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18.2 .2 菱形的判定 菱形 学习目标 1.理解并掌握菱形的判定方法 . 2.能应用菱形的判定方法解决简单 的证明题和计算题 . 复习与回顾： 1.菱形的定义： 2.菱形的性质： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱 形 性 质 边 角 对角线 邻角互补 对边平行 四边相等 对角相等 对角线 互相平分、 互相 垂直 且 平分每 一组对角 复习巩固 1、菱形的两条对角线长分别是 6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、 菱形的面积为 24cm2,一条对角线的 长为 6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是 1： 5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为 40cm，两对角线的 比为 3： 4，则两对角线的长分别 是 。 变式题 （ 1）菱形两条对角线长为 6和 8，菱形的边长 为 ，面积为 。 （ 2）菱形 ABCD的面积为 96，对角线 AC长 为 16 ，此菱形的边长为 。 （ 3）菱形对角线的平方和等于一边平方的 _ （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍 5 4 10 C 变式题 （ 1）菱形两条对角线长为 6和 8，菱形的边长 为 ，面积为 。 （ 2）菱形 ABCD的面积为 96，对角线 AC长 为 16 ，此菱形的边长为 。 （ 3）菱形对角线的平方和等于一边平方的 _ （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍 5 4 10 C A B C D E F 变式题 （ 1）：菱形 ABCD ,E、 F分别 ABCD 的中点，求证： CE=CF. （ 2）如果上题中还有 CE AB, CF AD,求各内角的度数 A B C E F 已知如图，菱形 ABCD中， E、 F分别是 BC、 CD 上的点，且 B= EAF=60 , BAE=18 , 求 CEF的度数 . D 数学语言： 判定方法 1： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 A B C D O . , 是菱形 中在 A B C D ADABA B C D 想一想 如果一个四边形是平行四边形，则只 要再有什么条件就可以判定它是一个 菱形？根据什么？ 有一组 邻边 相等的 平行四边形 叫做菱形 . 根据定义得： A B C D . , 是菱形 中在 A B C D ADABA B C D 还有什么方法吗 ? 有四条边相等的四边形是菱形。 数学语言 四边形 ABCD是平行四边形 已知：在四边形 ABCD中， AB=BC=CD=DA 求证：四边形 ABCD是菱形 B A D C 证明 : 四边形 ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ) AB=BC=CD=DA 四边形 ABCD是菱形 AD=BC AB=CD 又 AB=AD 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . A B C D 已知：在 中， AC BD ABCD ABCD 求证： 是菱形 证明： ABCD是菱形 又 AC BD; 四边形 ABCD是平行四边形 OA=OC BA=BC 数学语言 四边形 ABCD是平行四边形 ; AC BD; ABCD是菱形 O (线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等 ) (有一组邻边相等的 平行四边形 叫做菱形 ). 归纳 菱形常用的判定方法： 有一组 邻边 相等的 平行四边形 是菱形 . 对角线 互相 垂直 的 平行四边形 是菱形 . 有 四条 边 相等的 四边形 是菱形 . 文字语言 图形语言 符号语言 判定法一 判定 法二 四边相等的四边 形是菱形 判定法三 对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形 菱形的判定： A B C D AB=BC=CD=DA ABCD是菱形 AC BD ABCD 是菱形 AB=AD 四边形 ABCD是菱形 A B C D O A B C D 一组邻边相 等的平行四 边形是菱形 1、下列三个图形是不是菱形 ,为什么 ? 5 5 3 4 3 4 5 5 5 5 有一组邻边 相等的平行四 边形叫做 菱形 对角线互相 垂直的平行四 边形是 菱形 有四条边相等的 四边形是 菱形 。 3 3 4 4 2、判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） (3)对角线互相垂直 ,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； （ ） (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形 （ ） A D B C A B C D 3、 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O， （ 1）若 AB=AD，则 ABCD是 形； （ 2）若 AC=BD，则 ABCD是 形； （ 3）若 ABC 是直角，则 ABCD是 形； （ 4）若 BAO=DAO ，则 ABCD是 形。 A B C D O 矩 菱 矩 菱 做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由 (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形 (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形 (3)邻角相等的四边形是菱形 (4)有一组邻边相等的四边形是菱形 (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 。 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 （ 1） .下列命题中正确的是（ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C （ 2） .对角线互相垂直且平分的四边形是（ ） A.矩形 B.一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对 C （ 3） .下列条件中，不能判定四边形 ABCD为菱形的是（ ） A.ACBD,AC 与 BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且 ACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBD C 4、选择： 24 菱形 5、一边长为 5cm平行四边形的两条对角 线的长分别为 6cm和 8cm，则这个平行四边 形为 ，其面积为 。 A B C D E F 6、如图在菱形 ABCD中 ,CEAB,CFAD. 则 CE CF， BE DF。 如图， ABCD的两条对角线 AC、 BD相交于点 O， AB= 5 ， AC=8， DB=6 求证 :四边形 ABCD是菱形 . A B C D O 四边形 ABCD是菱形 . OA=OC=4 OB=OD=3 证明 : AB=5 222 OBOAAB AC BD 090 AOB= （ 1） 四边形 ABCD是平行四边形 (平行四边形的对角线 互相平分 ) (对角线 互相 垂直 的 平行四边形 是菱形 ). 例题 1 例题 2 已知： ABCD的对角线 AC的垂直平 分线与边 AD 、 BC分别交于 E、 F 求证：四边形 AFCE是菱形。 分析 : （ 1）利用定义判定 B D CF EA O （ 2） 由已知可知 OA=OC,EF AC. （ 3）利用四边相等，你会吗？ 分析： 四边形 AFCE是菱形 AE=EC=CF=FA AE=EC AF=CF AE=AF EF 垂直平分 AC 1= 2 1= 3 2= 3 AE FC 四边形 ABCD 是平行四边形 AF=CF EF AC B D CF EA O 1 2 3 8、已知：如图， AD平分 BAC， DEAC 交 AB于 E， DFAB 交 AC于 F 求证：四边形 AEDF是菱形 3 2 1 A B C D E F AEDF是菱形 证明： DEAC DFAB 四边形 AEDF是平行四边形 DEAC 2=3 AD 是 ABC的角平分线 1=2 AE=DE 1=3 如图， AD BC， BD垂直平分 AC， 四边形 ABCD一定是菱形吗？若是， 请 说明理由 。 C D B A O 思考题 : A D C B E F 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分 ABCD的形状吗？ 思考 : 请你动脑筋 1、如图，已知在 ABCD中， AD=2AB， E、 F在直线 AB上，且 AE=AB=BF，说明 CEDF. A B F N D M E C A B C D O E 2.如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O， DE AC,CE BD. 求证：四边形 OCED是菱形 3.如图， ABC中， AC的垂直平分线 MN 交 AB于点 D，交 AC于点 O， CE AB交 MN 于点 E，连接 AE、 CD. 求证：四边形 ADCE是菱形 B C A D O E M N 4、如图， Rt ABC中， ACB=900， BAC=600， DE垂直平分 BC，垂足为 D， 交 AB于 E，又点 F在 DE的延长线上，且 AF=CE，求证：四边形 ACEF是菱形。 A B C D E F 7、已知如图， AD是的角平分线， DEAC ， DFAB . 求证：四边形 AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。 证明： AD平分 EAF， 1 2, DEAC ， 2 3 DFAB ， 1 4 又有 AD=AD, AED AFD. AE AF,DE=DF. 四边形 AEDF是菱形 . 老师说小林的解题过程有错误，你 能看出来吗？ 请你帮小林指出他的错误是什么？ （先在解答过程中划出来，再说明他 错误的原因） 请你帮小林做出正确的解答。 如图在 ABC中， BAC 90 ， AD BC 于 D， CE平分 ACB，交 AD于 G，交 AB于 C， EF BC于 F，四边形 AEFG是菱形吗 ? 探究释疑 四条边相等 四边形 平行四边形 菱形 小结： 矩形与菱形 矩形 菱形 定义 有一角是 直角 的平行 四边形叫做矩形 . 有一组 邻边相等 的平行四 边形叫做菱形 . 平行四边形的性质 性 质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角 判 定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边都相等的四边形 四条边都相等
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