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例题力学典型例题 例题 1:如图所示,质量为 m5 kg、底面积为 S40 cm60 cm 的矩形平板,以 U1 m/s的速度沿着与水平面成倾角30o的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度1 mm,假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。UG=mg 解:由牛顿内摩擦定律,平板所受的剪切应力duUdy 又因等速运动,惯性力为零。根据牛顿第二定律:0mFa,即:gsin0mS 324gsin5 9.8 sin301 100.1021 N s m1 40 60 10mU S o 例题 2:如图所示,转轴的直径 d m、轴承的长度 l1 m,轴与轴承的缝隙宽度 mm,缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s的油,若轴的转速200rpmn。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。dln 解:由牛顿内摩擦定律,轴与轴承之间的剪切应力 60ddn duy 粘性阻力(摩擦力):FSdl 克服油的粘性阻力所消耗的功率:32232232 30230603.14 0.360.73 2001600.23 1050938.83(W)dd ndnn lPMFdl 例题 3:如图所示,直径为d的两个圆盘相互平行,间隙中的液体动力黏度系数为,若下盘固定不动,上盘以恒定角速度旋转,此时所需力矩为T,求间隙厚度的表达式。d 解:根据牛顿黏性定律 dd2drrFAr r 2dd2drTF rrr 424200d d232dddTT rr 432dT 例题 4:如图所示的双 U 型管,用来测定比水小的液体的密度,试用液柱高差来确定未知液体的密度(取管中水的密度水1000 kg/m3)。h1h2h3h4水 解:根据等压面的性质,采用相对压强可得:123243ggghhhhhh水水 123432hhhhhh水 hz容器A容器B 例题 5:如图所示,U 型管中水银面的高差 h m,其他流体为水。容器 A 和容器 B 中心的位置高差 z1 m。求 A、B 两容器中心处的压强差(取管中水的重度水9810 N/m3,水银的重度水银133416 N/m3)。解:根据等压面的性质可得:A11pph水,12pph水银,B22pph水 AB21133416 0.3298100.32 129743.92 Papphhhhhz水银水水银水 例题 6:如图所示,仅在重力场作用下的无盖水箱高H,长 L3m,静止时盛水深度 h=。现水箱以20.98m sa 的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度31000kg m,水箱中自由水面的压强0p98000Pa。试求:(1)水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。(2)水箱中的水不致溢出时的最大加速度maxa。HhLaxzO 解:(1)如图所示,将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点,z 轴垂直向上,x 轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为 0Xa,Y,Zg 代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dddddpX xY yZ zW,得 dddpa xg z 积分得 1paxgzc 利用边界条件确定积分常数1c:在坐标原点 O(0 xz)处,0pp,得10cp 由式可得水箱内的压强分布 0980001000 0 989 8980009809800ppaxgz.x.zxz 对于水箱中的等压面,有d0p,所以由式可得等压面的微分方程 dda xg z 积分得 2azxcg 上式给出了一簇斜率为a g的倾斜平面,就代表水箱加速运动的一簇等压面,自由水面是等压面中的一个,因自由水面通过坐标原点,可确定积分常数20c。因此自由水面方程为 0 980 19 8a.zxx.xg.(2)假设水箱以加速度maxa运动时,其中的水刚好没有溢出,且此时水箱右侧水的深度为h,则根据加速前后水的体积不变的性质可得()2hHLL h 又根据水箱作水平等加速直线运动时,自由表面的斜率与几何长度之间的关系 maxgaHhL 和式联立求解,得:2max221.20.9g9.81.96 m s3HhaL 例题 7:有一盛水的旋转圆筒,直径 D1 m,高 H2 m,静止时水深为 h m。求:(1)为使水不从筒边溢出,旋转角速度应控制在多大(2)当6 rad/s 时,筒底 G、C 点处的相对压强(相对于自由水面)分别为多少 DHhGC 解:(1)若将坐标原点放在筒底的中心位置,并假设自由表面最低点的高度为00,rzH,则由:22,ddddXx Yy ZgpX xY yZ z,可推出自由水面(为一等压面)的方程:2202grzH 根据在水没有溢出的情况下,旋转前后水的体积不变的性质,可得:2222002d2g4DrDrHrh 由此可求得:22016gDHh,带入自由表面方程得:2222g8Dzhr 若使达到某一最大值而水不溢出,则有2rD时,zH,带入上式,得 222g2 9.82.0 1.58.854 rad s114828HhDD(2)旋转容器中任意一点的相对压强可表达为 2222220gg2g2g16grrDpHzhz 将 G 点条件:0,0rz带入得:2222G61g1000 9.81.512450Pa16g16 9.8Dph 同理,将 C 点条件:2,0rDz带入得:222222C61g1000 9.81.516950Pa8g16g16 9.8DDph 例题 8:如图所示为一圆柱形容器,直径为300mmd,高500mmH,容器内装水,水深为1300mmh,使容器绕垂直轴做等角速旋转,试确定水正好不溢出来的转速1n。解:以自由液面的最低处为坐标原点,自由液面方程为 Hgdgrz822222 旋转后无水的体积为:22242221002d2d2644ddrdVzr rr rdHhgg 1418 7g(Hh).d rad s 130178 3n.r min 例 9 已知平面直角坐标系中的二维速度场xtytuij。试求:(1)迹线方程;ddddxyzxyztuuu(2)流线方程;dddxyzxyzuuu(3)0t 时刻,通过(1,1)点的流体微团运动的加速度;(4)涡量,并判断流动是否有旋。解:(1)将,xyuxt uyt代入迹线方程ddddxyxyu,utt得:ddddxyxt,yttt 解这个微分方程得迹线的参数方程:1,1ttxaetybet 其中,,a b是积分常数(拉格朗日变数)。消掉时间 t,并给定,a b即可得到以,x y表示的流体质点,a b的迹线方程。例如:已知欧拉法表示的速度场22xyuij,求流体质点的迹线方程,并说明迹线形状。将2,2xyux uy代入迹线微分方程:ddddxyxyu,utt,得:dd22ddxyx,ytt 分离变量并积分,得:12ln2ln2xtcytc 从上两式中消去时间 t 得迹线方程:12xycc 即:xyc 可见,该流场中流体质点的迹线为一双曲线。(2)将,xyuxt uyt代入流线微分方程ddxyxyuu得:ddxyxtyt 将t看成常数,积分上式得流线方程:lnlnlnxtytc 或 xtc yt(3)由质点导数的定义可得流动在 x 和 y 方向的加速度分量分别为:DDxxxxxxyuuuuauuttxy110 xtyt 1xt DDyyyyyxyuuuuauuttxy101xtyt 1yt 所以,0t 时刻,通过(1,1)点的流体微团运动的加速度为:D1122Dxxaaxtytt uaijijij(4)由涡量的定义,对于题中所给的平面流动有:0yxzuuxy ukk 所以流动无旋。例 10 已知二维速度场为4xuxy,4yuyx 。(教材 P68)(1)证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动;(2)求该二维流场的流函数;(3)证明该流动为势流;(4)求速度势函数。解:(1)平面流动判定 不可压缩流体平面流动的连续方程为 0yxuuxy 由已知条件可求41xuxyxx,41yuyxyy ,可见速度分布满足连续方程。故可以表示不可压缩流体的平面运动。(2)流函数(,)x y的确定 按流函数定义和已知条件有 4xuxyy (1)4yuyxx (2)积分式(1)得 2d()2()yf xxyyf xy (3)为确定函数)(xf,将式(3)对x求偏导,并按流函数定义令其等于yu,即()4yyfxuyxx (4)由式(4)可以判定xxf4)(,积分求)(xf得 cxxxxxfxf22d4d)()(5)其中c为积分常数。将式(5)代入式(3),得:2222xxyyc(3)有势流动判定 判定流动是否为有势流有两种方法。方法一:是直接利用速度场求旋度看其是否为零 11144(44)0222yxzuuyxxyxyxy 由此可以判定流动为有势流。方法二:看流函数是否满足拉普拉斯方程(因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数):2222()()(4)(4)0yxuuyxxyxyxyxy 流函数满足拉普拉斯方程,流动为势流。(4)势函数),(yx 方法一:按势函数定义和已知条件有 4xuxyx (6)4yuyxy (7)积分式(6)得 21d()4()2xf xxxyf yx (8)为确定函数()f y,将式(8)对y求偏导,并按势函数定义式(7)令其等于yu,即 4()4yxfyuyxy (9)由式(9)可以判定()fyy,积分求()f y得 21()()dd2f yfyyy yyc (10)其中c为积分常数。将式(10)代入式(8),得:22422xyxyc 方法二:因已证明流动为有势流,则必然存在势函数,且xu和yu已知,可利用势函数的全微分:dddddxyxyuxuyxy,作不定积分求),(yx:dddddxyxyuxuyxy 4d4dxyxyxy 22422xyxyc 例 11:证明:2222yxx所表示的流动是势流,并求出该流动的速度势函数。解:1)判断流动是否为势流 方法一 14yxux 4xyuy 4(4)0yxzuuxy 对于x,y平面内的流动,0z说明流动无旋,所以是势流。方法二 14xx,224x 4yy,224y 222220 xy 流函数满足 Laplace 方程,所以流动是势流。2)因为 4yxy 所以 4xyfy 又因为 414xfyxyx 所以 1fy,fyyc 于是 44xyfyxyyc 教材习题:三维不可压缩流场中225xuxz,223yuyz,且已知0z处0zu,试求流场中的zu表达式,并检验是否无旋 解:由连续方程0yxzuuuxyz得:22yzzuuuxyzyz 积分得:2()zuxy zc 由0z处zu=0 得:c=0 所以流场中的zu表达式为2()zuxy z 由于1()22yzxuuzyz,1()22xzyuuzzx,1()02yxzuuxy 可见,当0z 时,该流体运动是无旋的;当0z 时,该流体运动是有旋的。已知二元流场的速度势为22yx (1)试求xu和yu,并检验是否满足连续条件和无旋条件。(2)求流函数。解:(1)2xuxx,2yuyy 由于220yxuuxy,满足连续方程;由于1()02yxzuuxy,流动无旋。(2)由流函数的定义:2xuxy 2yuyx 积分式得 d()2()yf xxyf xy 将式对 x 求偏导,并令其等于yu,即2()2yfxyy,可得()0fx,()f xc 于是,流函数为:2xyc 不可压缩流场的流函数为xy5(1)证明流动有势(2)并求速度势函数。(3)求(1,1)点的速度。解:(1)因为5xuxy,5yuyx 所以,1()02yxzuuxy,即流动无旋,也即有势。(2)因为5xuxx,5yuyy 所以,ddddd5 d5 dxyxyuxuyx xy yxy 对上式作不定积分得速度势函数:2255d(dd)(dd)22xyxyxyuxuycxy(3)由5xuxx,5yuyy,得,(1,1)点的速度为:15xxu,15yyu 即:1,155uij 已知22xux yy,22yuxy x,试求此流场中在1x,2y点处的线变率、角变率和角速度。解:由22xux yy,22yuxy x,1x,2y,得 线变率为:24xxuxyx,24yyuxyy 角变率为:221113()(22)(24 14)2222yxzuuxyxyxy 角速度为:221117()(22)(24 14)2222yxzuuxyxyxy 例题 12:如图所示,有一水平放置的喷管水射流装置,由直管段和收缩形喷管组成,喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷嘴喷出,冲击到一块垂直平板上。已知:喷管上游直管段的截面积2150cmA,水的压强146080Pap(表压,即相对于大气压的值),喷管出口截面积2230cmA。若将射流视为不可压缩流体的稳态流动,且不计粘性和重力的影响。试求:(1)喷管与直管段接头处所受的拉力;(2)平板所受的水流的冲击力。2u3u2u2233441u11x2AxRxF1A1p 解:建立如图所示的坐标系,取 x 轴所在的水平面为基准面;选取控制体,确定控制面;分析控制体受力:假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为xR,沿 x 轴的负方向;垂直平板对射流的作用力为xF,沿 x 轴的负方向。对 11 和 22 截面列伯努利方程:2211221222pupugzgz,将已知条件120zz,146080Pap,20p(相对压强)代入伯努利方程,得:221212puu (A)又由质量守恒方程1122u Au A,可得:1122uAuA (B)联立求解(A)和(B)可得:17.2m su,212m su,3120.036m sQQQ。(1)针对 11 和 22 截面间的控制体,列 x 方向的动量方程:221 111xQ uQuRp A 可求得喷管壁面对水流的作用力:411124608050 1010000.036 7.2 1257.6NxRp AQ uu xR为正值,说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同,水流对喷管壁面沿水平方向的作用力xR为xR的反作用力,故有57.6NxxRR ,即喷管与直管段接头处所受的拉力为。(2)针对 22、34 和 44 截面间的控制体(该控制体周围的压强均为大气压强,故不考虑压强引起的作用力),列 x 方向的动量方程:220 xQ uF 可求得垂直平板对射流的作用力:2 21000 0.036 12432NxFQ v xF为正值,说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同,射流对垂直平板的作用力xF为xF的反作用力,故有432NxxFF 。例题 13:如图所示,将一平板放在自由水射流中,并垂直于射流的轴线,该平板截去射流的一部分1Q,并引起射流其余部分偏转角度。已知1224m suuu,42L sQ(升/秒),116L sQ。求射流对平板的作用力 R 及射流的偏转角(不计摩擦力及水的重量的影响,取水的密度31000kg m)。Qu1u1Q11222Q2uxxRy00 解:建立坐标系,选取控制体,确定控制面。分析受力(假定力的方向):由于不计摩擦力的影响,平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力xR(假设其方向向左),而沿平行于平板方向的切向摩擦力0yR。于是可列出 x 和 y 方向的动量方程:22cosxQ uQuR 1 122sin0QuQ u 根据已知条件和连续性方程:23212.6 10m sQQQ 将其他已知条件带入,可以求得:116sin37.9826o,516.15NxR 射流对平板的作用力516.15NxRR ,方向向右。例题 14:如图所示连续管系中的 90渐缩弯管放在水平面上,管径115cmd,27 5cmd.,入口处平均流速12 5m/su.,静压416 86 10 Pap.(计示压强)。如不计能量损失,试求支撑弯管在其位置所需的水平力 1u2uxFyF 解:由112u Au A可得:211211122410 m/sAduuuuAd 由22112222pupugggg,得:22422211210006 86 102 51021725 Pa22ppu-u.-由 1111222111222200 xypQA-FQup A-FQAAuuQu,得:224321110 156 86 10102 51322 71 N4xFA pu.22322220 07521275 1010537 78 N4yFApu.22221322 71537 781438 63 NxyFFF.例题 15:离心式风机可采用如图 3 所示的集流器来测量流量,已知风机入口侧管道直径400mmd,U形 管 读 数2100mmH Oh,水 与 空 气 的 密 度 分 别 为31000kg mw,31.2kg ma,忽略流动的能量损失,求空气的体积流量VQ。解:针对在风机入口前断面 11 和 U 型管所在的风筒截面 22 列伯努里方程:200002apugg 得 2apu 由静力学基本方程:0 wwpghpgh 带入上式,得:100022 9 807 0 140 43 m/s 1 2waugh.空气的体积流量:22340 43(0.4)5 08 m/s44Vud.Q 例题 16:如图所示,离心式水泵通过一内径150mmd 的吸水管以360mhVQ 的流量,从一个截面积远大于吸水管截面积的敞口水池中吸水,并将水送至一水箱。设装在水泵入口处的真空计读数为44 10vp Pa。水池水面为大气压ap,水力损失不计,试求水泵的吸水管高度sH dsH1122apvp 解:选取自由液面 1-1 为零势能面,针对 1-1 截面和水泵入口截面 2-2 列伯努里方程:22112212g2g2pupuzzgg 带入条件:121212240,0,VsaavQzzH uupppppd,得 2s2100g24aavVpppHggQd 224322s14 1014 604 03 mg2109 812 9 81 3600 3414 0 15vVpH.g.Qd.例题 17:离心泵吸水管路如图所示,已知管径 d=250 毫米,吸水管路全长 L10 米,通过管路的流量为 Q80 升/秒,吸水井水面压强0p=1 工程大气压(1 工程大气压98100Pa),泵进口处最大允许的真空度vp=工程大气压。此管中带有单向底阀的吸水滤器一个,r/R=的 90度弯头一个。问允许水泵的实际安装高度xH为多少(提示:水的运动粘度为=106;若为湍流,沿程阻力系数可取=,带有单向底阀的吸水滤器局部阻力系数可取1=8,90 角弯管局部阻力系数为2=)。dHx00110z1z0pvp 解:将吸水井水面和泵入口截面分别设为 00 和 11 截面,取 00 截面为基准面,列伯努里方程:2200110122xpupuzzHgggg 整 理 得:2011102xppuzzHggg (1)其中:10 xzzH(吸水高度);0appgg(大气压相当的水头);00u;101vapppppgggg为泵入口截面真空度相当的水头;吸水管内的流速:312244 80 101.63m s0.25Qud 161.63 0.2540466723201.007 10u dRe,吸水管内的流动为湍流;吸水段上的总损失(包括沿程损失和局部损失):11222222101.631.630.0380.294 20.060.252 9.82 9.80.16271.17231.335mxiuuLHdgg 于是(1)式可以写为:212vxxupHHgg (2)当泵进口处达到最大允许的真空度工程大气压时,相应的吸水高度也为允许的最大值,于是由(2)式,得:22130.7 981001.630.13546.8646 m2109.812 9.81vxxupHHgg
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