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第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开二、函数展开为幂级数二、函数展开为幂级数一、一、TaylorTaylor级数级数三、实函数的幂级数展开三、实函数的幂级数展开四、四、Taylor公式公式电气学院学习部资料库nnnf zDaDdaDddist aDz adfaf zzan()+0()(,)-()()=()!若函数在区域解析，为到的边界若函数在区域解析，为到的边界各点的最短距离，即.则当时，各点的最短距离，即.则当时，B a dadB a dD(,)(,).表表示示以以 为为圆圆心心，为为半半径径的的圆圆，r z-ard取 使得，取 使得，1、定理、定理1（Taylor展开定理）展开定理）证明：证明：则则zB a d(,)对，对，()-f zz ar 在在闭闭圆圆内内解解析析。一、一、TaylorTaylor级数级数电气学院学习部资料库rK:ar现记圆周，现记圆周，Cauchy由积分公式，由积分公式，rKff zdiz1()()=2 zaza11()()111zaaa 01nnzaaa nnnzaa10()()1zaa 由，有由，有电气学院学习部资料库rnnKnzaf zfdia101()()=()2()rnnKnfzadia101()=()2()关于 一致收敛关于 一致收敛rnnKnfdzaia101()=()2()nnnfazan()0()=()!证毕证毕nnTaylorTaf za facTaylornylor()()()!级级数数展展 上上式式右右端端的的级级数数称称为为在在点点 的的，开开式式或或。称称为为系系数数。电气学院学习部资料库nnnfMarclaurinaf zzf zn()+0(0)0()=()!若若，称称为为的的级级数数。()z f ze 解解 处处处处解解析析，()()nz fze 且且，nf()(0)1 ，故故()+0(0)!nznnfezn|z|+。()0z f zez=Taylor 例例1 1 将将在在点点展展开开成成级级数数。0!nnz n ，()sin0 f zzz=Taylor 例例2 2 将将在在点点展展开开成成级级数数。+210(1)sin,|(21)!nnnzz zn 电气学院学习部资料库nnnnn f za f za f zczafa cn0()()()()(),()2!设在点解析，若在点 的幂级数设在点解析，若在点 的幂级数展开式为展开式为 定理定理则则2、Taylor展开的唯一性展开的唯一性证明：证明：a 在在 的的某某个个邻邻域域内内，nnf zcc zaczacza2012()()()()电气学院学习部资料库nnfzcczancza112()2()()nnfzcczacn nza223()23 2()(1)()nnnfzcncnnza()1()!(1)2()za 在在以以上上各各式式中中取取，可可得得f ac0(),fac1(),fac2()2,nnfan c(),()!,故故nnfa cn()()!证毕证毕电气学院学习部资料库()()()-f za f zaTaylorR a f za bRa b 若若在在 点点解解析析，那那么么使使在在 点点的的展展开开式式成成立立的的圆圆域域半半径径等等于于到到的的距距 最最近近的的一一个个奇奇点点 之之间间的的距距离离，即即注注：1()(1)(2)f zzz 例例3 3，12z z 有两个奇点和 。有两个奇点和 。0()()nnnf zzi czi Taylor 在在的的邻邻域域内内可可以以展展开开成成的的级级数数,12Ri 使使该该级级数数成成立立的的圆圆域域半半径径为为。()tan4 f zz zTaylor 例例4 4 求求在在点点展展开开成成级级数数的的收收敛敛半半径径。电气学院学习部资料库二、函数展开为幂级数二、函数展开为幂级数()()()()()1,2,nn f z fz fa 先先求求出出的的各各阶阶导导数数和和，n nln(1)(1),(1)aaza zez 例例5 5 设设（称称为为的的主主值值支支），求求它它的的MarclaurinMarclaurin展展开开式式。1、直接展开法、直接展开法解解：zf zzMarclaurinln(1)1()1 首先，由于在往左的负实轴上不解析，首先，由于在往左的负实轴上不解析，只能在内展开为级数。只能在内展开为级数。aazf zzeln(1)()(1),记 记()0()()=()!nnnfa f zza n 代代入入，再再确确定定收收敛敛半半径径即即可可。电气学院学习部资料库ln(1)()(),11azaaf zfzezz 1()(),zfzaf z 可可得得（）1n 两边求阶导，得两边求阶导，得nnnz fznfzafz()(1)(1)(1)()(1)()(),整理得整理得nnz fzanfz()(1)(1)()(1)(),0z 令，并由此递推关系，得令，并由此递推关系，得f(0)1,(0),fa (0)(1),fa a,nfa aan()(0)(1)(1),电气学院学习部资料库1()(1)(1)()(1)1,(1)!annf zMarclaurina aan f zzzzn 故故的的展展式式为为12aa 特别地，当和时，有特别地，当和时，有nnzzz01(),(1)1 11211(1),(1)(1)nnnnzzz 0(1)(1)(1)nnn =nz z ，电气学院学习部资料库2、间接展开法、间接展开法 利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质，利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质，以求得目标函数的展开式。以求得目标函数的展开式。sincos z z z 例例6 6 把把和和展展开开为为 的的幂幂级级数数。解：解：izizeezcos2 又，又，nniziznnizize enn00()(),!故故nnnizizznn01()()cos2!nnnniizn01()2!电气学院学习部资料库knnnk iink22(1),()210,由于 由于 故故kkkzzk2012(1)cos2(2)!kkkzk20(1)(2)!即即nnzzzzzn2462cos1(1)2!4!6!(2)!同理可得同理可得nnzzzzzn3521sin(1)3!5!(21)!z sin考虑用幂级数的逐项求导来获得的展开式?考虑用幂级数的逐项求导来获得的展开式?电气学院学习部资料库0()(0)()zf zffz dz ()ln(1)f zz z 例例7 7 把把函函数数展展开开为为 的的幂幂级级数数。解：解：1()ln(1)1fzzz nnz0()z(1)逐逐项项积积分分，得得znnz dz00()znnnz dz00(1)nnnzn10(1)1 f(0)0,又又 nnn zzzn10(1)ln(1),(1)1 故故电气学院学习部资料库必须熟记的几个基本的展开式必须熟记的几个基本的展开式:(2)z e(3)sinz2301,!23!nnnzzzzz|z|nn 2103521(1)(21)!(1),3!5!(21)!nnnnnznzzzz|z|n (4)cosz20242(1)(2)!1(1),24!(2)!nnnnnznzzz|z|n 1(1)1-z201,1nnnzzzz|z|电气学院学习部资料库12(1)(1)1!(1)(1)(1)1,2!1nnnn znnzzzn|z|(5)ln(1)z 10231(1)1(1),1231nnnnnznzzzz|z|n (6)(1)z nnnnnzzz nzzz0201(),(1)11(1)(1),(1)(1)其其中中，电气学院学习部资料库2110()-1(1)f z a z 例例把把函函数数在在点点展展开开为为幂幂级级数数。解：解：zz2211(1)(1)2 z22112(1)2 nnzn12111()22 nnnnz111(1)2 z(11)1()11-f z z+z 例例8 8 把把函函数数展展开开为为的的幂幂级级数数。()1z f ze z 例例9 9 把把函函数数在在处处 展展开开成成幂幂级级数数。电气学院学习部资料库()sinz f zez Marclaurin 例例1 11 1 把把函函数数的的展展开开式式。解：解：izizzzeeezeisin2 izi zeei(1)(1)2 nnnnnnizizinn001(1)(1)2!nnnniizin01(1)(1)2!ininnnnneezin4401(2)(2)2!ininnnneezni440(2)!2 nnnnzn0(2)sin!4 电气学院学习部资料库2112()(1)43 f z zzz 例例把把函函数数展展开开为为的的幂幂级级数数。解：解：f zzzzz211()43(1)(3)=zz111231 zz113(1)4 z 1212(1)nnnz10(1)4 z,(14)zz111(1)2 z 1414(1)nnnz10(1)2 z,(12)nnnnnnzz f z11001(1)(1)()242 故故nnnn z110111()(1)224 nnnn z123021(1)2 ，z(12)电气学院学习部资料库af xf x()():在定理一中，将取为实数，为实函数，就可在定理一中，将取为实数，为实函数，就可得到实函数的幂级数展开式得到实函数的幂级数展开式 三、实函数的幂级数展开三、实函数的幂级数展开nnnfaf xxan()+0()()=()!在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式的的收敛区间收敛区间。注：注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛散情况。散情况。电气学院学习部资料库几个基本的展开式几个基本的展开式:(2)x e(3)sinxnnnxxxxxxnn2301,!23!nnnnnxnxxxxxn2103521(1)(21)!(1),3!5!(21)!1(1)1-x201,11nnnxxxx x (4)cosxnnnnnxnxxxxn20242(1)(2)!1(1),24!(2)!电气学院学习部资料库nnnnnxnxxxx xn2103521(1)21(1),113521 (5)ln(1)x nnnnnxnxxxxxn10231(1)1(1),11231 (6)arctanx12(1)(1)1!(1)(1)(1)1,2!11nnnn xnnxxxn x (7)(1)x 电气学院学习部资料库201211(1)(1),(11)(1)(21)!(1)1(1),(11)(2)!nnn nnnnxxxnxxxn -11-1 1x a （7 7）在在恒恒成成立立，但但当当取取不不同同值值时时，端端点点、处处说说明明：收收敛敛情情的的况况是是不不同同的的。114()ln1x f x Marclaurinx 例例将将函函数数展展开开成成展展式式。210()2,11.21nnxf x xn 答答案案：113()2 f xxx 例例将将函函数数在在处处展展开开成成幂幂级级数数。1(21)!()1(1)(2),(04)2(2)!nnnnnf xxxn 电气学院学习部资料库215()arctanln 1 f x=xxx Marclaurin 例例求求函函数数的的展展式式。解解法法1 1：2212()arctan12 1xxfx=x+xx arctanx 21()1fx=x 02(1),|1nnnx x ，(0)0)f=两两边边积积分分得得：注注意意 0()(0)()xfxffx dx 220(1)(),11(21)(22)nnn f x x xnn 210(1),21nnnxn 002(1)nnxnxdx 002(1)nnxnxdx (0)0)f=再再两两边边积积分分得得：注注意意 电气学院学习部资料库解解法法2 2：nnnxxn210arctan(1),21 xx221ln 1ln(1)2nnnxn220(1),22 nnnxn2(1)01(1)21 nnnnnnx xxx =xxnn2122200(1)arctanln 1(1)2122 nnn=xnn22011(1)()2122 nnn=xnn220(1),(21)(22)x(11)x(11)x(11)电气学院学习部资料库()0()2()()()()!()()()()()(T)(a)2!()ylorknknknnf xxanfaP xxakfafaf afaxaxaxanf xan 设设实实函函数数在在点点处处有有阶阶导导数数，称称多多项项式式 为为在在的的阶阶点点多多项项式式。四、四、Taylor公式公式()0()()()()()()()()!nknknnkP xf xfaRxf xP xf xxak 当当用用近近似似替替代代时时，误误差差为为 电气学院学习部资料库nnnf xxanfRxx aaxn(1)1()1()()(-)!Lagrange 若在点有阶导数，则若在点有阶导数，则 ，(其中 是介于 与 之间的数)，(其中 是介于 与 之间的数)称为称为余项余项。nnf xxanRxo xa()()(Peano)若在点有阶导数，则若在点有阶导数，则 ，称为称为余项余项。nRx()误差有多种表示形式。误差有多种表示形式。电气学院学习部资料库
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