252锐角三角函数

24.3锐角三角函数锐角三角函数凤鸣初中凤鸣初中 夏琴夏琴A的邻边bACBA的对边的对边a斜边斜边c知识点知识点1：直角三角形的认识：直角三角形的认识1：对于A来说：2：对于：对于B来说来说,它它们分别是什么？们分别是什么？练跟进训课本P107页1题：如图，在RtMNP中，N=90.P的对边是，P的邻边是的邻边是.M的对边是_.M的邻边是_NPMMNPN思考：在在RtAB3C3中，当锐角中，当锐角A取其它的固定取其它的固定值的时候，值的时候，A的对边与邻边的比值还会是一个固的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？定值吗？AB3C3C1C2B2B1分析：分析：易知易知 RtAB1C1 RtAB2C2 RtAB3C3ACCBACCBACCB333222111可见：在在RtABC中，中，对于锐角对于锐角A的每的每一个确定的值，一个确定的值，它的它的对边与邻对边与邻边的比值边的比值是一是一个定值。实际个定值。实际上，上，对边与斜对边与斜边、邻边与斜边、邻边与斜边的比值边的比值也是也是一个定值。一个定值。知识点知识点2：锐角三角函数定义：锐角三角函数定义sinAaAc的 对 边斜 边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边=的邻边1、A的对边与斜边的比值叫做的对边与斜边的比值叫做A的正弦，记作的正弦，记作sinA,即即2、A的邻边与斜边的比值叫做的邻边与斜边的比值叫做A的余弦，记作的余弦，记作cosA,即即3、A的对边与邻边的比值叫做的对边与邻边的比值叫做A的正的正切，记作切，记作tanA,即4、A的邻边与对边的比值叫做的邻边与对边的比值叫做A的余切，记作的余切，记作cotA,即即cotAbAAa的邻边的对边斜边对边正弦斜边邻边余弦邻边对边正切对边邻边余切锐角锐角A的正弦、的正弦、余弦、正切、余余弦、正切、余切叫做锐角切叫做锐角A三三角函数角函数简记：简记：重要提示：三角函数三角函数只与角度的大小有关，只与角度的大小有关，与边的长短无关。与边的长短无关。锐角三角函数定义w正弦正弦,余弦余弦,正切正切,余切余切:回顾与思考回顾与思考驶向胜利的彼岸bABCac,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabA,sincbB,coscaB,tanabB.cotbaB 三角函数的应用三角函数的应用例例1如图所示，求出如图所示，求出A的四个三角函数。的四个三角函数。ABC158解：AC=222215828917BCACsinA=817BCACCOSA=517ACABtanA=81 5B CA CcotA=158ACBC提示：已知直角三角形提示：已知直角三角形任意两边可以求出两锐任意两边可以求出两锐角的四个三角函数值。角的四个三角函数值。课本课本P107页例题页例题跟进训练跟进训练课本课本P102页页2题：题：求出图中求出图中D的四个三角函数值的四个三角函数值CDE106解：解：CE=22221068CDDEsinD=COSD=tanD=cotD=84105CECD63105DECD8463CEDE6384D EC E例例2如图所示，在ABC中，AB=AC=13,cosB=则BC=_。5,1 3ABCD分析分析：三角函数是在直角三角三角函数是在直角三角形中，而题中没有直角三角形，形中，而题中没有直角三角形，所以，需要作辅助线，将所以，需要作辅助线，将B放入一个直角三角形中。放入一个直角三角形中。cosB=B DA BB DA B51 3BD=5,BC=2BD=1010跟进训练跟进训练 在在RtABC中，中，B=90,sinC=求求A的四个的四个三角函数值。三角函数值。5,13解：解：sinC=分析：分析：B=90，则斜边应为，则斜边应为ACBCAAB:AC=5:13可设可设AB=。AC=。5k13k5k13kBC=222213512ACABkkk12ksinA=12121313BCkACkCOSA=551313ABkACktanA=121255BCkABkcotA=551212ABkBCk方法总结：已知一个三方法总结：已知一个三角函数值，相当于已知角函数值，相当于已知两边的比，设每一份为两边的比，设每一份为k，求出第三边，然后，求出第三边，然后根据三角函数的定义就根据三角函数的定义就可求出其它三角函数值可求出其它三角函数值知识点知识点3：三角函数的性质：三角函数的性质1：取值范围：取值范围：ACB0sinA10cosA1tanA0cotA0,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabA abcac,bc,且且a、b、c都大于都大于001,0,0aabcba 2.互余两角之间的三角函数关系互余两角之间的三角函数关系:w直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余:A+B=90:A+B=900 0.则则B=90-AbABCac则则 sinA=cosBsinA=cosB或或cosA=sinBcosA=sinB.,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabA,sincbB,coscaB,tanabB.cotbaB tanA=cotBtanA=cotB或或cotA=tanBcotA=tanB.sinA=cos（90-A）或或cosA=sin（90-A）.tanA=cot（90-A）或）或cotA=tan（90-A）.一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角等于它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角的余切；一个角的余切等于它的余角的正切。的余切；一个角的余切等于它的余角的正切。3.3.同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系(1)(1)平方和关系平方和关系:bABCac.1cossin22AA.cos1sin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA或(2)(2)商的关系商的关系:.sincoscot,cossintanAAAAAA(3)(3)倒数关系倒数关系:.1cottanAA.cot1tanAA.tan1cotAA例例3已知已知sinA=，求，求A的其他三的其他三个三角函数值个三角函数值13解：cosA=2212 21 sin133AtanA=sin12 212cos3342 2AAcotA=124122tan42AsinA=a:c,可设可设a=k,C=3k,由勾股由勾股定理可求出定理可求出b,然后根据定义然后根据定义求出其他三个求出其他三个三角函数值可三角函数值可跟进训练跟进训练4cos5已 知，求 出的 其 他 三 个 三 角 函 数 值sin解：22431 cos155 sin343tancos55414cottan3拓展训练拓展训练5tan,12已知求 的其他三个三角函数值cot解：112tan5sintancossin5cos12可设_=5k,_12ksincos又 =122sincos 225121kk113k 解得5sin513k12cos1213k小结小结222a b c sinA=cos（90-A）或或cosA=sin（90-A）.tanA=cot（90-A）或）或cotA=tan（90-A）.bABCac1.直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系:2.直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系:A+B=90.3.直角三角形直角三角形边与角边与角之间的关系之间的关系:斜边对边正弦斜边邻边余弦邻边对边正切对边邻边余切4、互为余角的三角函数间的关系：互为余角的三角函数间的关系：5、同角同角之间的三角函数关系之间的三角函数关系:.1cossin22AA.sincoscot,cossintanAAAAAA.1cottanAA作业作业课本P111页习题24.3 1、2题补充补充1：在：在RtABC中，中，C=90，斜边，斜边AB是直角是直角边边 AC的的3倍。求倍。求A的四个三角函数值的四个三角函数值2：已知：已知sinA=,求求A的另外三个三角函数值的另外三个三角函数值35