第十四章 计数原理(含答案)

第十四章 计 数 原 理一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1. 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有_种.2. 电视台在某个节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封. 现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从甲箱中确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，则有_种不同的结果.3. 方程的解是_.4. (2009浙江卷理)在二项式的展开式中，含x4的项的系数是_.(用数字作答)5. 用09这十个数字组成没有重复数字的正整数，则末位数字是4的三位数有_个.6. (2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为_种.7. (2009四川卷文)的展开式的常数项是_.(用数字作答)8.的值为_.9. (2009湖南卷文)某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会.若会上共有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况有_种.10. 已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_.11. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_种.12. (2009深圳一模)已知n为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是_.(用数字作答)13. 5名志愿者被分配到3所学校去支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有_种.14.的展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为_.(用数字作答)二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)(2009北京卷文)若(a，b为有理数)，求ab的值.16. (本小题满分14分)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.(1) 可组成多少个不同的四位数?(2) 可组成多少个不同的四位偶数?(3) 可组成多少个比1234大的四位数?(4) 将(1)中的四位数按从小到大排成一个数列，则这个数列的第85项是什么？17. (本小题满分14分)在的展开式中，若第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且已知第四项是35000，试求n和x的值.18. (本小题满分16分)有5名男生和3名女生，从中任意选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1) 有女生但人数必须少于男生；(2) 某女生一定要担任语文科代表；(3) 某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.19. (本小题满分16分)设nN*，且n2.若an是(1x)n的展开式中含x2项的系数，求.20. (本小题满分16分)在二项式的展开式中，(1) 若第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；(2) 若前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项数.第十四章计 数 原 理1. 96【解析】不同的选修方案共有96（种）.2. 17400【解析】30292017400（种）.3. 5【解析】3x（x1）（x2）2x（x1）6x（x1），整理得3x217x100，解得x5，或x=（舍去）.4. 10【解析】对于Tr1（x2）5-r（1）rx10-3r.令103r4，得 r2，则x4的项的系数是（1）210.5. 64【解析】末位为4，百位不能为0，因此共有64（个）.6. 30【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班有（种），而甲、乙被分在同一个班的有（种），所以甲、乙不分到一个班共有30（种）.7. 20【解析】Tr+1（1）r（2x）6-r(1)r26-2rx6-2r.令62r0，得r3，故展开式的常数项为(1)320.8. 62【解析】原式26262.9. 16【解析】由间接法得20416.10. 256【解析】 分别令x1和x1，可得a0a2a4（a1a3a5）16，所以（a0a2a4）（a1a3a5）-256.11. 186【解析】运用间接法，即从全部方案中减去只选派男生的方案数，所以不同的选派方案共有186（种）.12. 【解析】由题意知n6，由Tr1（x2）6-r(1)rx12-3r，可得第四项的系数为.13. 150【解析】人数分配上有1，2，2与1，1，3两种方式.若是1，1，3，则有60（种）；若是1，2，2，则有90（种），所以共有150种.14. 72【解析】Tr1（）8-r，当r0，4，8时，Tr+1为含x的整数次幂的项，所以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为72.15. 由已知得1712ab， ab171229.16. （1） 解法一：四位数的首位不能为零，故有300（个）不同的四位数.解法二：用间接法解答，首位为零时，有种排法，所以可以组成300（个）不同的四位数.（2） 四位偶数的末位必须是偶数字.有三种情况：末位是0，末位是2，末位是4，共可组成156（个）四位偶数.（3） 采用逐位分析法：当首位是2，3，4，5中的任意一个时的四位数都符合条件，有240（个）；当首位为1，百位为3，4，5中的任意一个的四位数都符合条件，有36（个）；当首位为1，百位为2，十位为4，5中的任意一个的四位数也都符合条件，有6（个）；当首位为1，百位为2，十位为3时，末位只能为5，符合条件的四位数有1个. 故共有2403661283（个）.（4） 千位是1的四位数有=60（个），千位是2，百位是0或1的四位数有2=24（个）.故这个数列的第85项是2301.17. 由题意得，即n（n1）. nN*，且n3， n7.又T435000，即1000.两边取常用对数，得lgx3，解得lgx2或lgx. x或x.18. 特殊元素或特殊位置首先考虑，所以（1） 先取后排，有女生，但人数少于男生的选法有2种：1个女生或2个女生.即有种，后排有种，所以共有5400（种）.（2） 除去该女生后先取后排：840（种）.（3） 先从除去该男生该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共有360（种）.19. （1x）n展开式中含x2项的系数为，所以2.20. （1） 由题意得， n7或n14.当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4，T5，且T4=（2x）3=x2，T5（2x）470x4；当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，且T8（2x）73432x7.（2） 79，且n0， n12.设Tk1项系数最大，由于（14x）12， 9.4k10.4， k10， 展开式中系数最大的项是第11项.43