数列创新题的基本类型及求解策略(含答案)

数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线这类问题着重考查观察发现，类比转 化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力当然数列创新题是高考创新题重点考查 的一种类型.下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略.一、创新定义型例1 .已知数列an满足an logn 1 (n 2) (n N ),定义使a a?比L ak为整数的数叫 做企盼数，则区间1, 2005内所有的企盼数的和M .解： an logn i(n 2) ( n N ),a1a2a3 .aklog23 log3 4 L 砸宀很 2)log2(k 2).要使 log2(k 2)为正整数，可设 k(n) 2 2n 1，即 k(n) 2n 12 (n N ).令 1 w 2n 12 w 20051 n 7则 a2005an 3 an 解：由 anan 3 , n 7 知，an 6从而当n 6时，有aan 6，于是知a2005理4 61a,1 评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目 的其中性质探求是关键.三、知识关联型2 2例3 .设是椭圆x y 1的右焦点，且椭圆上至少有 21个不同的点P(i 1, 2, 3, L ),76使PFi|, |PF2|, |PFa , L组成公差为的等差数列，则的取值范围为 .|PF I解析：由椭圆第二定义知e PF ePR ,这些线段长度的最小值为右焦点到右PP顶点的距离即|FP|打1，最大值为右焦点到左顶点的距离即|PFn 21 , a 0 d w .同理，若公差 d 0 ,d101则可求得w d 0 .10评析：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围.四、类比联想型例4 若数列an(nN)是等差数列，则有数列bnaia2a3L an (n N)也是等差n数列；类比上述性质，相应地：若数列Cn是等比数列，且Cn 0,则有数列dn 也是等比数列.解析：由已知“等差数列前 n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到dn n COC3L Cn也是等比数列.评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口.五、规律发现型例5.将自然数1, 2, 3, 4, L排成数陈(如右图)，在处转第一个弯，在转第二个弯，在转第三个弯，.，则第2005个转弯处的数为 .21 22 2324 25 - 26| |207 89 10 2711911611 -21111111815 4 -1-31121117 16 -15141 13解：观察由起每一个转弯时递增的数字可发现为“1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, L ” 故在第2005 个转弯处的数为：1 2(1 2 3 L 1002) 1003 1006010 .评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现具体解题时需要较强的观察能力及 快速探求规律的能力因此，它在高考中具有较强的选拔功能.六、图表信息型例6 下表给出一个“等差数阵”：( )( )( )a1j( )( )( )a2j( )( )( )( )( )a3j( )( )( )( )( )a4jaM耳2ai3a4ai5aj其中每行、每列都是等差数列，aj表示位于第行第j列的数.写出a45的值；写出aj的计算公式；证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是2N 1可以分解成两个不是的正整数之积.解：a45 49 (详见第二问一般性结论).该等差数阵的第一行是首项为，公差为的等差数列：a1j 4 3(j 1);第二行是首项为，公差为的等差数列：a2j 7 5( j 1),第行是首项为4 3(i1)，公差为2i 1的等差数列，因此 aj 4 3(i1) (2i1)(j1) 2ij i j i(2j 1) j ;必要性：若在该等差数阵中，则存在正整数 i, j使得N i(2j 1) j ,从而 2N 12i(2 j 1) 2j 1(2i1)(2 j 1).即正整数2N 1可以分解成两个不是的正整数之积.充分性：若2N 1可以分解成两个不是的正整数之积，由于2N 1是奇数，则它必为两个不是的奇数之积，即存在正整数k, l，使得2N 1 (2k 1)(21 1)，从而N k(2l 1) l akl可见在该等差数阵中.综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是2N 1可以分解成两个不是的正整数之积.评析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式.七、“杨辉三角”型例7 如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有个数，且该行的第一个数和最后-个数都是，中间任意一个数都等于第n 1行与之相邻的两个数的和，an,1, an,2,an,n(n 1, 2, 3, L )分别表示第行的第一个数，第二个数,第个数.求外,2(n 2且n N)的通项式.5111411 5解:由图易知a2,22, 93,24a3,2a2,22.(1)a4,2a3,23.(2)a5,2a4,24.(3)an,2a(n 1),2n 1.(n 1)以上n 1个式:相加即可得到：an,2a2,2 23 4. (n441)77,a4,27, a5,211, L从而知an,2是一阶等差数列，即(n 1)(n 2)an,2(n 1)(n 2)2即 an 2 n_- (n 2 且 n N)2评析：“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结合求和方法来求解. 兴趣的同学不妨求出 aj(i, j N且i j)的通项式.八、阅读理解型例8 .电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表:十进制二进制100101110观察二进制位数，位数，位数时，对应的十进制的数，当二进制为位数能表示十进制中最大的数是.解：通过阅读，不难发现：1 120,2 0201 21, 3 1 20 1 21 ,4020 21 1 22 ,5 1200 21122，进而知 7 1 20121122，写成二进制为111 .于是知二进制为位数能表示十进制中最大的数是111111化成十进制为601234521121212121212 63 .2 1评析：通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解.总之，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最 后利用等差、等比数列有关知识来求解.