数学物理方法：数理方法复习

复变函数复变函数)(212121iezz3、复数的除法、复数的除法2、复数的乘法、复数的乘法复数的运算复数的运算1、复数的加减法、复数的加减法4、复数的乘方与方根、复数的乘方与方根ninez)(383/)2(3/18kie例：方程例：方程 sinz=2iyxz)(21sinizizeeiz设设21)()(yixiyixieeicos)(sin)(21xeeixeeyyyy复变函数复变函数22sin)(21xeeyy0cos)(21xeeyyyvxuxvyu导数导数（C.R.C.R.条件）条件）yuixudzdfu(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数02 u02 vC.R.方程方程的极坐标的极坐标表示：表示：vu1vu1若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一条件，求另一共轭调和函数共轭调和函数方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法xdyydxdv22)2(yxdCxyv 2)2()(22CxyiyxzfiCz 2故故u为调和函数为调和函数222yu222xu例：已知例：已知 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)单连通区域单连通区域0)(ldzzf复变函数积分复变函数积分柯西定理柯西定理0)()(illidzzfdzzfl2l1lABABCDCD复连通区域复连通区域illidzzfdzzf)()(0ldzzi1211(l不包围不包围)(l包围包围)l CRldzzzfif)(21)(柯西积分公式柯西积分公式lnndzfinzf1)()()(2!)(1 1、比值判别法、比值判别法20201010)()()(zzazzaazzakkk幂级数幂级数1limkkkaaRRzz)(0kkkaR1lim绝对收敛绝对收敛2 2、根值判别法、根值判别法的的收敛半径收敛半径例：求幂级数例：求幂级数kka)1(102)1(kkkz解：解：1limkkkaaR泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数kkkzzazf)()(0)(Re01zsfaa-1称为称为f(z)在在 奇点奇点z0的的留数留数留数定理留数定理如何求如何求a-1？若若z0为为单极点单极点10)()(lim0azfzzzz)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzzm阶阶极点极点的极点，求的极点，求留数留数例：确定函数例：确定函数)4/()2()(33zzizzf解：解：)4(2422333zzizzziz)2(13izz)()!13(1lim)0(Re3220zfzdzdsfz8i例：计算回路积分例：计算回路积分)10(1221zdzzz3)2(1)2(Reiisf例：计算积分例：计算积分21xdxInkzzsfi11)(Re220)sin,(cosdR例：计算积分例：计算积分20cos1adI无穷积分无穷积分dxxf)(含三角函数的无穷积分含三角函数的无穷积分0cos)(mxdxxF其中其中F(z)为偶数，为偶数，G(x)为奇数为奇数0sin)(mxdxxG例：计算积分例：计算积分022cosaxmxdxI)sincos()(10lxkblxkaaxfkkklldfla)(210llkdlkflacos)(1付里叶级数付里叶级数llkdlkflbsin)(1lkdlkflb0sin)(2)()(xfxf奇函数奇函数0ka偶函数偶函数)()(xfxflkkdlkfla0cos)(20kb复数形式的复数形式的付里叶变换付里叶变换dxexfFxi*)(21)(deFxfxi)()(函数函数00)(xx0)(xx1)(dxx)0()()(fdxxxf)()()(00 xfdxxxxf)(xH)0(0 x)0(1x阶跃函数阶跃函数00sin)(sinxdxxxx例：例：dxdHx)(称为称为 f(t)的的拉普拉普拉氏变换函数拉氏变换函数（像函数）（像函数）iitpdpepfitf)(21)(称称 f(t)为原为原函数函数0)()(dtetfpftp拉普拉氏变换拉普拉氏变换1)(!nstnspnetLspeLst11!nnpntLpL11)0()0()0()0()()()1()2(21)(nnnnnnfpffpfppfptfL)0()()(fpfptfL)()()(*)(2121pfpftftfLtdtfftftf02121)()()(*)(其中其中导数定理导数定理卷积定理卷积定理22sinptL22cospptL例：求电路方程例：求电路方程tERjjdtdLsin00)0(j解：解：220pEjRjLpRLppEj1220tLRetLEj*sin002uautnukq02xxttuau扩散方程扩散方程弦的横振动弦的横振动张应力（单位横截面的力）为张应力（单位横截面的力）为xuY均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动扩散流强度扩散流强度q，即单，即单位位 时间内流过单位面时间内流过单位面积的分子数或质量；积的分子数或质量；浓度浓度 u(单位体积内的单位体积内的粒子数）粒子数）02xxttuau弦的横振动弦的横振动边界自由，边界自由，张应力为零张应力为零00 xxuY边界固定边界固定00 xu00 xxu02uaut0nuk边界与外界无边界与外界无粒子交换粒子交换扩散扩散边界浓度为零边界浓度为零00 xu00 xxu0u02uaut0nuk边界与外界绝热边界与外界绝热热传导热传导边界温度为零边界温度为零00 xu00 xxu0u02/V称为泊松方程称为泊松方程称为称为 Laplace Laplace 方程方程02Vatxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt达朗贝公式达朗贝公式分离变数法分离变数法0),(0 xtxu0),(lxtxu1sin)(),(nnnnxlntTtxuu4 4类边值问题类边值问题0),(0 xxtxu0),(lxxtxu0cos)(),(nnnnxlntTtxuu0),(0 xxtxu0),(lxtxu02)12(cos)(),(nnnnxlntTtxuu0),(0 xtxu0),(lxxtxu02)12(sin)(),(nnnnxlntTtxuu分离变数法分离变数法 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法02xxttuau)0()(),(0lxxtxutt)0()(),(0lxxtxut0),(0 xtxu0),(lxtxu弦两端固定弦两端固定)(sin1xxlnAnn)(sin1xxlnlanBnn1sin)sincos(),(nnnnnxlnlatnBlatnAtxuu)(sin1xxlnAnn)(sin1xxlnlanBnndlnanBlnsin)(20dlnlAlnsin)(2002xxttuau)0()(),(0lxxtxutt)0()(),(0lxxtxut0),(0 xxtxu0),(lxxtxu泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件弦两端自由弦两端自由0cosnnxlnTu100cos)sincos(nnnxlnlatnBlatnAtBAu0)(2nnTalnT0n0n本征振动本征振动系数系数dlAl00)(1dlnlAlncos)(20dlBl00)(1dlnanBlncos)(20100cos)sincos(nnnxlnlatnBlatnAtBAu02xxtuau)(0 xut00 xu0lxxu泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件12)12(sin)(kklxktTu14)12(2)12(sin2222ktlakklxkeCu0)(4)12()(2222tTlaktTkk),(2txfuauxxtt0),(0tttxu0),(0ttxu0),(0 xtxu0),(lxtxu泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理1sin)(),(nnxlntTtxu),(sin)()()(12txfxlntTlantTnnn)()()()(2tftTlantTnnndlntfltflnsin),(2)(00)0(nT0)0(nTdtlanfanltTtnn)(sin)()(010sin)(sin)(),(ntnxlndtlanfanltxutAuauxxtsin20),(0ttxu0),(0 xxtxu0),(lxxtxu例：求定解问题：例：求定解问题：泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件解：解：xlnCXnncos0cos)(),(nnxlntTtxu代入泛定方程有代入泛定方程有tAxlntTlantTnnnsincos)()()(02tAtTsin)(0tAxlntTlantTnnnsincos)()()(120)()()(020tTlantT0n0n02xxttuau)(),(0 xtxutt)(),(0 xtxut)(),(0ttxux)(),(ttxulx泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件边界条件的齐次化边界条件的齐次化非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理辅助函数辅助函数w(x,t)的选取的选取令令),(),(),(txwtxvtxu)(),(0ttxwx)(),(ttxwlx使使0),(0 xtxv0),(lxtxv)()(),(tBxtAtxw于是于是)()()(),(txltttxw)(22xxttxxttwawvav)0,()(),(0 xwxtxvttt)0,()(),(0 xwxtxvt定解问题成为：定解问题成为：泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件弦两端固定弦两端固定0),(0 xtxv0),(lxtxv边界边界条件条件例：研究半带形区域的电势例：研究半带形区域的电势 u(x,y)0uLaplaceLaplace方程方程00 xu0uuax)0,0(yax解：解：考虑考虑wvuaxuv000 xw0axwxy000yu)0(y)0(ax 0waxuwy00等式右边作付氏展开等式右边作付氏展开axuv000 xw0axw0waxuwy001sin)(naynnaynnxaneBeAw有限值yw0nA10sinnnaxuxanBnuBnn02)1(222222zuyuxuu直角坐标系中直角坐标系中球坐标系中球坐标系中2222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru在柱坐标在柱坐标系中系中222222211zuuuuucosx01)1()1(222xmlldxdxdxd0222mddmBmAsincos0)1(2222RlldrdRrdrRdr)1(llDrCrR球坐标系球坐标系)3,2,1,0(m连带勒让德方程连带勒让德方程0)(12222RmddRdRd022ZdzZd0222mdd柱坐标系柱坐标系0)(22222RmxdxdRxdxRdx)0(x0)(22222RmxdxdRxdxRdx)0(xmmFERlnFER)00(m)00(mmBmAsincos)3,2,1,0(mDzCZ)0(zzDeCeZ)0(zDzCZsincos)0(柱坐标系柱坐标系常点邻域的级数解法常点邻域的级数解法0)()(22wzqdzdwzpdzwd00)()(kkkzzazw比较系数比较系数0)()(22wzqdzdwzpdzwdkkskzzazw1)()(01kkskzzbzw2)()(02或或kkskzzbzzzAwzw2)()ln()()(0012正则奇点邻域上的级数解正则奇点邻域上的级数解其中其中 s1 和和 s2 是如下判定方程的两个根是如下判定方程的两个根0)1(21qspss 阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程0)1(12222yxdxdyxdxydxxp1)(221)(xxq11p22q判定方程判定方程0)1(21qspss0)1(2sss代入代入s 阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数02)2()1(!1)1()(kkkxkkxJsin)(cos)()(xJxJxN称为称为 阶诺阶诺伊曼函数伊曼函数xxxJcos2)(21xxxJsin2)(210)(22222yxdxdyxdxydx 阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程ix0)(22222yddydyd02)2()1(!1)()(kmkmmmxkmkixJixI02)2()!(!1kmkxkmk)(bxa0)()()(yxyxqdxdyxkdxd连带勒让德方程连带勒让德方程21)(xxk221)(xmxq1)(x1b1a)1(ll0)1(1)1(222yllyxmdxdyxdxd自然边界条件自然边界条件有限)1(y施图姆施图姆刘维本征值问题刘维本征值问题)(bxa0)()()(yxyxqdxdyxkdxd贝塞尔方程贝塞尔方程0)(2yyddydd)(k2)(q)(0b0a自然边自然边界条件界条件有限)0(y0)(0yx有带全重有带全重 (x)的正交关系的正交关系0)()()(dxxxyxynbam1)()(nnnxyfxf令令dyNbamm)()(22dydfyfbambamm)()()()()(2Nm 称为称为 ym(x)的模的模dfyNfbammm)()()(122/02)!2()!(2!)!22()1()(lkkllklxklklkklxP1)(0 xPxxP)(1)13(21)(22xxP)35(21)(33xxxPcos)12cos3(41)cos33cos5(81勒让德多项式勒让德多项式勒让德多项式的微分式勒让德多项式的微分式lllllxdxdlxP)1(!21)(2勒让德多项式的模勒让德多项式的模dxxPNll2112)(1222lNl122lNl),2,1,0(l勒让德多项式的正交性勒让德多项式的正交性)(0)()(11lkdPPlk系数系数0)()(lllxPfxfdxxfxPlfll11)()(212勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数1r)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1r2cos211rr例：以勒让德多项式为基，在例：以勒让德多项式为基，在-1-1，11上把上把f(x)=x 展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数解：解：dxxfxPlfll11)()(2120)()(lllxPfxf前几项系数前几项系数dxxff110)(21dxxfxf111)(210)()()12()()1(11xlPxxPlxPllll)(0aru内)(cos),(0)1(llllllPrBrAru内)(cos0llllPrAu u与与 无关无关例：求积分例：求积分dxxPxxP11101100)()(01)1()1(222xmlldxdxdxd连带勒让德函数的表示式连带勒让德函数的表示式)()1(2/2xyxm)()1(2/2xPxmlm)(xPl令令为连带勒让德函数为连带勒让德函数)()(00 xPxPll)()1()(12/1211xPxxP2/12)1(xsin)()1()(22/1212xPxxP2sin23)3()1(2/12xx)()1()(2/2xPxxPmlmml122)!()!()(2lmlmlNml122)!()!(lmlmlNml勒让德函数的模勒让德函数的模)(0aru内u u与与 有关有关00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArru内球函数的表示式球函数的表示式)cossin)(cosmmPml),(mlYimmleP)(cos),2,1,0,2,1,0(llm有有 2l+1 个个独立的独立的球函数球函数),(mlY复数形式复数形式复数形式的模复数形式的模三角函数形式三角函数形式124)!()!(lmlmlNml正交归一、正交归一、独立独立的的球函数球函数Ylm immlmllmePmlmllNY)(cos)!()!(4121正交归一、正交归一、独立的独立的 Ylm 有有 2l+1 个个球函数球函数immllmePmlmllY)(cos)!()!(412如如410,0Ycos430,1YieYsin831,1)1cos3(16320,2YieYcossin8151,2ieY222,2sin3215柱坐标系中柱坐标系中LaplaceLaplace方程为方程为将变量变将变量变 与与 和和 z z 分离分离0112222222zuuuuumBmAsincos0)(12222RmddRdRd022ZdzZd0)(22222RmxdxdRxdxRdxx称为贝塞称为贝塞尔方程尔方程mBmAsincos)3,2,1,0(mzzDeCeZ)0(0)(22222RmxdxdRxdxRdx)0(x称为虚宗称为虚宗量贝塞尔量贝塞尔方程方程)0()sin()cos(zDzCZ三类柱函数三类柱函数第二类柱函数第二类柱函数第一类柱函数第一类柱函数第三类柱函数第三类柱函数02)2()1(!1)1()(kkkxkkxJ为为 阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数sin)(cos)()(xJxJxN为为 阶诺伊曼函数阶诺伊曼函数)()()()1(xiNxJxH)()()()2(xiNxJxH为第一种为第一种和第二种和第二种汉克尔函汉克尔函数数三类柱函数的递推关系三类柱函数的递推关系)(2)()(11xZxZxZxxZxZxZ)(2)()(11)()(1xJxxJxdxd)()(1xJxxJxdxd)()(10 xJxJ)(22k0)(12222RmddRdRd有限0)(R0)()(aRddR、是常数，是常数，=0=0或或=0=0，或，或、均不为零时，分均不为零时，分别表示别表示 =a=a 端有第一、第二、第三类齐次边界条件端有第一、第二、第三类齐次边界条件有限0)(R)()(mJR0)(22222RmxdxdRxdxRdxx贝塞尔方程贝塞尔方程柱侧面有齐柱侧面有齐次边界条件次边界条件0=a=a 端有第一类齐次边界条件端有第一类齐次边界条件2)(122)()(21aJaNmnmmn广义广义FourierFourier级数级数系数系数1)()()(nmnmnJfxfamnmmnndJfNf0)(2)()()(1积分带全重积分带全重 2)(122)()(21aJaNmnmmn第一类第一类0u0au例：柱内稳定温度分布问题，设半径为例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为高为h的圆柱体，的圆柱体，下底和侧面保持温度为零，上底温度分布为下底和侧面保持温度为零，上底温度分布为u=u0。泛定方程泛定方程边界条件边界条件解：解：0uuhz00zu)()(0000mzkmzkmmkJeBeAumm1mmuu一般形式一般形式虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程在柱上、下底有在柱上、下底有齐次边界条件时齐次边界条件时 00)(22222RmddRdRd有虚宗量贝塞尔方程有虚宗量贝塞尔方程2令令x和和0)(22222RmxdxdRxdxRdx为虚宗量贝塞尔方程为虚宗量贝塞尔方程0u0uua00zu例：柱内稳定温度分布问题，设半径为例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为高为h的圆柱体，的圆柱体，上底和下底保持温度为零，侧面温度分布为上底和下底保持温度为零，侧面温度分布为u=u0。泛定方程泛定方程边界条件边界条件解：解：0hzuzhmkIummsin)(00hmkm01mmuu一般形式一般形式球贝塞尔方程球贝塞尔方程亥姆霍兹方程在球坐标系中表示为亥姆霍兹方程在球坐标系中表示为0sin1)(sinsin1)(122222222vkvrvrrvrrrkrx),()(YxRv)(2)(21xJxxjll)(2xyxR)()()(xnBxjAxyllll1)21()()(mlmlmrkjfrfdrrrkjrfNfalmlmm20)21(2)()(11)21()()(mlmlmrkjfrfdrrrkjrfNfalmlmm20)21(2)()(1drrrkjNalmlm202)21(2)(02uaut00rru00uut例：半径为例：半径为r0的均匀热介质球，原来温度为的均匀热介质球，原来温度为u=u0，放入放入冰水中，使球面温度保持为零，求球内温度分布。冰水中，使球面温度保持为零，求球内温度分布。泛定方程泛定方程边界条件边界条件有限0ru初始条件初始条件02uaut00rru00uut泛定方程泛定方程边界条件边界条件有限0ru初始条件初始条件taketT22)(takmmtakmmerkrkerkju2222)21()21()21(0sin)(1)21()21(22sinmtakmmmerkrkAu0)21(rmkm00rru代入初始条件代入初始条件两边按球两边按球贝塞尔函贝塞尔函数展开数展开00uut0100/)/sin(urrmrrmAmm000220002000/)/sin(/)/sin(rrmdrrrrmrrmdrrrrmrrmuA01)1(2um