率的关系（1)每一条直线均有倾斜角，但不一定有斜率.(）斜率存在的直线,其斜率与倾斜角之间的关系是=tan4.拟定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式诸多，但必须注意多种形式的直线方程的合用范畴名称方程阐明合用条件斜截式为直线的斜率为直线的纵截距倾斜角为0的直线不能用此式点斜式() 为直线上的已知点，为直线的斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(），()是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式=1为直线的横截距b为直线的纵截距过(0，0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式，,分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5.两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且-1时，ta=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.此外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6.怎么判断两直线与否平行或垂直？判断两直线与否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.(1)斜率存在且不重叠的两条直线, 2，有如下结论：12=，且b121 -（2)对于直线1, ，当1，1,都不为零时，有如下结论：12=121+2 = 01与2相交1与2重叠=7点到直线的距离公式（）已知一点P()及一条直线：,则点P到直线的距离d;（)两平行直线1:,2:之间的距离d=8拟定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要懂得两种形式之间的互相转化及互相联系（)圆的原则方程：，其中（,b)是圆心坐标，是圆的半径;（2)圆的一般方程：（0),圆心坐标为(-,-)，半径为=.二、疑难知识导析 1.直线与圆的位置关系的鉴定措施.(）措施一直线：;圆：一元二次方程(2）措施二直线: ；圆:,圆心(，b)到直线的距离为2两圆的位置关系的鉴定措施.设两圆圆心分别为、O,半径分别为1，2，O1O2为圆心距,则两圆位置关系如下:O1O212两圆外离；|O1O2=12两圆外切;|1-2|OO21+2两圆相交;| O1O2 |=|1|两圆内切；0| 1O| 2两圆内含三、典型例题导讲例1直线l通过P(,3）,且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程.错解：设直线方程为:，又过P（2，3)，求得= 直线方程为x+y-5=.错因:直线方程的截距式：的条件是：0且b,本题忽视了这一情形.正解：在原解的基本上,再补充这样的过程：当直线过(0,0)时,此时斜率为:,直线方程为=综上可得：所求直线方程为x+y-5=或y= .例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A（1,3）的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解:设动点P坐标为（x,).由已知3 化简32-x+1+y6y9 . 当x时得x2-5+y-6y+100 . 当x0时得x+ 2-6+1=0 . 错因:上述过程清晰点到y轴距离的意义及两点间距离公式，并且对的应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 和 (x+）2+(y-3)= -两个平方数之和不也许为负数,故方程的状况不会浮现.正解:接前面的过程，方程化为（-)2+(y-3）2 = ,方程化为（x)+（y3)2 = ,由于两个平方数之和不也许为负数,故所求动点P的轨迹方程为: （x-）+(y-）2 = (x）例3m是什么数时，有关x,的方程（m+m-1)x2+(m2-+）y+m+2=0的图象表达一种圆？错解:欲使方程Ax2+Cy2+F=0表达一种圆,只要A=C0， 得m2+m-1=m2m+2，即m2+m=0,解得m1=，23， 当m=1或-时,2和2项的系数相等，这时,原方程的图象表达一种圆错因：A=C，是Ax+Cy2F=0表达圆的必要条件，而非充要条件,其充要条件是:A=0且0.正解:欲使方程Ax22+F=0表达一种圆,只要A=C, 得2m-=m2-m2,即m2m30，解得m1=1，m=-3，(1) 当1时，方程为22y2=-不合题意,舍去(2) 当m=时,方程为1x2+y=1,即2+y,原方程的图形表达圆例4自点A（-3，)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y2-4x-4+7=0相切，求光线所在的直线方程.错解:设反射光线为L，由于L和有关轴对称,L过点（-3，3)，点A有关x轴的对称点A(-3，-3)，于是过（-3,).设L的斜率为k，则L的方程为y-(3)=x-(-3)，即y3-30，已知圆方程即(x-2)+(y-2）2=,圆心O的坐标为(2,)，半径1因L和已知圆相切,则O到L的距离等于半径r= 即 整顿得1225k+12=0解得 L的方程为+3=(x+3）即x-3y+3=0 因L和L有关x轴对称 故L的方程为x+3y+30.错因:漏解正解：设反射光线为,由于L和有关x轴对称，L过点A(-，3),点A有关轴的对称点A(-3,-3)， 于是过A(-3，3). 设L的斜率为k，则L的方程为y-（-3）=k-(-3)，即x-y+k-=0， 已知圆方程即(x-2)2（y-2)2=1,圆心的坐标为（2，),半径r= 因L和已知圆相切,则O到L的距离等于半径r1 即 整顿得2k25k120 解得k或=的方程为y+3(+)；或y+=(x+3)。即4x-330或3xy-=0 因L和有关轴对称 故L的方程为x+3y+30或3x4y3=.例5求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2)有最小面积解:设所求圆的方程是： 即:()由于圆过原点，因此,即故所求圆的方程为:（2） 将圆系方程化为原则式,有:当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.点评：(1)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程,这种解法比较以便;固然也可以待定系数法。（2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小例6(辽宁理科）已知点A()，B()(）是抛物线上的两个动点,O是坐标原点,向量满足|=|设圆的方程为(1)证明线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.解:（)证明 |,(）2(）2, 整顿得:=0 0设M()是以线段B为直径的圆上的任意一点，则0即 =0整顿得：故线段AB是圆的直径.（2)设圆C的圆心为C()，则,又+0 ,-0,0=4 因此圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为d,则=当时，d有最小值，由题设得=.四、典型习题导练 .直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A . C. .2已知直线x=a(0)和圆（x-1)+y2=4相切 ,那么a的值是( ）. B.4 D.2. 如果实数x、y满足等式（x-2)2+2=，则的最大值为: .设正方形ABC（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+2-6+a0(a9),C、D点所在直线l的斜率为.()求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线、BD的斜率；（）如果在x轴上方的、B两点在一条以原点为顶点,以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程;（3)如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.5.如图，已知圆C：(x+4）+y2=4。圆D的圆心在轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-,0）.(1)若点坐标为（0，),求APB的正切值;（)当点在y轴上运动时,求APB的正切值的最大值；（3）在x轴上与否存在定点Q,当圆D在y轴上运动时，AQB是定值?如果存在,求出点Q坐标；如果不存在，阐明理由
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