工程力学算例

y = y (0) = - max工程力学综合复习资料、悬臂梁AB，长L抗弯刚度EI,受力P。求：(1)写出该梁的挠曲线近似微分方程； (2) 写出该梁的边界位移条件。解答提示：在图示坐标系中，由于在0 xL范围内五荷载突变，故梁全场的弯矩方程为：M(x)二Px，有因为是等截面梁，所以由书中9.6式子得到确定梁挠度的微分方程及其积 分为：EI dy = -M (x) = Px，EI 0 (x) = Px 2 + cZ dx 2Z 2EI y(x) = Px3 + cx + D，利用支承条件，可确定上述方程中的积分常数C、D。对 Z6于固定端处截面，其转角和y方向的位移均为零，即：y(L) =0,0(L) =0 ,分别将此边界条件代入微分及积分方程， 可以得到：C = -PL2,D = -PL3，于是该梁的转角方程以及挠度方程分别为：0 (x) =(Px 2 - PL-)2 EIZ y(x) =(-Px3 - PL2x- PL3),挠曲线形状如图所示，y 及0 均发生在自EI 623Z由锻处，即 x=0 代入转角方程以及挠度方程)M=4qa2PL3EI(0 =0(0) =maxPL2 EIZ、求梁的约束反力。Z解答提示：以外伸梁ABC为研究对象，其中A为固定铰链支座，故只人的方向未定，将其分解 为XA、YA； B为可动铰链支座，RB的方向垂直于支撑面，列出平衡方程：A ABmA（ F） = 0一 R a + 4qa 2 = 0B/、（a + a）q（a + a）-Y + R 2qa = 0AB最后二 4qa（向下）,R 二 6qa（向上）B三、已知：梁AB与BC,在B处用铰链连接，A端为固定端，C端为可动铰链支座。试画: 梁的分离体受力图。参考答案|四、铸铁梁右端外伸，如图（a）所示，横截面形状及尺寸如图（b）所示,已知：I =188xl06mm4。z求：（1） 画出梁的危险截面的正应力分布图。（2）求该梁的最大拉应力及最大压应力。maxmaxP=50kN图(a)yi=180mm形心y图(b)z| y2=80mm解答提示：确定支座反力，得到剪力图和弯矩图并判断危险截面:工M (F) = 02N + 3P = 0n N =1.5P =75KN-mA B B工F (Y) = 0，有N二25KN ,由梁的受力特点知其最大弯矩在B点处,AMmax二50Z，而由弯矩方向和中性轴的位置画出危险横截面的正应力分布图如图所示，且最大拉应力发生在B端截面的下边缘，其值为:a +=叭ax y max+ = 50 % 80 %= 21.28MP。；max II188 % 106最大压应力发生在 B 端截面的上边缘，其值为:M ya = max maxmax I=Mb = 50 %180 %106 = 47.87 MPa；五、已知：结构如图所示，A处受P力作用。AB杆为圆截面，直径d = 40 mm,弹性模量E= 200GPa，压杆临界应力的欧拉公式为qr=n2E加,临界应力的经验公式为g =a-b九，常数a =304MPa，b=1.12 MPa 。适用欧拉公式的crI柔度下限值P= 90,稳定安全系数n = 2。 求：试根据AB杆的稳定性条件，确定结构的许可载荷P。提示：先求AB杆轴力N2与P的静力关系；再求AB杆的实际柔度 、临界 压力和许可压力；最后求P。AP解答提示：以 A 点为研究对象进行受力分析，假设 1、2 杆的轴力分别为 N1、N 2 （均假设为拉力） 列力的平衡方程为：工F（X） = 0,N + N cos30o 二 021工F（Y） = 0,P-N sin30o = 0联立求得：N = 2P, N = -、：3P （负号表示为压力）1 2 I nd 4 - 4d、r由于九=,i =，又因为两端为球较约束，R = 1。I A 64-nd244l所以有： = = 100九=90 ，由此可知应该使用临界应力的欧拉公式g =n2E/九2 dpcr进行计算：n 2 E nd 2P = - A =-= 248KN，题中给出稳定安全系数n = 2，所以由书中公式crcr九 24P得到：P Wy = 124KN， N = ：3P P n P 71.59KNn2六、已知：圆截面杆AB承受轴向压力P,两端球铰约束，长L = 1.2 m,直径d = 4 cm,弹 性系数E=200GPa，比例极限九p=100MPa ,压杆临界应力的欧拉公式 为g =n2E/入2，临界应力的经验公式为g =a-b儿 常数a=304 MPa , b=1.12 crcrMPa。 试求临界力 Pcr=?cr（提示：先求压杆实际柔度儿细长杆与中长杆的分界柔度入p,再决定选用哪个临界力公式）解答提示：以圆截面杆为研究对象进行受力分析：P + N = 0 求得：N = P由于九=巴,i =i：I:兀d 4 - 4dA =：6 = 4 又因为两端球铰约束卩=1。所以有：九=120 九=dp，兀 2E，兀 2 200 X 103II o1 p200= 99,35，由此可知应该使用临界应力的欧拉公式g =n2E/九2进行计算:cr兀2 E兀d 2rP =c - A =-= 172.3KNcr cr九 24七、画出下图所示梁的剪力图和弯矩图。答：3qa 2qJCBA八、下图所示圆截面折杆ABC,直径为d=20mm,长度L=298 mm ,P=0.2 kN, 已知材料许用应力L L170MPa。试用第三强度理论校核AB段的强度。xBf解（1）首先将P力向B点平移，其中作用在轴上的扭转外力矩为Me=MB,判断AB段为弯扭组合变形，而：m = m = a x P = PaKN meB（2）简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到A处的支座反力为： R二PKN A其中的受力分析可知A截面处的弯矩最大，其上扭矩为PaKN.m,故该截面为危险截面.M = R - L = 2PaKN mmax B3）按照第三强度理论校核该轴强度：M JMC =r3 - r 3 WZ2 + M 2 maxA-兀(d)3/32=(2 吩 +(吩=5(02*0-298)2 = 169.7 MPa Q兀（d）3/32兀(0.02)3/32故满足强度要求。九、下图所示结构中，AB为钢杆，横截面面积为A1=500 mm2,许用应力为和=5 0 0 MPa。BC杆为铜杆，横截面面积为A2=7 0 0 mm2，许用应力=1 0 0MPa。已知集中载荷P为铅垂方向。试根据两杆的强度条件确定许可载荷P。答：1、Np N2P的静力平衡关系N1= 0.8 6 6 PN = 0.5 P22、由1杆强度条件求PP=A1 &/ 0.866=288.7 kN3、由2杆强度条件求P ”P=Ao /0.5= 140 kN12 24、结论：P=140 kN十、已知：圆截面压杆，上端为可动铰链约束，下端为固定端约束o P=100 KN , E=200 GPa ,d=4 cm ，L=1.5 m，九=100入=60 .欧拉公式为g =n2E/九2，验公式为PScrg =a-b九，a=304MPa，b=1.12MPa。稳定安全系数 n=3。cr求：校核压杆的稳定性。7777777解答提示：以压杆为研究对象进行受力分析：工F（Y） = 0, P + N = 0求得：N = P = 100KN （负号表示为压力） 山.11I Kd 4 - 4d、由于九=,i =，又因为一端为可动铰链约束，一端为固端i A 64-Kd 24约束卩=0.7。4 x 0 71所以有：九=105九=100，由此可知应该使用临界应力的欧拉公式dpg =n2E/九2进行计算：crK 2 E Kd 2P = - A = 寸一 = 224.6KN，题中给出稳定安全系数n = 3,所以由书中公式 crcr九 24P得到：P -e = 74.87KN， N = 100 A P = 74.87，所以此压杆不满足稳定性要求。 n十一、已知：简支梁承受集中载荷如图（a）所示，横截面形状及尺寸如图（b）所示，Iz=188x106mm4o求：（1） 画出梁危险截面的正应力分布图，解答提示：确定支座反力，得到剪力图和弯矩图并判断危险截面：工 M (F) = 02N +100 = 0 n N = 50KNA B B工F(Y) = 0 ,有N = 50KN ,由梁的受力特点知其最大弯矩在C点处,AM= 50KN.m，而由弯矩方向和中性轴的位置画出危险横截面的正应力分布图如图所max示，且最大拉应力发生在C端截面的下边缘，其值为:C += Mmax ymax+ =X= 47.87MPa ；188 x 106max I I最大压应力发生在C端截面的上边缘，其值为:C MyC _ = max maxmax I=Mc=50 X 80 X106 = 21.28MPa；188x106Z=170MPa。十二、下图所示直径为d=20mm的圆截面折杆ABC,已知材料许用应力t 试用第三强度理论确定折杆AB段长度L的许可值。L = 2a解(1)首先将P力向B点平移，其中作用在轴上的扭转外力矩为Me=MB,判断AB段为 弯扭组合变形，而： m = m = a x P = PaKN meB(2)简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到A处的支座反力为：尺人=PKNA其中的受力分析可知A截面处的弯矩最大，其上扭矩为PaKN.m，故该截面为危险截面:M = R - L = 2PaKN mmax B3）按照第三强度理论校核该轴强度：M 、；MO 二 r3 - r3 WZ2 + M 2 maxA-兀(d)3/32,：(2Pa)2 + (Pa)2 Y QU a Y= I70叮0.02)3 = 149mm n L = 298mm325P325 x 0.2兀（d）3/32十三、已知：桥梁桁架如图所示，节点载荷为P=1200 kN、Q =400 kN。尺寸a =4 m , b =3m。试求：、杆的轴力。（提示：先求支座反力，再用截面法求三根杆的轴力）解答：以整体为研究对象，画受力图，如下图所示。其中A为固定铰链支座，故RA的方向 未定，将其分解为XA、YA； B为可动铰链支座，RB的方向垂直于支撑面，Q、P为主动 力，列出平衡方程：工 m （F） = 0P - 2a + Q - b - R - 3a = 0AB工 X = 0X + Q = 0A工 Y = 0Y + R - P = 0AB解得：XA=-Q=-400kN （负号说明 XA 方向向左） Ya=（Pa-Qb）/3a = 300kN（向上）AAAR =（2Pa+Qb）/3a=900kN（向上）Bn2、n3，假设方向均为拉力，列平衡方程为，首先以左半部分为研究对象，对E点取矩有:Y - a + X - b - N - b = 0 n N =AA1XA b+YA a=800KN (拉力)A对D取矩有:Y - 2a + N - b 二 0 n NA33YAv2a = -800KN (负号代表压力) b对 A 取矩有：-b 一 N - AD sin a 32=0; sin a = . b n N = 500KN (拉力)b 2 + a 22十四、已知：传动轴如图所示，C轮外力矩M c=1.2 kN m，E轮上的紧边皮带拉力为儿， 松边拉力为T2，已知T1=2 T2 ，E轮直径D=4 0 cm，轴的直径d=8cm，许用应力4=120 Mpa 。解题提示：求：试用第三强度理论校核该轴的强度。首先将皮带拉力向截面形心简化，其中作用在轴上的扭转外力矩为M c=1.2 kN m，判断CB 轴为弯扭组合变形，而：T +T =18KN12m = D (T - T ) n T = 6KN，T = 2T = 12KN ,2 1 2 2 1 2简化后传动轴的受力简图如图所示， 由此得到 A、 B 处的支座反力分别为：R = R = 9KN。由其中的受力分析可知E截面处的弯矩最大，其上扭矩为1.2KN.m,故 AB该截面为危险截面，M二R - 0.5二0.5 x 9二4.5KN，按照第三强度理论校核该轴强度:max A、:M 2 + M 2452 + 1.22二 讐 C = 92.65MPa Q =120MPa，所以满足要求r3W兀（0.08）3/32Z0.5m. . 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