资源描述
第 二 章 函 数 理解教材新知 5 简 单 的 幂 函 数 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 我们学习过几种基本初等函数如正比例函数 y x，反 比例函数 y x 1，二次函数 y x2.看下面两个例子： (1)如果正方体的棱长为 x，正方体的体积为 y； (2)如果正方形场地面积为 x，其边长为 y. 问题 1：在第一个例子中， y关于 x的函数关系式怎样？ 提示： y x3. 问题 2 ：在第二个例子中， y 关于 x 的函数关系式怎样？ 提示： y x ，即 y x . 问题 3 ：这两个问题中的函数关系式与 y x 、 y x 1 、 y x 2 有什么共同特点 提示： 都具备幂的形式，其中幂底数是自变量 x ，幂指 数是常数 12 如果一个函数，底数是 ，指数是 ， 即 y ，这样的函数称为幂函数 . 自变量 x 常量 x 给定我们熟悉的四个函数 f ( x ) x 2 ， f ( x ) | x |， f ( x ) x ， f ( x ) 1 x . 问题 1 ：函数 f ( x ) x 2 与 f ( x ) | x |的图像各关于什么对称？ 以 x 代替 x 函数值发生变化吗？ 提示： 都关于 y 轴对称；以 x 代替 x 各自的函数值不发 生变化，即 f ( x ) f ( x ) 问题 2 ：函数 f ( x ) x 与 f ( x ) 1 x 的图像各关于什么对称？ 以 x 代替 x 函数值发生变化吗？ 提示： 都关于原点对称；以 x 代替 x 各自的函数值互为 相反数 , 即 f ( x ) f ( x ) (1)一般地，图像关于 对称的函数叫作奇函数， 图像关于 对称的函数叫作偶函数 (2)一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 一个 x， 都有 ，那么函数 f(x)一定是偶函数 (3)一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 一个 x， 都有 ，那么函数 f(x)一定是奇函数 原点 y轴 任意 f( x) f(x) 任意 f( x) f(x) 1幂函数的定义是一种形式上的定义，只有符合 y x这种形式的函数才是幂函数 2奇偶性是函数在定义域上的对称性，是相对整 个定义域来说的，是函数的整体性质，只有对定义域中 的每一个 x，都有 f( x) f(x)(或 f( x) f(x)，才能说 f(x)是奇 (偶 )函数 例 1 下列函数中是幂函数的是 ( ) y 1 x 3 ； y ax m ( a ， m 为非零常数，且 a 1) ； y x x 4 ； y x n ； y ( x 6) 3 ； y 8 x 2 ； y x 2 x ； y 1. A B C D 思路点拨 解答本题可先考虑幂函数的定义，紧紧抓 住其形式特点再一一判断 1 5 精解详析 由幂函数的定义：形如 y x ( R) 的 函数才是幂函数，则 y 1 x 3 x 3 ， y x n 是幂函数 答案 B 一点通 幂函数 y x( R)，其中 为常数，其本 质特征是以幂底 x为自变量，指数 为常数 (也可以为 0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一 1 在函数 y 1 x ， y 2 x 3 ， y x 2 1 ， y ( x 1) 3 中， 幂函数的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析： 形如 y x 的函数才是幂函数，其 x 前的系 数为 1 ， 为实常数，故只有 y 1 x x 是幂函数 答案： A 12 2 已知 y ( m 2 2 m 2 ) x (2 n 3) 是幂函数， 求 m 、 n 的值 解： 由题意得： m 2 2 m 2 1 ， m 2 10 ， 2 n 3 0 ， 解得 m 3 ， n 3 2 . 所以 m 3 ， n 3 2 为所求 . 1 m2 1 例 2 点 ( 2 ， 2) 与点 2 ， 1 2 分别在幂函数 f ( x ) 、 g ( x ) 的图像上，问当 x 为何值时，有 f ( x ) g ( x ) ； f ( x ) g ( x ) ； f ( x )g(x)； 当 x 1时， f(x) g(x)； 当 x (0,1)时， f(x)0，解得 x2或 x0 和 x 0 的情况下考察 f ( x ) 与 f ( x ) 的关系 精解详析 ( 1) 函数的定义域为 ( ， 0) (0 ， ) ，关 于原点对称， 又 f ( x ) 1 3 x 5 1 3 x 5 1 3 x 5 f ( x ) ， 函数 f ( x ) 1 3 x 5 是奇函数； ( 2) 函数的定义域为 ( ， ) ，关于原点对称 又 f ( x ) 3 x 2 3 x 2 f ( x ) ， f ( x ) 3 x 2 是偶函数； ( 3) 易知定义域为 2,2 ，关于原点对称 f ( x ) 0 ，所 以满足 f ( x ) f ( x ) 且 f ( x ) f ( x ) 所以 f ( x ) 既是奇函数 又是偶函数； (4)当 x 0时， x 0， f( x) ( x)2 2( x) 3 x2 2x 3 f(x)； 当 x 0时， x 0， f( x) ( x)2 2( x) 3 x2 2x 3 ( x2 2x 3) f(x)， 综上可知， f(x)为奇函数 一点通 利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称 (2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶 若定义域关于原点对称，看 f( x)与 f(x)及 f(x)的关系 (3)若 f( x) f(x)，则函数是奇函数； 若 f( x) f(x)，则函数是偶函数； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则函数既是奇函数又是 偶函数 5若函数 y (x 1)(x a)为偶函数，则 a ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 解析： f(x) (x 1)(x a)是偶函数， f( x) ( x 1)( x a) f(x)恒成立 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a恒成立 a 1 0，即 a 1. 答案： C 6 判断下列函数的奇偶性： (1) f ( x ) 3 x x 2 3 ； (2) f ( x ) | x 1| | x 1| ； (3) f ( x ) 2 x 2 2 x x 1 . 解： ( 1) f ( x ) 的定义域是 R ， 又 f ( x ) 3 x x 2 3 3 x x 2 3 f ( x ) ， f ( x ) 是奇函数； (2) f ( x ) 的定义域是 R ， 又 f ( x ) | x 1| | x 1| | x 1| | x 1| f ( x ) ， f ( x ) 是偶函数； (3) 函数 f ( x ) 的定义域是 ( ， 1) ( 1 ， ) ， 不关于原点对称， f ( x ) 是非奇非偶函数 7已知函数 f(x) ax2 bx 3a b为偶函数，其定义 域为 a 1,2a，求 f(x)的值域 解： f ( x ) ax 2 bx 3 a b 为 a 1,2 a 上的偶函数， a 1 2 a 0 ， b 0. a 1 3 ， b 0. 即 f ( x ) 1 3 x 2 1. 所以 f ( x ) 1 3 x 2 1 在 2 3 ， 2 3 上的值域为 1 ， 31 27 . 1 判断一个函数是否是幂函数应严格按其定义判断 2 幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握 1,2,3 ， 1 2 ， 1 这几种情况即可，其它的不做研究 3判断函数的奇偶性的方法： (1)定义法； (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是 奇函数；若函数的图像关于 y轴对称，函数是偶函数 点击下列图片进 入应用创新演练
展开阅读全文