2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：第8章第5节椭圆.ppt

菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 第五节 椭 圆 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 椭圆的定义 平面内到两定点 F1、 F2的距离的和 _(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫椭圆 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c， 其中 a 0， c 0， 且 a， c为常数 (1)若 _， 则集合 P为椭圆； (2)若 _， 则集合 P为线段； (3)若 _， 则集合 P为空集 等于常数 2a |F1F2| 2a |F1F2| 2a |F1F2| 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) y 2 a 2 x 2 b 2 1( a b 0) 图形 性质 范围 _ _ _ x _ _ _ _ y _ _ _ _ _ x b _ _ _ y a a a b b b a 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 对称性 对称轴： _ ；对称中心： _ 顶点 A 1 ( a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) B 1 (0 ， b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ， a ) ， A 2 (0 ， a ) B 1 ( b ， 0) ， B 2 ( b ， 0) 性 质 离心率 e _ (0 ， 1) a ， b ， c 的关系 c 2 a 2 b 2 c a 坐标轴 原点 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关 系 ？ 【 提示 】 离心率越接近 1， 椭圆越扁 ， 离心率越接近 0， 椭圆就越接近于圆 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 对于椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) ， F 1 ， F 2 为其左、 右焦点当点 P ( x 0 ， y 0 ) 落在椭圆外、椭圆上、椭圆内 时， | PF 1 | | PF 2 |与 2 a 有怎样的大小关系？与方程有怎 样的关系？ 【提示】 当点 P 落在椭圆外时， | PF 1 | | PF 2 | 2 a ， x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1 ；当点 P 落在椭圆上时， | PF 1 | | PF 2 | 2 a ， x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1 ；当点 P 落在椭圆内时， | PF 1 | | PF 2 | 2 a ， x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 解析 】 依椭圆的定义知： |PF1| |PF2| 2 5 10. 【 答案 】 D 1 ( 人教 A 版教材习题改编 ) 设 P 是椭圆 x 2 25 y 2 16 1 上的 点，若 F 1 、 F 2 是椭圆的两个焦点，则 | PF 1 | | PF 2 |等于 ( ) A 4 B 5 C 8 D 10 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 答案 】 A 2 ( 2 0 1 3 潮州质检 ) 直线 x 2 y 2 0 经过椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率为 ( ) A. 2 5 5 B. 5 5 C. 2 3 D. 1 2 【解析】 直线与坐标轴的交点为 ( 2 ， 0) ， (0 ， 1) ， c 2 ， b 1 ， a 5 ， e 2 55 ，故选 A. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 3 已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心 率是 12 ，焦距是 8 ，则该椭圆的方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】 由题意知 c a 1 2 ， c 4 ， a 8 ， b 2 a 2 c 2 64 16 48 ， 椭圆方程为 y 2 64 x 2 48 1. 【答案】 y 2 64 x 2 48 1 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 答案 】 3 4 ( 2 0 1 2 四川高考 ) 椭圆 x 2 4 y 2 3 1 的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆相交于点 A ， B ，当 F A B 的周长最大时， F A B 的面积是 _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】 直线 x m 过右焦点 (1 ， 0) 时， F AB 的周 长最大，由椭圆定义知，其周长为 4 a 8 ，此时， | AB | 2 b 2 a 2 3 2 3 ， S F A B 1 2 2 3 3. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 1) 已知 F 1 、 F 2 是椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的两个焦 点， P 为椭圆 C 上的一点，且 PF 1 PF 2 . 若 PF 1 F 2 的面积为 9 ，则 b _ ( 2) 已知 F 1 ， F 2 是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左，右焦 点， A ， B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点， P 是椭圆上一 点， OP AB ， PF 1 x 轴， | F 1 A | 10 5 ，求椭圆的方 程 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【思路点拨】 ( 1) 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点，从 而有 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ，再利用 PF 1 PF 2 ，进而得解 ( 2) 注 意到条件 OP AB ， PF 1 x 轴，必须借助点 P 的坐标沟通 a ， b ， c 间的联系，只需求直线 OP 的方程 【尝试解 答】 ( 1) 由题意知 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ， PF 1 PF 2 ， | PF 1 | 2 | PF 2 | 2 | F 1 F 2 | 2 4 c 2 ， (| PF 1 | | PF 2 | ) 2 2| PF 1 | PF 2 | 4 c 2 ， 2| PF 1 | PF 2 | 4 a 2 4 c 2 4 b 2 . | PF 1 | PF 2 | 2 b 2 ， S PF 1 F 2 1 2 | PF 1 | PF 2 | 1 2 2 b 2 9 ， 因此 b 3. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【答案】 3 ( 2) 由题意， A ( a ， 0) ， B (0 ， b ) ， F 1 ( c ， 0) ， O (0 ， 0) O P AB ， k OP k AB b a ， 因此直线 OP 的方程为 y b a x ， 代入椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ，得 x 2 2 a ， 由 PF 1 x 轴，知 x 2 2 a ， 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 从而 2 2 a c ，即 a 2 c ， 又 | F 1 A | a c 10 5 联立 ， ，得 a 10 ， c 5 ， b 2 a 2 c 2 5 ， 所以该椭圆方程为 x 2 10 y 2 5 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 (1)求椭圆的标准方程的方法：定义法；待定系 数法；轨迹方程法 (2)确定椭圆标准方程需要一个 “ 定位 ” 条件，两个 “ 定量 ” 条件， “ 定位 ” 是指确定焦点在哪条坐标轴上， “ 定量 ” 是指确定 a、 b的值运用待定系数法时，常结合椭 圆性质，已知条件，列关于 a， b， c的方程 2涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正 (余 )弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意 |PF1| |PF2|与 |PF1|PF2|整体代换 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2 0 1 3 肇庆模拟 ) 已知椭圆的方程是 x 2 a 2 y 2 25 1( a 5) ，它的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 | F 1 F 2 | 8 ，弦 AB ( 椭 圆上任意两点的线 段 ) 过点 F 1 ，则 A B F 2 的周长为 _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】 a 5 ， 椭圆的焦点在 x 轴上， a 2 25 4 2 ， a 41 . 由椭圆的定义知 AB F 2 的周长为 4 a 4 41 . 【答案】 4 41 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P ( a ， b ) 满足 | PF 2 | | F 1 F 2 |. ( 1) 求椭圆的离心率 e ； ( 2) 设直线 PF 2 与椭圆相交于 A ， B 两点 ，若直线 PF 2 与 圆 ( x 1) 2 ( y 3 ) 2 16 相交于 M 、 N 两点，且 | MN | 5 8 | AB |，求椭圆的方程 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【思 路点拨】 ( 1) 由 | PF 2 | | F 1 F 2 |寻找 a ， b ， c 的等量 关系，进而计算 e c a ； ( 2) 求直线 PF 2 的方程，与椭圆、圆 联立求点 A 、 B 、 M 、 N 的坐标，利用 | MN | 5 8 | AB |，求出 a ， b 的值，即可写出椭圆方程 【尝试解答】 ( 1) 设 F 1 ( c ， 0) ， F 2 ( c ， 0) ( c 0) ， 因为 | PF 2 | | F 1 F 2 |，则 （ a c ） 2 b 2 2 c ， 整理得 2( c a ) 2 c a 1 0 ， c a 1( 舍 ) 或 c a 1 2 ， 所以椭圆的离心率 e 1 2 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2) 由 ( 1) 知 a 2 c ， b 3 c ，得椭圆方程为 3 x 2 4 y 2 12 c 2 ，直线 PF 2 的方程为 y 3 ( x c ) A 、 B 两点的坐标满足方程组 3 x 2 4 y 2 12 c 2 ， y 3 （ x c ）， 消去 y 并整理，得 5 x 2 8 cx 0. 解得 x 1 0 ， x 2 8 5 c . 得方程组的解 x 1 0 ， y 1 3 c ， x 2 8 5 c ， y 2 3 3 5 c . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 不妨设 A ( 8 5 c ， 3 3 5 c ) ， B (0 ， 3 c ) ， 所以 | AB | （ 8 5 c ） 2 （ 3 3 5 c 3 c ） 2 16 5 c . 于是 | MN | 5 8 | AB | 2 c . 圆心 ( 1 ， 3 ) 到直线 PF 2 的距离 d | 3 3 3 c | 2 3 |2 c | 2 . 因为 d 2 ( | MN | 2 ) 2 4 2 ， 所以 3 4 (2 c ) 2 c 2 16. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 整理得 7 c 2 12 c 52 0 ， 得 c 26 7 ( 舍 ) ，或 c 2. 所以椭圆方程为 x 2 16 y 2 12 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件 列方程组，解出 a ， c 的值；二是由已知条件得出关于 a ， c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程 求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 2 e 与 a ， b 间的关系 e 2 c 2 a 2 1 ( b a ) 2 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 如图 8 5 1 所示，设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) ， F 1 、 F 2 分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF 2 交椭圆于另一点 B . ( 1) 若 F 1 AB 90 ，求椭圆的离心率； ( 2) 若椭圆的焦距为 2 ，且 AF 2 2 F 2 B ，求椭圆的方程 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【解】 ( 1) | AF 1 | | AF 2 | a ， 且 F 1 AF 2 90 ， | F 1 F 2 | 2 c ， 2 a 2 4 c 2 a 2 c ， e c a 2 2 . ( 2) 由题知 A (0 ， b ) ， F 2 (1 ， 0) ，设 B ( x ， y ) ， 由 AF 2 2 F 2 B ，解得 x 3 2 ， y b 2 ， 代入 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ，得 9 4 a 2 b 2 4 b 2 1 ， 9 4 a 2 1 4 1 ，解得 a 2 3. b 2 a 2 c 2 2. 所以椭圆方程为 x 2 3 y 2 2 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 思路点拨 】 (1)根据椭圆的性质 ， 求 a， b得椭圆 C的 方程 ， (2)直线与椭圆方程联立 ， 求得弦长 |MN|， 进而表示 S AMN， 得 k的方程 ( 2012 北京高考 ) 已知椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的一 个顶点为 A (2 ， 0) ，离心率为 2 2 . 直线 y k ( x 1) 与椭圆 C 交 于不同的两点 M ， N . ( 1) 求椭圆 C 的方程 ( 2) 当 AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【尝试解答】 ( 1) 由题意得 a 2 ， c a 2 2 ， a 2 b 2 c 2 ， 解得 b 2 . 所以椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 2 1. ( 2) 由 y k （ x 1 ）， x 2 4 y 2 2 1 ， 得 (1 2 k 2 ) x 2 4 k 2 x 2 k 2 4 0. 设点 M ， N 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，则 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） y 1 k ( x 1 1) ， y 2 k ( x 2 1) ， x 1 x 2 4 k 2 1 2 k 2 ， x 1 x 2 2 k 2 4 1 2 k 2 . 所以 | MN | （ x 2 x 1 ） 2 （ y 2 y 1 ） 2 （ 1 k 2 ） （ x 1 x 2 ） 2 4 x 1 x 2 2 （ 1 k 2 ）（ 4 6 k 2 ） 1 2 k 2 . 又因为点 A (2 ， 0) 到直线 y k ( x 1) 的距离 d | k | 1 k 2 ， 所以 AMN 的面积为 S 1 2 | MN | d | k | 4 6 k 2 1 2 k 2 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 由 | k | 4 6 k 2 1 2 k 2 10 3 ，解得 k 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 本题求解首先由椭圆性质、题设条件，求椭圆的方 程；再利用方程思想，由参数 k 表示弦长 ( 面积 ) ，求待定参 数 2 直线与椭圆的位置关系： ( 1) 消去 y ，整理成形如 Ax 2 Bx C 0( A 0) 的形式再根据 的大小判断直线 与椭圆有几个公共点 ( 2) 若直线与椭圆交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点，则 | AB | （ 1 k 2 ）（ x 1 x 2 ） 2 1 k 2 （ x 1 x 2 ） 2 4 x 1 x 2 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 已知椭圆 G ： x 2 4 y 2 1. 过点 ( m ， 0) 作圆 x 2 y 2 1 的切 线 l 交椭圆 G 于 A ， B 两点 ( 1) 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； ( 2) 将 | AB |表示为 m 的函数，并求 | AB |的最大值 【解】 ( 1) 由已知， a 2 ， b 1 ， c a 2 b 2 3 . 所以椭圆 G 的焦点坐标为 ( 3 ， 0) ， ( 3 ， 0) 离心率为 e c a 3 2 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2) 由题意知， | m | 1. 当 m 1 时，切线 l 的方程为 x 1 ，点 A ， B 的坐标分别 为 (1 ， 3 2 ) ， (1 ， 3 2 ) ，此时 | AB | 3 . 当 m 1 时，同理可得 | AB | 3 . 当 | m | 1 时，设切线 l 的方程为 y k ( x m ) 由 y k （ x m ） x 2 4 y 2 1 ， 得 (1 4 k 2 ) x 2 8 k 2 mx 4 k 2 m 2 4 0. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 设 A ， B 两点的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 x 2 8 k 2 m 1 4 k 2 ， x 1 x 2 4 k 2 m 2 4 1 4 k 2 . 又由 l 与圆 x 2 y 2 1 相切， 得 | km | k 2 1 1 ，即 m 2 k 2 k 2 1. 所以 | AB | （ x 2 x 1 ） 2 （ y 2 y 1 ） 2 （ 1 k 2 ） （ x 1 x 2 ） 2 4 x 1 x 2 （ 1 k 2 ） 64 k 4 m 2 （ 1 4 k 2 ） 2 4 （ 4 k 2 m 2 4 ） 1 4 k 2 4 3 | m |m 2 3 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 由于当 m 1 时， | AB | 3 ， 所以 | AB | 4 3 | m | m 2 3 ( m 1 或 m 1) 4 3 | m | m 2 3 4 3 | m | 3 | m | 2 ，当且仅当 m 3 时取等号 所以 | AB |的最大值为 2. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1. 椭圆 x 2 m y 2 n 1 的焦点位置与 m 、 n 间的关系：椭圆焦 点在 x 轴上 m n 0 ；椭圆焦点在 y 轴上 n m 0. 2 椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的最大距离为 a c ， 最小距离为 a c . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 求椭圆标准方程的方法： (1)定义法 ， 根据椭圆定义 ， 确定 a2、 b2的值 ， 再结合焦点位置 ， 直接写出椭圆方程 (2)待定系数法 ， 设出椭圆的标准方程 ， 运用方程思想 求出 a2， b2. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1.在解答直线与椭圆相交的问题时 ， 常利用根与系数的 关系 ， 设而不求 ， 整体代入 2 求椭圆离心率 e时 ， 只要求出 a， b， c的一个齐次方 程 ， 再结合 b2 a2 c2就可求得 e(0 e 1) 3 待定系数法求椭圆方程 ， 应首先判定是否为标准方 程 ， 判断的依据是： (1)中心是否在原点； (2)对称轴是否为 坐标轴 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 从近两年的高考试题看 ， 椭圆的定义 、 标准方程和几何 性质是高考的热点内容 ， 特别是标准方程和离心率几乎年年 涉及 ， 三种题型均有可能呈现 ， 其中解答题以中高档题目为 主 ， 其命题特征是常与向量 、 不等式 、 最值等知识结合命 题 ， 并注重通性通法的求解 ， 在解答时 ， 一定要注意解题的 规范化 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 规范解答之十四 直线与椭圆交汇问题的求解策略 ( 13 分 ) ( 2012 湖南高考改编 ) 在直角坐标系 xO y 中，已 知中心在原点，离心率为 1 2 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C ： x 2 y 2 4 x 2 0 的圆心 ( 1) 求椭圆 E 的方程； ( 2) 设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 1 2 的直 线 l 1 ， l 2 ，当直线 l 1 ， l 2 都与圆 C 相切时，求点 P 的整点坐 标 ( 坐标为整数 ) 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【规范解答】 ( 1) 由 x 2 y 2 4 x 2 0 ， 得 ( x 2) 2 y 2 2 ， 圆 C 的圆心 C (2 ， 0) ，椭圆焦点在 x 轴上， 2 分 设椭圆 E 的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) ，其焦距为 2 c . 由题设知 c 2 ， e c a 1 2 ， a 2 c 4 ， b 2 a 2 c 2 12 ， 故椭圆 E 的方程为 x 2 16 y 2 12 1. 5 分 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2) 设点 P 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， ( x 0 ， y 0 Z ) l 1 ， l 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则 l 1 ， l 2 的方程分别为 l 1 ： y y 0 k 1 ( x x 0 ) ， l 2 ： y y 0 k 2 ( x x 0 ) ，且 k 1 k 2 1 2 . 7 分 由 l 1 与圆 C ： ( x 2) 2 y 2 2 相切得 |2 k 1 y 0 k 1 x 0 | k 2 1 1 2 ， (2 x 0 ) 2 2 k 2 1 2( 2 x 0 ) y 0 k 1 y 2 0 2 0. 同理可得 (2 x 0 ) 2 2 k 2 2 2( 2 x 0 ) y 0 k 2 y 2 0 2 0. 从而 k 1 ， k 2 是 方程 ( 2 x 0 ) 2 2 k 2 2( 2 x 0 ) y 0 k y 2 0 2 0 的两个实根， 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 于是 （ 2 x 0 ） 2 2 0 ， 8 （ 2 x 0 ） 2 y 2 0 2 0 ， 且 k 1 k 2 y 2 0 2 （ 2 x 0 ） 2 2 1 2 . 10 分 由 x 2 0 16 y 2 0 12 1 ， y 2 0 2 （ 2 x 0 ） 2 2 1 2 得， 5 x 2 0 8 x 0 36 0. 解之得 x 0 2 或 x 0 18 5 . ( 18 5 Z ，舍去 ) 由 x 0 2 ，得 y 0 3 均满足不等式组 . 故点 P 的坐标为 ( 2 ， 3) 或 ( 2 ， 3) . 13 分 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 解题程序 】 第一步：化圆为标准方程 ， 确定圆心与 半径； 第二步：利用待定系数法求椭圆 E的标准方程； 第三步：设点 P(x0， y0)， 表示直线 l1， l2的方程； 第四步：由 l1， l2与圆相切 ， 得 x0， y0满足的条件； 第五步：将点 P(x0， y0)代入椭圆方程 ， 联立求 x0， y0； 第六步：检验反思 ， 查看关键点 ， 易错点 ， 规范答案 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 易错提示： (1)忽视椭圆的焦点在 x轴的条件 ， 导致椭圆 方程增解 (2)在第 (2)问中 ， 运算不够耐心细致 ， 代数式变换不 当 ， 致使运算错误 (3)研究直线与圆 、 椭圆位置关系时 ， 忽视判别式应用 的要求 ， 并忽视检验 ， 导致解题不完整 、 不规范失分 防范措施： (1)注意题目条件的挖掘 (2)直线 l1， l2的斜率 k1， k2设而不求 ， 整体代换 (3)强化有关直线与圆 、 椭圆等联立得一元二次方程后 的运算能力 ， 重视根与系数之间的关系及其应用条件 ， 加强 通性 、 通法的应用 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 ( 2012 江西高考 ) 椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左、右顶 点分别是 A 、 B ，左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 . 若 | AF 1 |， | F 1 F 2 |， | F 1 B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 _ 【解析】 由题意知 | AF 1 | a c ， | F 1 F 2 | 2 c ， | F 1 B | a c ，且三者成等比数列， 则 | F 1 F 2 | 2 | AF 1 | | F 1 B |， 4 c 2 a 2 c 2 ， a 2 5 c 2 ， 所以 e 2 1 5 ，所以 e 5 5 . 【答案】 55 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 ( 2012 陕西高考 ) 已知椭圆 C 1 ： x 2 4 y 2 1 ，椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴，且与 C 1 有相同的 离心率 ( 1) 求椭圆 C 2 的方程； ( 2) 设 O 为坐标原点，点 A ， B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上， OB 2 OA ，求直线 AB 的方程 【解】 ( 1) 由已知可设椭圆 C 2 的方程为 y 2 a 2 x 2 4 1( a 2) ， 其离心率为 3 2 ，故 a 2 4 a 3 2 ，解得 a 4. 故椭圆 C 2 的方程为 y 2 16 x 2 4 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2) 法一 A ， B 两点的坐标分别记为 ( x A ， y A ) ， ( x B ， y B ) ， 由 OB 2 OA 及 ( 1) 知， O ， A ， B 三点共线且点 A ， B 不 在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y kx . 将 y kx 代入 x 2 4 y 2 1 中，得 (1 4 k 2 ) x 2 4 ， 所以 x 2 A 4 1 4 k 2 . 将 y kx 代入 y 2 16 x 2 4 1 中，得 (4 k 2 ) x 2 16 ， 所以 x 2 B 16 4 k 2 . 又由 OB 2 OA ，得 x 2 B 4 x 2 A ，即 16 4 k 2 16 1 4 k 2 ， 解得 k 1. 故直线 AB 的方程为 y x 或 y x . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 法 二 A ， B 两点的坐标分别记为 ( x A ， y A ) ， ( x B ， y B ) ， 由 OB 2 OA 及 ( 1) 知， O ， A ， B 三点共线且点 A ， B 不 在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y kx . 将 y kx 代入 x 2 4 y 2 1 中，得 (1 4 k 2 ) x 2 4 ， 所以 x 2 A 4 1 4 k 2 . 由 OB 2 OA ，得 x 2 B 16 1 4 k 2 ， y 2 B 16 k 2 1 4 k 2 . 将 x 2B ， y 2B 代入 y 2 16 x 2 4 1 中，得 4 k 2 1 4 k 2 1 ，即 4 k 2 1 4 k 2 ， 解得 k 1. 故直线 AB 的方程为 y x 或 y x . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 课后作业（五十五）