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4-1 计算平均收益率（增长率） 时间 年数 工业增加值的增长率 19941997 4 10.2 19982002 5 8.7 20032007 5 9.6 合计 14 某市从 1994年以来的 14年，各年的工业怎价值的增长 率资料如下表，计算这 14年的平均增长率。 【 解 】 根据几何平均数的公式： 平均增长率 =平均发展速度 -100%=109.45%-100%=9.45% 12 12 4 5 5 4 5 5 12 110 .2% 108 .7% 109 .6% 109.45% n n f f f fff Gnx x x x 4-2 2-3 离散程度的相对指标：离散系数 例：从学校大一学生中抽取 100人，测得他 们的身高和体重的平均值分别为 168cm， 52kg；相应的标准差为 9cm,5kg。问身高和 体重的差异哪一个大 ? %1 0 0 xV 离散系数：把算术平均数与离散程度绝对指标联 系起来的一个相对测度。 身高的离散系数 =9/168*100%=5.36% 体重的离散系数 =5/52*100%=9.62% 4-3 例： 某厂某月份生产了 400件产品，其中合 格品 380件，不合格品 20件。求产品质量分 布的集中趋势与离散程度。 2 18.0)95.01(95.0 95.0 5 4 00 20 95 4 00 3 80 203 804 00 01 01 PQ PX N N Q N N P NNN p P 所以有： ，则 件，件，件，己知 是非标志指标的计算 解： 4-4 总体均值的区间估计 (例题分析 ) 2 2 10 + 1 0 5 .3 6 + 1 .9 6 25 1 0 5 .3 6 +3 .9 2 1 0 9 .2 8 10 1 0 5 .3 6 1 .9 6 25 1 0 5 .3 6 3 .9 2 1 0 1 .4 4 xz n xz n 1 0 5 .3 6x 解： 已知 N(， 102)， n=25, 1- = 95%， z/2=1.96 。 根据样本数据计算得： 。 由于是正态总 体 ， 且方差已知 。 总体均值 在 95%置信水平下的置信区间为 22 + 1 0 1 . 4 4 1 0 9 . 2 8x z x znn ， （ ， ） 4-5 总体均值的区间估计 (例题分析 ) 2 2 2 4 .7 7 1 4 9 0 2 .1 3 1 1 4 9 0 1 3 .2 1 5 0 3 .2 16 2 4 .7 7 1 4 9 0 2 .1 3 1 1 4 9 0 1 3 .2 1 4 7 6 .8 16 s xt n s xt n 1490 x 解： 已知 N(， 2)， n=16, 1- = 95%， t/2=2.131 根据样本数据计算得： ， 总体均值 在 1-置信水平下的置信区间为： 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为 1476.8h 1503.2h 24.77s 4-6 两个总体均值之差的估计 (例题分析 ) 【 例 】 某地区教育管理 部门想估计两所中学的 学生高考时的英语平均 分数之差 ， 为此在两所 中学独立抽取两个随机 样本 ， 有关数据如右表 。 建立两所中学高考英 语平均分数之差 95%的 置信区间 两个样本的有关数据 中学 1 中学 2 n1=46 n1=33 S1=5.8 S2=7.2 861 x 782 x 4-7 两个总体均值之差的估计 (例题分析 ) 解 : 两个总体均值之差在 1-置信水平下的置信区间为 两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为 5.03分 10.97分 22 22 12 1 2 2 12 22 22 12 1 2 2 12 5 . 8 7 . 2 ( ) ( 8 6 7 8 ) 1 . 9 6 8 2 . 9 7 1 0 . 9 7 4 6 3 3 5 . 8 7 . 2 ( ) ( 8 6 7 8 ) 1 . 9 6 8 2 . 9 7 5 . 0 3 4 6 3 3 ss x x z nn ss x x z nn 4-8 两个总体均值之差的估计 (例题分析 ) 【 例 】 为估计两种方法组装产品所需时间的差异 ， 分别对两 种不同的组装方法各随机安排 12名工人 ， 每个工人组装一件 产品所需的时间 (单位： min)下如表 。 假定两种方法组装产品 的时间服从正态分布 ， 且方差相等 。 试以 95%的置信水平建立 两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间 两个方法组装产品所需的时间 方法 1 方法 2 28.3 36.0 27.6 31.7 30.1 37.2 22.2 26.0 29.0 38.5 31.0 32.0 37.6 34.4 33.8 31.2 32.1 28.0 20.0 33.4 28.8 30.0 30.2 26.5 2 1 4-9 两个总体均值之差的估计 (例题分析 ) 解 : 根据样本数据计算得 合并估计量为 两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.14min7.26min 1 3 2 .5x 21 1 5 . 9 9 6s 2 2 8 .8x 22 1 9 . 3 5 8s 2 ( 1 2 1 ) 1 5 . 9 9 6 ( 1 2 1 ) 1 9 . 3 5 8 1 7 . 6 7 7 1 2 1 2 2ps 11 ( 32. 5 28. 8 ) + 2.0 739 17. 677 3.7 +3 .56 =7 .26 12 12 11 ( 32. 5 28. 8 ) 2.0 739 17. 677 3.7 3.5 6 0.1 4 12 12 4-10 总体均值的区间估计 (例题分析 ) 【 例 】 一家保险公司收集到由 36个 投保人组成的 随机样本 ， 得到每个投保人的年龄 (单位：周岁 )数 据如下表 。 试建立投保人年龄 90%的置信区间 36个投保人年龄的数据 23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32 4-11 总体均值的区间估计 (例题分析 ) 39.5x 7.77s 解： 已知 n=36, 1- = 90%， z/2=1.645。 根据样本数 据计算得： ， 总体均值 在 1- 置信水平下的置信区间为 投保人平均年龄的置信区间为 37.37岁 41.63岁 2 2 7 . 7 7 3 9 . 5 1 . 6 4 5 3 9 . 5 2 . 1 3 4 1 . 6 3 36 7 . 7 7 3 9 . 5 1 . 6 4 5 3 9 . 5 2 . 1 3 3 7 . 7 3 36 s xz n s xz n 总体均值 在 90%置信水平下的置信区间为 4-12 估计总体均值时样本量的确定 (例题分析 ) 【 例 】 拥有工商管理学士学位的大学毕业生 年薪的标准差大约为 2000元 ， 假定想要估计 年薪 95%的置信区间 ， 希望边际误差为 400 元 ， 应抽取多大的样本量 ？ 4-13 估计总体均值时样本量的确定 (例题分析 ) 22 22 2 22 () ( 1 . 9 6 ) 2 0 0 0 400 9 6 . 0 4 9 7 z n 解 : 已知 =2000， =400, 1-=95%， z/2=1.96 应抽取的样本量为 即应抽取 97人作为样本 4-14 2 已知均值的检验 (例题分析 ) 【 例 】 某机床厂加工一种零件 ， 根 据经验知道 ， 该厂加工零件的椭圆 度近似服从正态分布 ， 其总体均值 为 0=0.081mm， 总体标准差为 = 0.025 。 今换一种新机床进行加工 ， 抽取 n=200个零件进行检验 ， 得到的 椭圆度为 0.076mm。 试问新机床加工 零件的椭圆度的均值与以前有无显 著差异 ？ （ 0.05） 双侧检验 4-15 2 已知均值的检验 (例题分析 ) H0: = 0.081 H1: 0.081 = 0.05 n = 200 临界值 : 检验统计量 : Z 0 1.96 -1.96 .025 拒绝 H0 拒绝 H0 .025 决策 : 结论 : 在 = 0.05的水平上拒绝 H0 有证据表明新机床加工的零件 的椭圆度与以前有显著差异 83.2 200025.0 081.0076.00 n xz 4-16 2 已知均值的检验 (小样本例题分析 ) 【 例 】 根据过去大量资料 ， 某厂生产的灯泡的使用寿命 服从正态分布 N(1020， 1002) 。 现从最近生产的一批产品 中随机抽取 16只 ， 测得样本 平均寿命为 1080小时 。 试在 0.05的显著性水平下判断这批 产品的使用寿命是否有显著 提高 ？ ( 0.05) 单侧检验 4-17 2 已知均值的检验 (小样本例题分析 ) H0: 1020 H1: 1020 = 0.05 n = 16 临界值 : 检验统计量 : 在 = 0.05的水平上拒绝 H0 有证据表明这批灯泡的使用 寿命有显著提高 决策 : 结论 : 4.2 16100 102010800 n xz Z 0 拒绝域 0.05 1.645 4-18 2 未知大样本均值的检验 (例题分析 ) 【 例 】 某电子元件批量生产的 质量标准为平均使用寿命 1200 小时 。 某厂宣称他们采用一种 新工艺生产的元件质量大大超 过规定标准 。 为了进行验证 ， 随机抽取了 100件作为样本 ， 测 得平均使用寿命 1245小时 ， 标 准差 300小时 。 能否说该厂生产 的电子元件质量显著地高于规 定标准 ？ ( 0.05) 单侧检验 4-19 2 未知大样本均值的检验 (例题分析 ) H0: 1200 H1: 1200 = 0.05 n = 100 临界值 (s): 检验统计量 : 在 = 0.05的水平上不拒绝 H0 不能认为该厂生产的元件寿命 显著地高于 1200小时 决策 : 结论 : 5.1 100300 120012450 n xz Z 0 拒绝域 0.05 1.645 4-20 2 未知小样本均值的检验 (例题分析 ) 【 例 】 某机器制造出的肥 皂厚度为 5cm， 今欲了解机 器性能是否良好 ， 随机抽 取 10块肥皂为样本 ， 测得 平均厚度为 5.3cm， 标准差 为 0.3cm， 试以 0.05的显著 性水平检验机器性能良好 的假设 。 双侧检验 4-21 2 未知小样本均值的检验 (例题分析 ) H0: = 5 H1: 5 = 0.05 df = 10 - 1 = 9 临界值 (s): 检验统计量 : 在 = 0.05的水平上拒绝 H0 说明该机器的性能不好 决策： 结论： 16.3 103.0 53.50 ns xt t 0 2.262 -2.262 .025 拒绝 H0 拒绝 H0 .025 4-22 两个总体均值之差的检验 (例题分析 ) 双侧检验！ 【 例 】 有两种方法可用于制造某种以 抗拉强度为重要特征的产品 。 根据以 往的资料得知 ， 第一种方法生产出的 产品其抗拉强度的标准差为 8公斤 ， 第二种方法的标准差为 10公斤 。 从两 种方法生产的产品中各抽取一个随机 样本 ， 样本量分别为 n1=32， n2=40， 测得 x1= 50公斤 ， x2= 44公斤 。 问这 两种方法生产的产品平均抗拉强度是 否有显著差别 ？ ( = 0.05) 4-23 两个总体均值之差的检验 (例题分析 ) H0: 1- 2 = 0 H1: 1- 2 0 = 0.05 n1 = 32， n2 = 40 临界值 (s): 检验统计量 : 决策 : 结论 : 在 = 0.05的水平上拒绝 H0 有证据表明两种方法生产的产 品其抗拉强度有显著差异 83.2 40 100 32 64 04450)()( 2 2 2 1 2 1 2121 nn xxz Z 0 1.96 -1.96 .025 拒绝 H0 拒绝 H0 .025 P-值 =？ 4-24 两个总体均值之差的检验 (例题分析 ) 单侧检验 【 例 】 “多吃谷物 ， 将有助于减 肥 。 ” 为了验证这个假设 ， 随机 抽取了 35人 ， 询问他们早餐和午 餐的通常食谱 ， 根据他们的食谱 ， 将其分为二类 ， 一类为经常的 谷类食用者 (总体 1)， 一类为非经 常谷类食用者 (总体 2)。 然后测度 每人午餐的大卡摄取量 。 经过一 段时间的实验 ， 得到如下结果： 检验该假设 ( = 0.05) 4-25 两个总体均值之差的检验 (例题分析 用统计量进行检验 ) H0: 1- 2 0 H1: 1- 2 0 = 0.05 n1 = 15， n2 = 20 临界值 (s): 检验统计量 : 决策 : 结论 : 在 = 0.05的水平上拒绝 H0 没有证据表明多吃谷物将有助 于减肥 4 8 6 9.2 20 4 6 1.3 6 7 5 15 4 2 9.2 4 3 1 25.6 2 95 8 3 t -1.694 t 0 拒绝域 .05 4-26 【 例 7.1】 某公司采用四种方式推销其产品。 为检验不同方式推销产品的效果，随机抽 样得下表： 序号 销售方式 1 2 3 4 5 水平均 值 方式一 77 86 81 88 83 83 方式二 95 92 78 96 89 90 方式三 71 76 68 81 74 74 方式四 80 84 79 70 82 79 总均值 81.5 4-27 估计方程的求法 (例题分析 ) 【 例 】 求人均消费与人均国内生产总值的回归方程 回归方程为： y = 181.5830 + 0.4414 x 回归系数 =0.4414 表示 ， 人均国内生产总 值每增加 1元 ， 人均消费平均增加 0.4414元 1 4 4 1 4.06 1 3 9 54 3 3 0 5 7 6 6 79 2 8 7 3 46 1 3 9 52 0 2 2 9 9 8 5 29)( 2221 ii iiii xxn yxyxn 58 30.18 1961 39544 14.0928 734 10 n xn y ii 4-28 置信区间估计 (例题分析 ) 【 例 】 求出贷款余额为 100亿元时 ， 不良贷款 95%置 信水平下的置信区间 解： 根据前面的计算结果 ， 已知 n=25， se=1.9799， t2(25-2)=2.069 置信区间为 当贷款余额为 100亿元时 ， 不良贷款的平均值 在 2.1141亿元到 3.8059亿元之间 96.20 y 21 ( 1 0 0 1 2 0 . 2 6 8 ) 2 . 9 6 2 . 0 6 9 1 . 9 7 9 9 2 5 1 5 4 9 3 3 . 5 7 4 4 02 . 1 1 4 1 ( ) 3 . 8 0 5 9Ey 4-29 预测区间估计 (例题分析 ) 【 例 】 求出贷款余额为 72.8亿元的那个分行 ， 不良贷 款 95%的预测区间 解： 根据前面的计算结果 ， 已知 n=25， se=1.9799， t2(25-2)=2.069 预测区间为 贷款余额为 72.8亿元的那个分行 ， 其不良贷款 的预测区间在 -2.2766亿元到 6.1366亿元之间 93.1 0 y 21 ( 7 2 . 8 1 2 0 . 2 6 8 ) 2 . 9 6 2 . 0 6 8 7 1 . 9 7 9 9 1 2 5 1 5 4 9 3 3 . 5 7 4 4 02 . 2 7 6 6 6 . 1 3 6 6y 4-30 2.71997 8.19199747001998 付的货币额。价上涨使当地居民多支 由于物，求物价指数并说明年增长如果扣除物价因素比 ，年增长万元，比社会商品零售总额某地 qPqPPqPq PqPq qP qP Pq Pq Pq Pq 101100010011 10 11 00 01 00 11 ）（）（ 价格总指数销售量总指数销售额指数 3.494 5.282 8.776 75.111 2.107 8.119 7.4205 4700 2.3923 7.4205 2.3923 4700 7.4205q 2.107 3 9 2 3.2 q q q 3 9 2 3.2q 8.119 q 4700 q q 01 01 00 01 00 0000 11 P P P P P PP P (3)指数推算
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