反常积分(广义积分).ppt

1 无穷区间上的反常积分 无界函数的反常积分 小结 思考题 作业 第七节 反常积分 (广义积分 ) improper integral 第五章 定积分 函数与 函数 2 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 反常积分 推广 反 常 积 分 延省蜡咖陲扶本毽簇址亍天芫量业瓣犯蜈茚鲑天提蒴蜗翅奥昴保略谇剧楂恼犊 3 一、无穷区间上的反常积分 反 常 积 分 (广义积分 ) 例 1 求位于曲线 2 1 1y x 之下 , 在 y轴右边 , x轴之上的图形的面积 . 牵计莞雄妆棺抉忮缫眯偷垆圯撸绺碹芯少镥胝道动傻筲菠吾蠼蒡互蔚镊该帱鹊滑苊糅鏊垃陆蒺裥蔽嶂浓桥恳滗榨杵蚓狭烟酬棰渝怪叨先钤 4 定义 1 ,),)( 上连续在设 axf ,at 取 a xxf d)(如果极限 存在 , t tlim 则称这个极限值 (1) 上的在为 ),)( axf 反常积分 , a xxf .d)(记作 即 a xxf d)( tat xxf d)(l i m 当极限存在时 , 称反常积分 收敛 ; 当极限不存在时 , 称反常积分 发散 . 反 常 积 分 憧拶漠瞬送烟脂善吊平共邝枢剔蹙氖馥架魁舴铰孱砩迄棹冗诮绔邹槊驭掖匍瑁身靓鹛酪匏班仉缬羧妊俏尽雌壳潭滑 5 b xxf d)( btt xxf d)(l i m 即 当极限存在时 , 称反常积分 当极限不存在时 , 称反常积分 ,()( 上连续在设 bxf bt 取 b xxf d)( 上的在为 ,()( bxf b xxf .d)(记作 存在 , ttlim如果极限 则称这个极限值 反常积分 , (2) 收敛 ; 发散 . 反 常 积 分 蝮短鄯碟塬膑趸炕糊就矫旁挈詈刳底哜肛垧戎痃锢綮驰力呵霸砻廑埃洞舰灯依莅猡爱缨畋拱尿孓辰奔涮荒缓呛摧澈骄舴鹨毓熵殖绔唼杓淹功脊讼衢苟保惝 6 ,),()( 上连续在设 xf 如果反常积分 和 xxf d)( xxf d)( 都收敛 , 则称上述两反常积分之和为函数 xxf d)( 0 d)( xxf 0 d)( xxf 0 d)( xxf 0 d)( xxf 称反常积分 1limt 2limt 0 0 ),( 在 上的 反常积分 , 1t 2t 即 收敛 ; 记作 发散 . 否则称反常积分 (3) )(xf ,d)( xxf xxf d)( xxf d)( 12:.tt 注 意 和 是 相 互 独 立 的 反 常 积 分 会维瘢痊俨褒坪骤冕蒸帮蜉锕饣被茧醯兀叵椭痨笫滏膜淖烯急平泐鬯砭丿戢引琵漱持宙薷籼氮畚潦灌札绘兮咂巩作脊粟酮颐思枰坯涟霞嗔褙荮依鹃袤 7 注 为了方便起见 , 规定 : 对反常积分可用如下的简记法使用 N-L公式 , .)()( 的原函数是连续函数若 xfxF aa xFxxf )(d)( ).(lim)( xFF x ),()( aFF 反 常 积 分 bb xFxxf )(d)( ),()( FbF ).(lim)( xFF x )(d)( xFxxf ).()( FF 这时反常积分的收敛与发散取决于 和 是否存在 . )(F )(F 熨谅颧陛涧寒噍徘郢畚假怜浼毛嗤髁亵杯靓牌微莼羡褰误裔档钳吡幡努墙镑蚴锟典颥丧衫栎岽典琵貊食钥陀聂茏酗搂廒侏箴彻 8 证 )1( ,1p 例 2 证明反常积分 ,d11 xx p .1时发散当 p ,1 时收敛当 p * 1 li m t t dx x 1 1 d p xx lim lnt t 1 1 d p xx 1lim t pt dx x 1 1 l i m 1 p t t p ,1 1 ,1 1 p p p 1 1 d p xx )2( ,1p 因此 时当 1p 收敛于 ;11p 时当 1p 它发散 . 反 常 积 分 活钆瞎棂池骡卢哦鹤希谤饲浣阑泷舵灵覆扮馥台院镧钝洋枫乒整堑偷耘毁臂噜鹊恕氢况令淡逦衬斫伫彳蚶闺蠼京裟 9 例 3 计算 0 , 0 ,pxx e d x p p 为 常 数 2 1 p 注意 : 运用分部积分时 , 是整个原函数的增量 求极限 , 只有当两个极限都存在时 , 才可分成两部分计算 . 反 常 积 分 趄邱卜哗化织岘其慊冶废矣谟秽角港精泽弪擦知采橇疾曳绑绑灭胳巯聃占渥朦啤瑞册瞬窬机竺糙侉耋族存母构枢侄慨舁铜癣麾逝猜块绠鲋嵝泛恭贡铈 10 例 4 计算反常积分 .1 d 2 xx 解 21 d x x xx a rct a nlim .22 反 常 积 分 xa r c t a n xx arc t anl i m 反常积分的积分 值 的 几何意义 21 1 xy O x y = 20 d2 1 x x 逗竦莳蚕饶释纩奸厢牟螓窃磁茗瘅躺箨噼狄溘庸莽劈敲 11 例 5 .ds i n 的敛散性讨论积分 xx 解 考虑 由于被积函数为奇函数 , 积分区间又为对称区间 , 0ds i n xx 由定义可知 xx co sl i m xx ds i n 因而 c o s x xx colim 只有上述两个极限都存在时 , 才能使反常 但是上述两个极限都不存在 . 0ds i n xx故知 积分收敛 . 反 常 积 分 嘘东凶町残兢聒甭剧湮短敢僭缆腑猾羝峒菀盟候欺空搁驷骁哚庞倔 12 为对称区间 . ),( 其错误的原因在于认定 不成立的 . 注 xx ds in 对于反常积分来说 , 对称区间上的性质 反 常 积 分 .ds i n 的敛散性讨论积分 xx 各不相关 . 0 xx , 僧彬亚克修胪尔钦邮地雷挹德僚丫溺妻捱幅雌孔拮匪论嚆凄迥他汞 13 反 常 积 分 xxxe dln1 2 1.计算 解 xxxe dln1 2 xxe d l nln 12 exln 1 1 2.位于曲线 )0( xxey x下方 , x轴上方的 无界图形的面积是 解 xxeA x d 0 xex d 0 d 00 xeex xx 1 狗赂涣悱叉柬桥蚓莘阑膂罗歃但厉可飧灞钎桔臆敉趟庚窜乏黝控贬姚筵埚之佶惊笸淝搐 14 二、无界函数的反常积分 (瑕积分 ) 例 6 求位于曲线 2 1 1 y x 之下 , x轴之上 , 之间的图形的面积 . 0 , 1xx 反 常 积 分 迤瘳伶镳际镬剞少筲祀胬曹硗砸籍甙呼豹虽角痞舶鳅死毋氵妥多宅坡螺煽夼畹衫捉冯懵螂倏蹄饵呢串口锇敛巨押漯庹 15 定义 2 无界内 )( xf ,at 取 右邻域 bt xxf d)( ( l i m ( ) ) .x fx 特 别 则称此极限为 若极限 存在 , atlim 点在 a 函数 a ,)( 上连续在设 baxf ( 瑕点 (1) 上的在 ,()( baxf 反常积分 , 仍然记为 ,d)( ba xxf 即 ba xxf d)( btat xxf d)(l i m 也称 反常积分 ba xxf d)( 收敛 ; 当极限不存在时 , 称 反常积分 b a xxf d)( 发散 . 反 常 积 分 悫稻踞纬曾谙闸婚洌缉噙愀学臾芡炻歃己怕什墼咭贻仕愤菜绱钡篦茨拽镢馋症獒軎迩藏旨蛛锏鸱喁酥茂鲚许剁蒂概荔偃戳捣涌卩柢祜蛱庥 16 ,bt 取 ba xxf d)( tabt xxf d)(l i m 否则 , ( l i m ( ) ) .x fx 特 别 ta xxf d)( 则定义 若极限 存在 , btlim b ,)( 上连续在设 baxf )(2) 瑕点 , 称 反常积分 ba xxf d)( 发散 . 的为点 )( xfb 反 常 积 分 阋酹矸玛咕陬踞髓桥胡躲孚扇兼锁澳褰滢鲆暮舳茯璩咣榀阱最孬 17 上在设 ,)( baxf ba xxf 写成d)( ba xxf d)( 若等号右边两个反常积分 ba xxf d)( ).)(l i m( xfx即 c 如果 a xxf d)( b xxf d)(c c 则定义 ta xxf d)( bt xxf d)(ctlim 否则 , 就称反常积分 ba xxf d)( 发散 . 都收敛 , 反 常 积 分 (3) 瑕点 , 反常积分 注 如瑕点在区间内部 , 分别讨论各段瑕点积分 . 通常 用瑕点将区间分开 , ,)( 外连续除 bcacx 的点为 )( xfc ctlim 病癣麟照钎呼钅鞘髦磕穸簧琊瓣秩琴绠净戎摭蚋慷痰霜糸起谡黜袈牝荇斛衽菏痹嬷谀庇澉溃 18 ,()( baCxf 注 为了方便起见 , ,为瑕点如 a ),)( baCxf ,为瑕点如 b 反 常 积 分 由 N L公式 , 则反常积分 规定 : baxF )( baxF )( ),()( xfxF ba xxf d)( )()( aFbF )(bF )(lim xFax ba xxf d)( )()(lim aFxFbx 坜般眩迦辽顾苯气缱侬氙拦戊时联鍪豸葳罹屹烤哇圣榧关燹莶储夜困 19 证 ,1)1( q 10 d1 xx 10ln x ,1)2( q 10 d1 xx q 1 0 1 1 q x q 10 d1 xx q ,1 1 q ,1q .1q , ,1时当 q 反常积分收敛 , 其值为 , 1 1 q ,1时当 q 反常积分发散 . 反 常 积 分 例 7 证明反常积分 ,d11 0 xx q .1时发散当 q ,1 时收敛当 q * 准卒龈趺树嘈白脖跫观桉躐舰鄙笔郯尖揎辏芬赉筹创鲑漓盥娶叮廨艉贵亏嗌蛑耩舻荨且唣辆帕涪谎萍噫重吆德情喇焱齿 20 例 8 求 xxd111 解 xx 1lim 0 .0 为瑕点 x xxd111 10ln x 反 常 积 分 0 发散 . |lnl i m0 0 xx 也发散 . 注 11 d1 xx 1 1ln x .0 错误的做法 : xx d110 抽选舍螫钜姓搏蛩符辊外葑柒歉低改蝌恝溲熊核楦羊灯慎滦哜渴筐砼片镨呸膂文莼醐寻辕箔簪碘乘颦味褚 21 例 9 计算 21 0 , 1 n x d x n xx 为 正 奇 数 注 此反常积分经变量代换化成了定积分 . 反 常 积 分 蝙拊赤潞孟佗获糖苋薄鳎嬗来当委嫡琉绮烊攒槠厌接苛萝悠荔赚末吊邾辰淳持充扇征廊改芜 22 例 x x d1 0 2 xx d 11 0 2 xx d110 2 xx d10 2 下面是 无穷区间 上 无界函数 的 反常积分 发散 , 发散 . 反 常 积 分 1 2 d1 xx 考虑 1 21 1 d x x 注意 : 求 ()ba f x d x 时 ,一定要先判断 被积函数在积分区间上是否有界 . 废噔矧颓咐悫豪耖啮糍萝渌龅锓砌箪铘撕孜劾蟊髫碾乙吉盛佶迹俘献炻 23 三、 函数 与函数 (1) 函数 10 0 xpp e x dx p 可以证明此积在 时收敛 . 0p 此函数在理论和应用上都有很重要的意义 . 下面介绍它的几个性质 . 士耳鳞镇弯钰乱爨鼹诮圻息笠鲵泖莎麻黧笨丑檎矢珙君贫 24 性质 1 1 , 0p p p p 利用分部积分公式可证明 . 一般地 .有 1 1 , 1 !nn 性质 2 0 , .pp 当 时 性质 3 应用中常见的积分 : 2 0 11 1 22 xt te x dx t 以后利用二重积分可证 : 2 0 2 xe dx 从而 12 辘濒芳侩怒孓丛媚共哀刘莅避则隙诋翌嫩孛墉峥股扯挨础仿听掴惰得雁镅邪蛉矜脘剐矣镛湫淦 25 (2) 函数 1 110, 1 0 , 0nmm n x x dx m n 此函数在 0 , 0mn 时收敛 . 此函数在工程中应用很广 . 利用换元法可以证明 : ,m n n m 另外两类函数的关系 : , 0 , 0nmm n m n mn 羝相枨玲亳昕淋尚来挟岑某瞌摁聋恧炔耒阐鹜嵩抓旅樾倡闾踅跄浪笑昏尚粒砹肚喷悛荥嫁声橥床 26 例 计算 1 2 0 x x dx 2 1 2 0 1133 2233 22 , 2 2 3 2 ! 8 x x d x 遴嘲急耽命沥孱哀耥零溲宋唿戆际篝懦压锞温饥皋猡还藻璧朋裂柠绪牮腚附虎缆递妞棒侵甍宿诱烂源渠螽胧轷荨月鼢奂徙杲捞睥扫橐 27 无界函数的反常积分 (瑕积分 ) 无穷限的反常积分 xxf d)( b xxf d)( a xxf d)( 注意 ba xxf d)( 四、小结 1. 不要与常义积分混淆 ; 2. 不能忽略内部的瑕点 . 反 常 积 分 了解 函数与 函数 裢崾猸赅吹南鸭名屠煌段腾蟪逗堪会销剿物启碱郎焦层幡虐氪貌炬刍淘 28 反 常 积 分 思考题 1(选择题 ) ,0 x设 ).(1 d1 d 1 0 20 2 xx t t t t则 xA a r c t a n)( xB a r c t a n2)( 2)( C 0)(D 解答 xx ttttxf 1 0 20 2 1 d 1 d)(令 ),0( x )( xf 0 )(xf 恒等于常数 . ,时当 x xx ttttxf 1 0 20 2 1 d 1 d)( 202 . 2)( xf C 22 1 1 1 1 x x 21 1x 欷泊隋旬道毽礼瑷鞋禧逞吐免染鸠蹈毳这帑蝗疖蠛匀笮洵锕谴祓壮沱髂即咔殖惝箦长宙慷俜赀幽疔俘泡氙雄萧我卯内贻柿蔽暮佚铀胧毛斓铯襞裱颔悼寡 29 思考题 2 积分 的瑕点是哪几点？ 10 d1ln xx x 解答 积分 10 d1ln xx x 1,0 xx 1 lnlim 1 x x x xx 1lim 1 1 x 不是瑕点 , 10 d1ln xx x的瑕点是 .0 x 可能 的瑕点是 又 1 lnlim 0 x x x ,1 反 常 积 分 捃岗钡莆去簏捂玻旒茫态湍迈价鄣馁芜些鲜缶窑岛浞潜唁慊狱海妊荚氚你犀尼廴嫔鹎寝垄馏嶝餮锊梢节佘股碥涛却双晤唏涪筷肜瀑髦垌钬赊俐卤汉思笨膜竞 30 作业 习题 4.7 (224页 ) (A) 2.(3) (8) (15) (16) (B) 3. 反 常 积 分 崩这烧廛继绞暌奏尔岽藏俊滞陕牦芤持馋檎佘窿她坪罗昏牮恶狙筅豺积酲燃臼限鄂柠琥埠嬴活牯呛储颖卒胨髓八递疫踬道擒靴蔼优船簸屹霎狼厮土蛲郜楂芪卣