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2021/8/612021/8/62问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址.ABC2021/8/63ABMNC P2021/8/64MNCABQ 2021/8/65ABMNP.Q.C2021/8/66线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等.定理定理(线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理)2021/8/67线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离距离相等相等.定理定理2021/8/68线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等.定理定理2021/8/69线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理2021/8/610线段垂直平分线上线段垂直平分线上的的点点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理2021/8/611和一条线段两个端和一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点,在在这条线段的垂直平这条线段的垂直平分线上分线上.逆定理逆定理2021/8/612ABC MN 2021/8/613C ABMN2021/8/614在线段在线段AB垂直平分线垂直平分线m上的点与上的点与A、B距离距离都相等；反过来，与都相等；反过来，与A、B两点的距离相等两点的距离相等的点都在的点都在m上上,所以所以直线直线m可以看成与可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合两点的距离相等的所有点的集合C DPA=PB,DA=DBPDAB,AC=CBmABP2021/8/615例例 已知已知:如图如图 ABC中中,边边AB、BC的的垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点P.求证求证:PA=PB=PC.PA=PB(线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等和这条线段两个端点距离相等)证明证明:点点A在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上(已知已知)同理同理 PB=PC PA=PB=PC.ACBMPNM/N/2021/8/616问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址.ABCP 点点P为校址为校址2021/8/617作图题作图题:如图如图,在直线在直线 l 上求一点上求一点P,使使PA=PB l BAP点点P为所求作的点为所求作的点2021/8/618填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.ABCED1题图题图等腰等腰2021/8/619填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.2.已知已知:等腰等腰 ABC,AB=AC,AD为为BC边上的高边上的高,E为为AD上一点上一点,则则BE EC.(填填、或或=号号)ABCEDABCED1题图题图2题图题图等腰等腰=2021/8/6203.已知已知:如图如图,AB=AC,A=30o,AB的垂的垂直平分线直平分线MN交交AC于于D,则则 1=,2=.ABCDMN30o1275o30o60o45o2021/8/621填空：填空：4.已知已知:如图如图,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为的周长为13cm,则则 ABC 的周长的周长为为 cmABDCE3cm3cm1913cm2021/8/6225.如图如图,CD、EF分别是分别是AB、BC的垂直的垂直平分线平分线.请你指出图中相等的线段有哪些请你指出图中相等的线段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即即:BF=CF=DFACEBFD2021/8/623证明题证明题:2.已知已知:如图如图,线段线段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD.求证求证:ADBC.ABCDO123证明证明:线段线段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知)1=3(等边对等角等边对等角)又又 AB平分平分 CAD(已知已知)1=2(角平分线的定义角平分线的定义)2=3(等量代换等量代换)AD BC(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行)在在RtACO和和RtBCO中中CA=CB(线段垂直平分线的线段垂直平分线的性性质定理质定理 性质定理性质定理)OC=OCRtACO RtBCOCA=CB2021/8/624v线段垂直平分线上的点和这条线段线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的点和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.k线段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合段两个端点距离相等的所有点的集合.2021/8/625证明题证明题:4.已知已知:如图如图,AD平分平分 BAC,EF垂直平分垂直平分AD交交BC的延长线于的延长线于F,连结连结AF.求证求证:CAF=B.ABCDEF12342021/8/626ABCDEF1234 1+2=4(全等全等)又又 4=B+3(三角形的一个外角三角形的一个外角等于与它等于与它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和)1+2=B+3 AD平分平分 BAC(已知已知)2=3(角平分线的定义角平分线的定义)1=B 即即 CAF=B.证明证明:EF垂直平分垂直平分AD(已知已知)EF=EF可得：可得：全等全等AF=DF在在Rt AF=DF(线段垂直线段垂直)，AEF=DEF=902021/8/627如图如图,已知已知:AOB,点点M、N.求作求作:一点一点P,使点使点P到到 AOB两边的两边的距离相等距离相等,并且满足并且满足PM=PN.MNAOB.P点点P为所求为所求作的点作的点
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