相似矩阵和矩阵对角化的条件(简).ppt

1P A P B 第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件 一相似的定义 设 A、 B都是 n阶方阵，若存在 n阶可 逆矩阵 P，使得 则称 A相似于 B 记作 AB AB （ A等价于 B： ） 21 10 A ， 11 01 B ， 11 12 P ， AB 问 A是否相似于 B？ 因为存在可逆矩阵 使得 11 12 21 10 111 12 11 01 1P A P B 例如 已知 21 10 A ， 1 11 12 P ， 取 令 已知 求一个与 A相似的矩阵 B 1 1 1 1B P A P A 11 12 21 10 111 12 1B 即 则 2 11 12 P 1 11 01 ,B 11 01 1 2 2 2B P A P 11 12 111 12 2 79 45 2 79 45 B 1 ,P 对于可逆矩阵 11 1 1 ,A B P AP 2 ,P 对于可逆矩阵 12 2 2 ,A B P A P 1 :A P A P 一般来说 ,与 n 阶矩阵 A相似的矩阵 可能不只一个 ,P因为对于任意的 n 阶可逆矩阵 都有 不同，则 可能不同， P B 但都有 AB 注 2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身 aI a a a 1- PP 1-a p p a a a ，则对于任意的可逆矩 阵 a a A a 设 1反身性： 2对称性： 3传递性： 二相似的性质 AA AB 1(A B P A P B 111-( ) )ABPP 1-()I A I A A B B C， AC 111(,P AP B 122 ,P B P C 122 ,P P C 111P A P 11 2 1 2-( ) ( ) ,P P A P P C 12 ,PP而 是 可 逆 的 )AC BA 若 则 与 的特征值相同 A B A B， 1P A P B 11|P I P P A P 1| ( ) |P I A P 1| | | | | |P I A P 反之不对 1|I P A P |IA |IB | | | |I A I B 若两对角阵 和 相似 1 2 n a a A a 1 2 n b b B b 和 有什么关系？ 由性质 可知： 若两对角阵相似，则两对角 线上的元素，不计次序外，完全相同 1 0 0 0 2 0 0 0 3 100 0 3 0 0 0 2 , 200 0 3 0 0 0 1 , 200 0 1 0 003 , 3 0 0 0 1 0 0 0 2 , 3 0 0 0 2 0 0 0 1 . | | | |AB若 则 AB， 则 与 的特征值相同， A B A B， 12 12 | | n n A B | | | |AB 若 则 与 或同时可逆或同时不可逆 AB， 若 则 与 的迹相同 A B A B， 12t r ( ) t r ( ) nAB 设为 12, , , n 则有 1B P A P AB若 则 AB， AB 1P A P B 可逆 P 可以表示成一些初等矩阵的乘积 P 即 12 sP P P P 11 2 1 2( ) ( )ssP P P A P P P 1 1 12 1 1 2ssP P P A P P P AB ( ) ( )r A r B若 则 AB， ( ) ( )r A r B k A k B kkAB TTAB AB 11AB ( ) ( )f A f B 10.若 则 AB， 注：这 些相似关系中的 P不变 , 除了转置关系 P P P P 1()TP P k A k B kkAB TTAB AB 11AB ( ) ( )f A f B 10.若 则 AB， AB 1P A P B 1k P AP k B 1()P k A P k B k A k B AB 1P A P B 1() TTP A P B 1()T T T TP A P B 1()T T T TP A P B 1 1 1 ( ) ( )T T T TP A P B 1 11 ( ( ) )T TTQ A Q QB P TTAB 相似矩阵有许多共同的性质 特征值 相同 行列式 相同 可逆性 相同 迹相同 等价 秩相同 三 . 阶矩阵 A与对角矩阵相似的条件 定理 5.6 证明：必要性 A 1 .P AP 1 2 n , 阶矩阵 A可对角化的 充分必要 条件 是 A有 个线性无关的特征向量 若 则存在 n阶可逆矩 阵 ，使得 12( , , , )nP X X X 显然， 12 ( , , , ) , iX i n 且 线性无关 12, , , nX X X 设 12 ( , , , )i i iA X X i n 12( , , , )nA X A X A X 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) nnX X X X X X 1 2 n 1P A P A P P A 1 1 2 2( , , , )nnX X iX 是 A的特征值， i 是 A的属于 的特征向量 iX i 12 ( , , , )i i iA X X i n 12 , , , nX X X 又 线性无关 所以 A有 n个线性无关的特征向量 充分性 设 有 n个线性无关的特征向量： 12, , , ,nX X X 它们所对应的特征值依次为： 12, , , ,n 则有 12 ( , , , )i i iA X X i n 12( , , , )nP X X X 令 于是， 由于 线 性无关，故 可逆 12( , , , )nA X X XAP 12( , , , )nA X A X A X 1 1 2 2( , , , )nnX X X 12, , , nX X X 1P A P 1 1 1 2 2( , , , )nnA P X X X 12( , , , )nX X X 2 n P AP P 即 所以 A相似于对角阵 若 A 有 n 个线性无关的特征向量 ,则 A与 对角阵 相似，且 1P A P 1 2 , n 12( )nP X X X 其中， 是的 n个特征值， 是 的属于 的特征向量 12, , , n i iX 1 .P A P 例 判断矩阵 是否和对角 矩阵相似 ,若相似，求相应的可逆矩 阵 ， 1 0 0 2 5 2 2 4 1 |IA 21)(3( ） 1 2 33 1 . ， 解 得 的全部特征值为 1 0 0 2 5 2 2 4 1 A 使得 1 3, 3()I A X O 3 IA 1 23 0 x xx 对于 解齐次线性方程组 2 0 0 2 2 2 2 4 4 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 3 1 x 令自由未知量 ， 得基础解系 23 1, IA 1 2 32x x x 对于 000 2 4 2 2 4 2 1 2 1 000 000 2 2 1 0 令自由未知量 得基础解系 3 1 0 1 2 3 10 , , 01 x x 1 =3 23 = = 1 1 0 1 1 23 21 1 0 01 A 1 =3 23 = = 1 1 2 3, 有三个线性无关的特征向量 性质 属于不同特征值的线性无关的特征向 量仍然线性无关（定理 5.4） A 1 , 2 , 3()P 300 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 1 0 1 0 1 相应的可逆阵 A 300 0 1 0 0 0 1 100 0 1 0 0 0 3 或 1 , 2 , 3()P 2 , 3 , 1() 或 注意：对角阵 的主对角线上特征值的顺 序要和可逆阵 P中特征向量的顺序一致 1 0 0 0 3 0 0 0 1 或 2 , 1 , 3() 或 推论 若 n阶矩阵 A有 n个互不相同的特征 值，则 A一定相似于一个对角阵 2()B I A 1 2 3 | |A 1 1 2 2() * A 例 3 设三阶矩阵 A有特征值 -1,1,2 ，求证：矩阵 可对角化 证 的特 征值为 设 A的特 征值为 ，则 的特征值为 * i A 1iA 2 , 2 , 1. * A 的特 征值为 2 , 2 , 1. *2()B I A B 的特 征值为 9 0 1 即阶矩阵 有三个互不相同的特 征值 或 9, 1, 0. 9 1 0 例 2 判断矩阵 是否和对角 矩阵相似 1 1 0 4 3 0 1 0 2 |IA 2( 2) ( 1 ） 1 2 32 1 . ， 解 得 的全部特征值为 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A 1 2, 2()I A X O 2 IA 1 2 0 0 x x 对于 解齐次线性方程组 3 1 0 4 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 000 1 0 0 1 3 1 x 令自由未知量 ， 得基础解系 23 1, IA 13 232 xx xx 对于 2 1 0 4 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 1 2 令自由未知量 得基础解系 3 1,x 三阶矩阵 只有两个线性无关的特征向量 ， 故 A不与对角矩阵相似 为什么三阶矩阵 只有两个线性无关的特征 向量 ？ 1 2 A 1 =2 23 = = 1 2重特征值只提 供了 1个线性无 关的特征向量 问题出 在哪里 呢 特征值 是特征方程 的根 | | 0IA 特征方程 是关于 的 n次方程 | | 0IA n次方程在复数域内有 n个根 (包括重根 ) 所以 n阶矩阵 A有 n个特征值 . 如果某个特征值 是特征方程的 重根，就 说 的重数是 . k k 则 A的全部特征值的重数之和为 n. 如果 A的任一个特征值提供的线性无关的特 征向量的个数都与这个特征值的重数相同， 因为所有特征值的重数之和为 n 那么 一定有 n 个线性无关的特征向量 则可对角化 i 基础解系中解向量的个数 ()i I A X O ( ) in r I A 提供的线性无关的特征向量个数 i ik 的 重数 n阶矩阵 A可对角化的充分必要条件是 : 对于 A的每个 重特征值 ,都有 ik i n阶矩阵 A可对角化的充分必要条件是 : 对于 A的每个 重特征值 ,都有 ik i ( )iin r I A k ()iir I A n k 即 定理 5.7 例 判断矩阵 是否和对角 矩阵相似 1 1 0 4 3 0 1 0 2 |IA 2( 2) ( 1 ） 1 2 321 ， 解 得 的全部特征值为 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A 2()r I A 31 i 的重数 () ir I A n 2 ()r I A 32 1 2 IA 3 1 0 4 1 0 1 0 0 22()r I A IA 2 1 0 4 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 0 2()r I A A 1 2: 23 1: 1 0 0 0 1 0 000 ( )r I A 2 1 0 4 2 0 1 0 1 ( )r I A 32 A 1 0 1 0 1 2 0 0 0 对于重特征值， 不与对角阵相似 应有 1 r r 2 但是 1 1 1 J n阶约当块： 四约当标准形 3 1 0 0 3 1 0 0 3 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 7 阶约当块 阶约当块 阶约当块 0 1 不是 约当块 注： 约当块是上三角矩阵，且对角线上元素相同 1 2 n 1 2 s J J J 由若干个约 当块构成的 分块对角阵 1 n 2 2 约当形矩阵 3 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 J 注： 对角矩阵是特殊的约当形矩阵 例 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A 矩阵 1 2 321 , 有两个特征值 3. 结论：任一 n阶矩阵都和一个 n阶约当形矩 阵相似 200 011 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 或 注： 除对角线上约当块的次序外，约当 标准形是被矩阵 惟一确定的 约当标准形对角线上的元素就是 的特征值