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科学出版社*三、向量的混合积三、向量的混合积 第三节一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积 向量的数量积 向量积 第七七章 科学出版社1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W 设非零向量的夹角为,称 记作数量积(点积).实例实例.F位移为 s,则力F 所做的功为cosFssFW2Mbacosba的与为baba,s规定当,ab中至少有一个是零向量时,它们的数量积为零设一物体在常力 F 作用下,几何解释为一个向量的模与这向量在另一个向量方向上的投影的乘积科学出版社数量积的性质数量积的性质(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba(3)分配律cbcacba为两个非零向量,则有(4)a a2a(5),a b0baba bacosba(由几何性质可证)科学出版社数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则,101 12 23 3,aba ba b当为非零向量时,cos 1 12 23 3aba ba b222123aaa222123bbb由于 bacosba123,aa iaja k123,bb ib jb kba123()a iaja k123()b ib jb kii jjkk jikjik baba ba,a b两向量的夹角公式,得222123|.aaaa科学出版社|b 3arccos9设22,aijk bijk求(1)的夹角.解解:(1)(2)|a 故cos|a ba b3,9例例1.;a b(2),a b2 12(1)(1)1a b 1 22222(1)3,2221(1)1 3科学出版社Oyzx与三坐标轴的夹角为,为其方向角.cos1222123aaaa方向角的余弦称为其方向余弦.123(,)0,aa a aa1aaa例例2.设其中2.|a bb证证:因为2()abba bb故方向角与方向余弦方向角与方向余弦22|a ba bbb0,是非零向量，证明向量,a bab垂直于,bab垂直于.b科学出版社Oyzxacos1222123aaaacos2222123aaaacos3222123aaaa1coscoscos222方向余弦的性质:(cos,cos,cos)1aa2aa3aa0aaa:a向量的单位向量科学出版社例例3.1(1,2,3)P和2(3,2,1),P 的模、方向余弦和它的单位向量 解解:求向量12PP0.p12PP 3 1,2(2),1 3 (4,4,2),12PP 222442 6,2cos,3 2cos,31cos,3 02 21,.3 33p 已知两点科学出版社例例4.设点 A 位于第一卦限,解解:角依次为,43求点 A 的坐标.,4,3则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,6AO且OAOAeAO6,212,221已知科学出版社二、两向量的向量积二、两向量的向量积实例实例.有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM|M矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 设O 为杠杆L 的支点,科学出版社定义定义,定义向量方向:(叉积，外积)记作且符合右手规则模:向量积,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考:abba21S右图三角形面积,a b设非零向量之间的夹角是科学出版社性质性质(2)结合律abba)()(ba)(baba)1(反交换律);(3)分配律cba)(cbca为非零向量,则(4)aa00baba，0sin0或即,0,0时当baba0basinab0证明证明:(5),a b可用混合积和数量积证科学出版社 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式)(kajaiazyx)(kbjbibzyx设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk科学出版社向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,xzxzaabbyxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx科学出版社212122,0111102,1,2,ab设22,aijk bik求同时垂直于的单位向量解解:所求向量平行于221101ijkab 因此所求单位向量为1|eabab ab和例例5.a b.e2 1 2,.3 3 3 2222123科学出版社例例6.(0,2,1),(4,0,1),(1,2,3),ABC求三角形 ABC 的面积.解解:CBASABC21kji422102)(214,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB如图所示,已知三点科学出版社*三、向量的混合积向量的混合积定义定义.已知三向量称数量混合积.几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为VS hcoscba)(,cba的为cba,S baccba,以则其cosbaccba)(bacba科学出版社123123aaabbb1c2c3ckji混合积的坐标表示混合积的坐标表示设1a2a3a1b2b3b1313aabb1212aabb()abcba123(,),aa a a2323aabb123(,),bb b b123(,)cc c c2323,aabb1313,aabb1212aabb1c2c3c科学出版社性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:cba,abc()0abc()abc()bca()cab()bac()cba()acb 科学出版社例例7.已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积.1A2A3A4A解解:为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz 12,A A13,A A14A A413121AAAAAA已知四面体的体积等于以向量
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