高三数学复习不等式第四节

第四节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题三年三年2222考考 高考指数高考指数:1.1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；次不等式组；3.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决加以解决.1.1.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义意义(如斜率、距离、面积等如斜率、距离、面积等)；2.2.多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解.1.1.二元一次不等式二元一次不等式(组组)的解集的解集(1)(1)满足二元一次不等式满足二元一次不等式(组组)的的x x和和y y的取值构成的有序数对的取值构成的有序数对(x(x，y)y)，叫做二元一次不等式，叫做二元一次不等式(组组)的的_;_;(2)(2)所有这样的有序数对所有这样的有序数对(x(x，y)y)构成的集合称为构成的集合称为_._.解解二元一次不二元一次不等式等式(组组)的解集的解集【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：二元一次不等式思考：二元一次不等式(组组)的解集与平面直角坐标系内的的解集与平面直角坐标系内的点有何关系？点有何关系？提示：提示：二元一次不等式二元一次不等式(组组)的解集可以看成平面直角坐标系内的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合的点构成的集合,所有以不等式所有以不等式(组组)的解为坐标的点都在平面的解为坐标的点都在平面直角坐标系内直角坐标系内,就构成了一个平面区域就构成了一个平面区域.(2)(2)设点设点P(x,y)P(x,y)，其中，其中x x，yNyN，满足，满足x+y3x+y3的点的点P P的个数为的个数为_._.【解析】【解析】当当x=0 x=0时，时，y y可取可取0 0，1 1，2 2，3,3,有有4 4个点；个点；当当x=1x=1时，时，y y可取可取0 0，1 1，2,2,有有3 3个点；个点；当当x=2x=2时，时，y y可取可取0 0，1,1,有有2 2个点；个点；当当x=3x=3时，时，y y可取可取0,0,有有1 1个点个点,故共有故共有1010个点个点.答案：答案：10102.2.二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域(1)(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式在平面直角坐标系中二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域不等式不等式表示区域表示区域Ax+By+CAx+By+C0 0直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0某一侧的某一侧的所有点组成的平面区域所有点组成的平面区域不包括不包括_直线直线Ax+By+C0Ax+By+C0包括包括_直线直线不等式组不等式组各个不等式所表示平面区域的各个不等式所表示平面区域的_边界边界边界边界公共部分公共部分(2)(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点上的点(x(x0 0,y,y0 0)作为作为_来进行判定，满足不等式的，则平来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点位于直线的一侧面区域在测试点位于直线的一侧,反之在直线的另一侧反之在直线的另一侧.测试点测试点【即时应用】【即时应用】(1)(1)如图所表示的平面区域如图所表示的平面区域(阴影部分阴影部分)用不等式表示为用不等式表示为_._.【解析】【解析】(1)(1)由图可知边界直线过由图可知边界直线过(-1,0)(-1,0)和和(0,2)(0,2)点点,故直线方程为故直线方程为2x-y+2=0.2x-y+2=0.又又(0,0)(0,0)在区域内在区域内,故区域应用不等式表示为故区域应用不等式表示为2x-y+20.2x-y+20.(2)(2)以下各点以下各点(0,0)(0,0)；(-1,1)(-1,1)；(-1,3)(-1,3)；(2,-3)(2,-3)；(2,(2,2)2)在在x+y-10 x+y-10所表示的平面区域内的是所表示的平面区域内的是_._.(3)(3)如果点如果点(1(1，b)b)在两条平行直线在两条平行直线6x-8y+1=06x-8y+1=0和和3x-4y+5=03x-4y+5=0之间，之间，则则b b应取的整数值为应取的整数值为_._.【解析】【解析】(2)(2)将各点代入不等式可知将各点代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)(0,0),(-1,1),(2,-3)满足不等式满足不等式,故在平面区域内故在平面区域内.【解析】【解析】(3)(3)令令x=1,x=1,代入代入6x-8y+1=06x-8y+1=0，解得，解得y=y=；代入代入3x-4y+5=03x-4y+5=0，解得，解得y=2.y=2.由题意得由题意得 b2,b0，a 1)的 图 象 没 有 经 过 区 域M，则a的 取 值 范 围 是_(0,1)(1,2)(9，)【变式备选】【变式备选】已知平面区域已知平面区域D D由以由以A(1,3)A(1,3)、B(5,2)B(5,2)、C(3,1)C(3,1)为顶为顶点的三角形内部和边界组成点的三角形内部和边界组成.若在区域若在区域D D上有无穷多个点上有无穷多个点(x,y)(x,y)可可使目标函数使目标函数z=x+my(mz=x+my(m0)0)取得最小值，则取得最小值，则m=()m=()(A)(B)(C)1 (D)4(A)(B)(C)1 (D)41214【解析】【解析】选选C.C.方法一：由方法一：由A(1,3)A(1,3)、B(5,2)B(5,2)、C(3,1)C(3,1)的坐标位置知，的坐标位置知，ABCABC所在的区域在第一象限，故所在的区域在第一象限，故x x0,y0,y0.0.由由z=x+myz=x+my得得y y 它表示斜率为它表示斜率为 在在y y轴上的截距为轴上的截距为 的直线的直线,因为因为m m0 0，则要使，则要使z=x+myz=x+my取得最小值，必须使取得最小值，必须使 最小，此时需最小，此时需 ，即，即m=1m=1；方法二：把方法二：把m m的值逐一代入检验，只有的值逐一代入检验，只有m=1m=1符合题意，故选符合题意，故选C.C.1zxmm，1m，zmzmAC11 3km3 1 线性规划的实际应用线性规划的实际应用【方法点睛】【方法点睛】线性规划的实际应用问题的解题思路线性规划的实际应用问题的解题思路 线性规划的实际应用问题线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意需要通过审题理解题意,找出各找出各量之间的关系量之间的关系,最好是列成表格最好是列成表格,找出线性约束条件找出线性约束条件,写出所研究写出所研究的目标函数的目标函数,转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)(1)作图作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线的平行直线系中过原点的那一条直线l；(2)(2)平移平移将将l平行移动，以确定最优解的对应点平行移动，以确定最优解的对应点A A的位置；的位置；(3)(3)求值求值解方程组求出解方程组求出A A点的坐标点的坐标(即最优解即最优解)，代入目标函，代入目标函数，即可求出最值数，即可求出最值.【例【例3 3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位已知一个单位的午餐含的午餐含1212个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和6 6个单位的个单位的维生素维生素C C；一个单位的晚餐含；一个单位的晚餐含8 8个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位的个单位的蛋白质和蛋白质和1010个单位的维生素个单位的维生素C.C.另外另外,该儿童这两餐需要的营养中该儿童这两餐需要的营养中至少含至少含6464个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,42,42个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和5454个单位的个单位的维生素维生素C.C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和4 4元元,那么要满足那么要满足上述的营养要求上述的营养要求,并且花费最少并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？单位的午餐和晚餐？【解题指南】【解题指南】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解用关系式，利用线性规划求解.【规范解答】【规范解答】方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为为x x个单位和个单位和y y个单位个单位,所花的费用为所花的费用为z z元元,则依题意得则依题意得z=2.5x+4y,z=2.5x+4y,且且x,yx,y满足满足 即即 作出线性约束条件所表示的可作出线性约束条件所表示的可x0 xNy0,yN12x8y64,6x6y426x10y54，x0,xNy0,yN3x2y16.xy73x5y27行域行域,如图中如图中阴影部分的阴影部分的整数点整数点,3x+5y=27yO12345678910 x12345678910 x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBAz z在可行域的四个顶点在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分处的值分别是别是z zA A=2.5=2.59+49+40=22.5,0=22.5,z zB B=2.5=2.54+44+43=22,3=22,z zC C=2.5=2.52+42+45=25,5=25,z zD D=2.5=2.50+40+48=32.8=32.经比较得经比较得z zB B最小最小,因此因此,应当为该儿童预订应当为该儿童预订4 4个单位的午餐和个单位的午餐和3 3个单个单位的晚餐位的晚餐,就可满足要求就可满足要求.【反思【反思感悟】感悟】解线性规划的实际应用问题解线性规划的实际应用问题,关键是正确理解题关键是正确理解题意，最好将题目中的已知条件用表格形式呈现，来明确它们之意，最好将题目中的已知条件用表格形式呈现，来明确它们之间的关系间的关系,这样能方便写出线性约束条件及目标函数这样能方便写出线性约束条件及目标函数.【变式训练】【变式训练】铁矿石铁矿石A A和和B B的含铁率的含铁率a,a,冶炼每万吨铁矿石的冶炼每万吨铁矿石的COCO2 2的的排放量排放量b b及每万吨铁矿石的价格及每万吨铁矿石的价格c c如表：如表：某冶炼厂至少要生产万吨铁某冶炼厂至少要生产万吨铁,若要求若要求COCO2 2的排放量不超过的排放量不超过2 2万吨万吨,则则购买铁矿石的最少费用为购买铁矿石的最少费用为_百万元百万元.【解析】【解析】设购买铁矿石设购买铁矿石A A、B B分别为分别为x x万吨、万吨、y y万吨，购买铁矿石万吨，购买铁矿石的费用为的费用为z z百万元，则百万元，则a ab(b(万吨万吨)c(c(百万元百万元)A A50%50%1 13 3B B70%70%0.50.56 6 目标函数目标函数z=3x+6yz=3x+6y，由由得得 记记P(1,2)P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数画出可行域可知，当目标函数z=3x+6yz=3x+6y过点过点P(1P(1，2)2)时，时，z z取到最取到最小值小值15.15.答案答案:15 15 0.5x0.7y1.9x0.5y2x0y0，0.5x0.7y1.9x0.5y2，x1y2，某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？思路分析：这个问题的数学模型是二元线性规划为此，需要确定线性约束条件和线性目标函数设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则约束条件是x+2y4002x+y500 x0y0目标函数是z3x2y.要求出适当的x，y，使z3x2y取得最大值如上图所示，先画出可行域考虑3x2yz，z是参数，将它变形为y3/2 xz/2，它是斜率为3/2，随z变化的一组直线.是直线在y轴上截距，当最大时，z最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z3x2y取得最大值容易求得两直线2xy500与x2y400的交点是(200,100)，即安排生产甲产品200件、乙产品100件，可使收入3x2y取得最大值点评：线性规划的实际问题包括两种基本类型：第一种是已知一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，能使完成的任务量最大、收到的效益最大；第二种是给定一项任务，问如何统筹安排才能使完成该项任务的人力、物力资源量最小【易错误区】【易错误区】忽视题目中的约束条件而致误忽视题目中的约束条件而致误【典例】【典例】(2011(2011湖南高考湖南高考)设设m m1,1,在约束条件在约束条件 下下,目目标函数标函数z=x+5yz=x+5y的最大值为的最大值为4,4,则则m m的值为的值为_._.【解题指南】【解题指南】由已知条件作出可行域由已知条件作出可行域,注意已知中注意已知中m m1 1的条件，的条件，可以利用一个特值如可以利用一个特值如m=2m=2作出可行域而后利用目标函数直线过作出可行域而后利用目标函数直线过哪一点取最大值，可求解哪一点取最大值，可求解.yxymxxy1【规范解答】【规范解答】不等式组表示的平面区域不等式组表示的平面区域如图中阴影所示如图中阴影所示,把目标函数化为把目标函数化为y=y=显然只有显然只有y=y=在在y y轴上轴上的截距最大时的截距最大时z z的值最大的值最大,根据图形根据图形,目目标函数在点标函数在点A A处取得最大值处取得最大值,由由得得A(),A(),代入目标函数代入目标函数,即即 =4,=4,解得解得m=3.m=3.答案：答案：3 31zx,551zx55ymx,xy11m,1m 1m15m1m1m【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示与备考建议：得到以下误区警示与备考建议：误误区区警警示示解答本题时有两点误区造成失误：解答本题时有两点误区造成失误：(1)(1)忽视条件忽视条件m m1 1，不能正确画出可行域，不能正确画出可行域(2)(2)找错最值点找错最值点,不能正确解出最值点坐标不能正确解出最值点坐标,从而代入求解失从而代入求解失误误备备考考建建议议解决含参数的线性规划问题，要对以下问题高度关注：解决含参数的线性规划问题，要对以下问题高度关注：(1)(1)解题时要看清题目解题时要看清题目,不能忽视或漏掉参数的范围不能忽视或漏掉参数的范围(2)(2)对于题目中最值条件的确定至关重要，且不能计算出错对于题目中最值条件的确定至关重要，且不能计算出错1.(20111.(2011安徽高考安徽高考)设变量设变量x,yx,y满足满足 则则x+2yx+2y的最大值的最大值和最小值分别为和最小值分别为()()(A)1,-1 (B)2,-2(A)1,-1 (B)2,-2(C)1,-2 (D)2,-1(C)1,-2 (D)2,-1【解析】【解析】选选B.x+y=1,x-y=1,x=0B.x+y=1,x-y=1,x=0三条直线两两相交的交点分别为三条直线两两相交的交点分别为(0,1),(0,-1),(1,0)(0,1),(0,-1),(1,0)，画出可行域，画出可行域(图略图略)可知可知,分别在点分别在点(0,1),(0,1),(0,-1)(0,-1)得到最大值得到最大值2,2,最小值最小值-2.-2.xy1xy1,x02.(20122.(2012揭阳模拟揭阳模拟)已知点已知点M(x,y)M(x,y)满足满足 若若ax+yax+y的的最小值为最小值为3,3,则则a a的值为的值为()()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】【解析】选选C.C.由各选项知由各选项知a a取正值取正值,设设ax+y=z,ax+y=z,结合图形易得当直线结合图形易得当直线y=-ax+zy=-ax+z过点过点(1,0)(1,0)时时,ax+y,ax+y取得最小值取得最小值,故故a=3,a=3,选选C.C.x1xy10.2xy20 3.(20113.(2011天津高考天津高考)设变量设变量x,yx,y满足约束条件满足约束条件则目标函数则目标函数z=3x-yz=3x-y的最大值为的最大值为()()(A)-4 (B)0 (C)(D)4(A)-4 (B)0 (C)(D)4【解析】【解析】选选D.D.作出线性约束条件作出线性约束条件 的可行域的可行域,如图所如图所示示,x1xy40,x3y4043x1xy40 x3y40显然显然,可行域是由点可行域是由点A(1,)A(1,)、B(2,2)B(2,2)、C(1,3)C(1,3)所围成的三角形所围成的三角形区域区域,显然显然,当线性目标函数当线性目标函数3x-y-z=03x-y-z=0经过点经过点B(2,2)B(2,2)时时,z,z有最大有最大值值z zmaxmax=3=32-2=4.2-2=4.532(2011四川卷)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z为()A4650元B4700元C4900元 D5000元