薄板小挠度弯曲问题.ppt

第七章 弹性薄板弯曲问题 要点： 利用小挠度理论建立薄板弯曲问题的基 本方程，边界条件及其基本解。 主要内容： 1. 薄板的基本概念和基本假设 2. 小挠度弯曲问题基本方程 3. 薄板横截面内力 4. 薄板边界条件 7.1 薄板基本概念和基本假设 工程构件中板的形式多样 根据几何形状和变形分类 板 中面 为平面 壳 曲面 小挠度 的 弯曲 薄板 薄板 宽度与厚度比值在 15以上 板壳理论 小挠度薄板 几何特征 载荷形式 变形特点 基尔霍夫假设 uz=0=0， vz=0=0， w=w(x, y) 7.1 基本概念 1/80d/b0.5 垂直于薄板 中面 的横向载荷 挠度 小于 厚度 的五分之一 挠度函数 w(x, y) 7.1 基本概念 薄板问题基本假设： (1) 形变分量 都可 以不计。 zxyzz , x w z u y w z v ww ; )y,x( 由该假设可得： (2) 应力分量 引起的形变可以不计。 由此可得物理方程： xyxy xyyyxx E )1(2 );( E 1 );( E 1 (3) 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。 z 0)(;0)( 00 zz vu (9-1) (9-2) (9-3) 7.2 薄板小挠度弯曲问题的基本方程 z yx w x v y u z y w y v z x w x u xy y x 2 2 2 2 2 2 zywvzxwu , 对方程 (9-1)进行积分，并利用方程 (9-3)可得： 于是可以将形变分量用 w表示如下： (a) 薄板应力 yx wEz x w y wEz y w x wEz xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 )( 1 )( 1 7.2 基本方程 将应力分量表示成 w的方程为： xyxy xy2y yx2x )2( 1 E );( 1 E );( 1 E (b) 将式 (a)代入 (b)，得应力表达式： (9-4) 薄板弯曲内力 yx w DM x w y w DM xy y 2 2 2 2 2 )1( )( )( 2 2 2 2 y w x wDM x )1(12 2 3 d ED yx w y w x w xy y x 2 2 2 2 2 广 义 力 广 义 应 变 曲率 扭率 7.2 基本方程 薄板弯曲刚度 薄板平衡方程 D q y w yx w x w 4 4 22 4 4 4 2 q22 wD 7.2 基本方程 该式为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。 7.3 薄板横截面上的内力 ) y w x w ( )1(12 Et dzz) y w x w ( 1 E dzzM 2 2 2 2 2 3 2 t 2 t 2 2 2 2 2 2 2 t 2 t xX 如右图，在该横截面的每单位宽度 上，应力分量合成为弯矩： 与上式类似可以得到： )x wyw(DM 2222y yx w)1(DMM 2 yxxy wxDQ 2y WyDQ 2y )y wx w(DM 2222x (9-5) 7.3 薄板横截面上的内力 利用各应力分量与弯矩、扭矩、横向剪力和荷载之间的关系得： )tz1()tz21(2q 2z )z4t(t6Q 2 2 3 x xz )z4t(t6Q 2 2 3 y yz zt1 2M3 yy zt12M 3 xyyxxy zt12 M3 xx (9-6) 满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。 7.4 薄板边界条件 q22 wD 1 几何边界条件 在边界上给定边界挠度 w和边界切线 方向转角 。 固定边界： 7.4 边界条件 t w 薄板弯曲问题的 典型边界条件 0)(;0)( 00 xx xww 2 混合边界条件 边界同时给出广义 力和广义位移 简支边界 7.4 边界条件 薄板弯曲问题的 典型边界条件 0)( 0)( 0 0 yy y M w 3 面力边界条件 在边界给定横向剪力 和弯矩 自由边界 7.4 边界条件 0)( 0)( 0)( byy byyx byy Q M M