数列（一）

数 列(一)国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要求是：求是：“请在棋盘的第请在棋盘的第1个格子里放上个格子里放上1颗麦粒，在第颗麦粒，在第2个格子里放上个格子里放上2颗颗麦粒，第麦粒，第3个格子里放上个格子里放上4颗麦粒，第颗麦粒，第4个格子里放上个格子里放上8颗麦粒，依此类推，颗麦粒，依此类推，每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第倍，直到第64个格子个格子”国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满足国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？发明者的要求了吗？18910颗3600亿吨1551616283284年年洛杉机洛杉机88年年汉城汉城92年年巴塞罗那巴塞罗那96年年亚特兰大亚特兰大00年年悉尼悉尼04年年雅典雅典金牌数金牌数看一组实例引言问题中各个格子里的麦粒数按位置的先后排成一列数：1，2，22，23，24，263。某班学生的学号从小到大排成一列数：1，2，3，4，5，6，50某人按揭贷款购房，月均等额还贷数排成一列数：1130，1130，1130，1130。某种放射性物质不断变为其它物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%。设这种物质最初的质量是1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数：1，0.84，0.842，0.843，。从1984年到2004年,我国体育健儿共参加了六次奥运会,获得的金牌数排成一列数：15，5，16，16，28，32。1、都是一列数；2、有一定的次序。共同特点数列数列按一定次序排列的一列数按一定次序排列的一列数 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做数列的第1项（或首项首项），第2项，第n项，一般形式：a1，a，a，a，an其中an为数列的第n项。数列可简记为an通项公式通项公式如果数列如果数列an的第的第n项与序号项与序号n之间的关系可以用一个之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式。注：并不是所有数列都有通项公式。注：并不是所有数列都有通项公式。（3 3）数列的分类）数列的分类(1)(1)按项数按项数：有穷数列和无穷数列有穷数列和无穷数列；(2)(2)按按a an n的增减性：递增、递减、常数、摆动的增减性：递增、递减、常数、摆动(3)(3)按按aan n是否有界：有界数列和无界数列是否有界：有界数列和无界数列辨一辨：辨一辨：an与an的关系（整体与局部）数列中的项与集合中的元素有何区别？数列a:1 1，3 3，5 5，7.7.集合A=1=1，3 3，5 5，77数列b:3 3，1 1，5 5，7.7.集合B=3 3，1 1，5 5，77数列c:1 1，-1-1，1 1，-1.-1.集合C 1 1,-1,-1,1 1,-1,-1?（1）数集中的数无序，数列中的数有序（2）数集中的数互异，数列中的数可以相同(1)1,2,3,4,5,(3)4,8,12,16,20,12363(4)1,2,2,2,2(6)15,5,16,16,28,32,数列23111(5)1,2 22 看下面六组数列，写出它们的通项数列序号序号n 1 2 3 4 5 项项 an 2 4 6 8 10 2122232425(1)1,2,3,4,5,(3)4,8,12,16,20,12363(4)1,2,2,2,2(6)15,5,16,16,28,32,数列23111(5)1,2 22 nannan412nna(164)n 112nna数列练习根据下面数列的通项公式，写出它的前练习根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：项：(1)1nnan12345_,_,_,_,_.aaaaa(2)(1)nnan 12345_,_,_,_,_.aaaaa1223344556-12-34-519 1718 18，试判断试判断 是否在数列（是否在数列（1）中）中？数列222221 31 41 51(2),;23451111(3),.1 2 2 33 4 4 5练习写出下面数列的一个通项公式，使它的前练习写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项项分别是下列各数：分别是下列各数：2(1)11nnan1(1)(1)nnan n(1)1,3,5,7;21nan21nan(1)(2)(3)(4)nnnn 中央电视台节目中曾经出现过这样的一道题：观察以下几个数的特点，按照其中的规律说出括号里的数是几？2，5，10，17，（）CCTV-1CCTV-1an=n2+126数列与函数数列是一种特殊特殊的函数！函数（如y=2x-1）数列（如an=2n-1）自变量序号函数值数列的项 解析式通项公式xnyan数列序号序号n 1 2 3 4 5 项项 an 2 4 6 8 10 2122232425数列是按照项的序号排列的一列函数值数列的图象数列的图象1A2A3A4A5A6A7A8AO1122378*1238,(,18)nOAA AA AA AOA OA OAOAanNn.例例1 1如如图图是是第第七七届届国国际际数数学学教教育育大大会会(I IC CM ME E-7 7)的的会会徽徽图图案案,是是由由一一串串直直角角三三角角形形演演化化而而成成的的,其其中中=1 1,记记的的长长度度组组成成数数列列.(1)(1)写写出出数数列列的的前前4 4项项;na归纳项(2)出(2)出的的通通公公式式;2004OA(3)(3)如如果果按按上上述述方方式式继继续续下下去去,那那么么的的长长是是多多少少?假设一对刚出生的小兔一个月就能长成大假设一对刚出生的小兔一个月就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，如果没有发生死亡，按每个月都生一对小兔，如果没有发生死亡，按逐月计算，每个月初的兔子对数构成如下数列逐月计算，每个月初的兔子对数构成如下数列1,1,2,3,5,8,13,21,34 这就是为以意大利著名数学家裴波那契命这就是为以意大利著名数学家裴波那契命名的名的“裴波那契数列裴波那契数列”有趣的兔子数列科海拾贝：“斐波那契”数列，斐波那契是意大利著名数学家，他的“斐波那契数列”成为世人热衷研究的问题，有关它的研究文献真可谓汗牛充栋，它不仅在初等数学中引人入胜，而且它的理论在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们提供了一片施展才华的空间.1，1，2，3，5，8，13，21，34，裴波那契螺旋裴波那契螺旋