隐函数的偏导数

第六节第六节 隐函数的偏导数隐函数的偏导数一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形一、一个方程的情形定理定理 设函数;0),(00yxF00(,)0,F x yx y 在点则方程,)(00 xfy单值连续函数 y=f(x),yxFFxydd并有连续0),(00yxFy(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数 0 0,xy0)(,(x f xF0ddxyyFxF两边对 x 求导0yF0),(00yxFy,0),()(所确定的隐函数为方程设 y x Fx f y),(00yx在22ddxy的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,2yxx yyx xFFFFF 3222yxyyyxy xyx xFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxy yyy xFFFFFFF)(yxFFx二阶导数二阶导数:xyxyddy0 xyx y e e 则还有例1.验证方程验证方程,)(xfy 在点(0,0)某邻域内，唯一确定了一个有连续导数，且当d.0dyxx(,),x yF x yx yee解解:令,0)0,0(F,xxFye1)0,0(yF连续,由 定理1 可知,0,)(xfyyyFye导的隐函数 则00 xy 时 的 隐 函 数在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求0ddxxy0 xFFyx yxexye01xdydx2 232451 6 0 xx yxy练习 设方程yx是确定了dydx的函数，求000(,)x y z定理9.9 若函数),(zyxFzyzxFFyzFFxz,0),(zyxF的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程000(,)xyz在点,),(000yxfz 并有连续偏导数0),(000zyxF定一个具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxFz0),(,(yxfyxF 在点满足:某一邻域内可唯一确xF两边对 x 求偏导zxFFxzzyFFyz,0),(),(所确定的隐函数是方程设 y x Fy x f z同样可得zF则xz0 0),(0 0 0zFz y x的某邻域内在1x yy zz x例2 求由方程,zxy所确定的函数,.zzxy的偏导数,1F x y zx yy zz x,xyzFy z Fx z Fy x 解 令,.yxzzFFzyzzxzxFyxyFyz 从而,04222zzyx则例3.设设0422xzxzzx解法解法1 利用隐函数求导zxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求z z y x z y x F 4),(222 再对 x 求导解法2 利用公式利用公式设,2xFx则zxFFxz)2(22zxxxz两边对 x 求偏导2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242zFzzxFFxz xz,0),(zyzxF例4.设F(x,y)具有连续偏导数,.dz求是由方程设),(y x f z 解法解法1 利用偏导数公式.0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12)dd(2121yFxFFyFxz 确定的隐函数,)()(2221zyzxFF 则1F已知方程故对方程两边求微分:)dd(d2121yFx FF yF xzz )dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd210),(zyzxF解法2 微分法微分法.)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F00),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.),(),(yxvvyxuuvuvuGGFFvuGFJ),(),(由 F、G 的偏导数组成的行列式,0),(0000vuyxF称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即定理0000(,)xyuv的某一邻域内具有对各个设函数),(,),(vuyxGvuyxF0),(,0),(vuyxGvuyxF则方程组0000(,)xyuv在点),(,),(yxvvyxuu的单值连续函数单值连续函数0),(),(PvuGFPJ且有偏导数公式:在点的某一邻域内恒能唯一唯一确定一组满足条件满足:;0),(0000vuyxG,),(000yxuu变量的连续偏导数；),(000yxvv),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(y x v y x u y x Gy x v y x u y x F,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF,),(),(yxvvyxuu有隐函数组则两边对 x 求导得,0vuvuGGFFJ设方程组设方程组在点P 的某邻域内xuxvxuxvuFzxFFxzvF0 xGuGvG),(),(1vyGFJyuxG故得系数行列式同样可得),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv,1,0v xu yv yu x例5.设设.,yvxvyuxuxyyxJ解解:Jxu122yxv xu yyuvxvxxuy方程组两边对 x 求导，并移项得求xvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxu yv xyvyu,练习练习:求uxvyxux022yx22yxvyuxyv),(,),(v u yyv u xx答案答案:由题设故有例6.设函数设函数在点(u,v)的某一0),(),(vuyx),(),(vuyyvuxx1)证明函数组.),(,),(y x v v y x uu(x,y)的某一邻域内),(,),(yxvvyxuu2)求0),(),(vuxxvuyxF解解:1)令0),(),(vuyyvuyxG),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数uy0式两边对 x 求导,得xvxu 1xuxvuxvxvy),(),(vuGFJ则有,0),(),(vuyx,0J注意由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.vyvxJ011xuxv,1vyJuyJ 1011uyuxJ,1vxJyu从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得uxJyv1,),(z y x z y x f z vyvxJ011xuxv,1vyJuyJ 1011uyuxJ,1vxJyu从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得uxJyv1,),(z y x z y x f z 内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习思考与练习设.,yxzxxz求NoImage