人教A版高二数学求曲线的方程

1曲线和方程曲线和方程求曲线的方程（一）23f(x,y)=00 xy 1坐标法与解析几何的研究对象(1)坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法(2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何4法法二二:若若没没有有现现成成的的结结论论怎怎么么办办?需需要要掌掌握握一一般般性性的的方方法法 待定系数法待定系数法5我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件1 1 1 1这种求曲线的方程的方法叫：直接法直接翻直接翻译法译法6求曲线方程的基本步骤求曲线方程的基本步骤:1.1.建立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；建立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；2.2.设出曲线上任意一点设出曲线上任意一点M M的坐标；的坐标；3.3.写出适合条件写出适合条件p p的点的点M M的集合的集合P=M/p(M)P=M/p(M)；4.4.用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0f(x,y)=05.5.化方程化方程f(x,y)=0f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；6.6.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。上。7课本例课本例最为核心的是：最为核心的是：1.找等量列方程；找等量列方程；2.化简；化简；3.去杂补漏去杂补漏8xy0(0,2)(,)x ylB9例例1.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一点到每一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建建立适当的坐标系，求这条曲线的方程立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式列式3）代换）代换4)化简化简5）审查）审查(0,2)AMB1）建系设点）建系设点因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0,所以曲线的方程是所以曲线的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，10 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等点所要适合的条件列出等式式，是求曲线方程的，是求曲线方程的重要环节重要环节，在这里常用到，在这里常用到一些基本公式，如一些基本公式，如，等等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.1112 变式练习变式练习2:2:已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程222 5x y 13 解题过程 以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)由ABC是直角三角形可知|OC|OB|a，C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点)，C点的轨迹方程为x2y2a2(xa)222 5x y 14 题后感悟如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征 要注意：去杂补漏，如要注意：去杂补漏，如三点不共线，三点不共线，斜率是否存在，分母为斜率是否存在，分母为0，圆周角，圆周角90度不包括直径端点，变形过程是否等度不包括直径端点，变形过程是否等价。价。15.B例例2、动点、动点M与距离为与距离为2a的两个定点的两个定点A，B的连线的连线的斜率之积等于的斜率之积等于-1/2，求动点，求动点M的轨迹方程。的轨迹方程。.AM解解:如图如图,以直线以直线AB为为x轴轴,线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线为为y轴轴,建立平面直角坐标系，则建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则是轨迹上的任意一点，则)1(a a)(x xa a2 2y yx x:化化简简，得得.2 21 1a ax xy ya ax xy y,2 21 1k kk ka a)(x x,a ax xy yk k,a ax xy yk k2 22 22 2M MB BM MA AM MB BM MA A由上可知，动点由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（迹上。所以，方程（1）就是动点）就是动点M的轨迹方程。的轨迹方程。16 题后感悟(1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁(2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征17 变式：已知B(1,0)，C(2,0)是ABC的顶点，ACB2ABC.求顶点A的轨迹方程18 解题过程1920212223 题后感悟(1)本例用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系式列方程求解(2)注意：列方程时，如果出现分母，要考虑可能为零的情况，如在本例中，分x2和x2两种情况讨论，并且据等量关系式和图象，又可判断x1.这些隐含的约束条件不仅要挖掘出来，还要在求出的方程中标示出来24（代入法）,(5,0),(5,0),(0),A B CABA CB CmmC练 习 1、已 知的 两 个 顶 点的 坐 标 分 别 是且所 在 直 线 的 斜 率 之 积 等 于试 探 求顶 点的 轨 迹 方 程。例例3、已知、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲线在曲线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的轨的重心的轨迹方程迹方程.253.代入法代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点即利用动点P(x,y)是是定曲线定曲线F(x,y)=0上上的动点的动点,另一动点另一动点P(x，y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可把，那么可把这种依赖关系转化为这这种依赖关系转化为这4个坐标间的关系式：个坐标间的关系式：然后代入方程然后代入方程F(x,y)=0中，得到动点中，得到动点P的轨的轨迹方程迹方程.x=f(x,y),y=g(x,y)26变式：动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程27(,)0fxy方 程28几 何 意 义29(3)何时用代入法求轨迹方程？何时用代入法求轨迹方程？已知一个点在已知曲线上运动，已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点并带动另一个点M运动，在求动点运动，在求动点M的方程时，往往用代入法的方程时，往往用代入法30思考思考:(37P练习第练习第 3 题题)如图如图,已知点已知点 C 的坐标是的坐标是(2,2),过点过点 C 直线直线 CA与与 x 轴交于点轴交于点 A,过点过点 C 且与直线且与直线 CA 垂直的直线垂直的直线 CB与与 y轴交于点轴交于点 B,设点设点 M 是线段是线段 AB 的中点的中点,求点求点 M的的轨迹方程轨迹方程.xy0CBAM(,)x y几何法几何法31变式变式 练习练习 分析分析已知直角坐标平面上点已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆和圆O:动点动点M到圆到圆O的切线长与的切线长与|MQ|的比等于常数的比等于常数 求动点求动点M的轨迹方程的轨迹方程221.xy(0),0 xyMNQ32例例3、求抛物线、求抛物线 的顶的顶点的轨迹方程。点的轨迹方程。22(21)1()yxmxmmR334.参数法参数法:当动点当动点P的坐标的坐标x,y之间的直接关系不易建立之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量时，可适当地选取中间变量t，并用，并用t表示动点表示动点的坐标的坐标x,y，从而得到，从而得到动点轨迹的参数方程：动点轨迹的参数方程：消去参数消去参数t，便得到动，便得到动点的轨迹的普通方程。点的轨迹的普通方程。相关练习相关练习:课本课本P37-B组组T1归纳：归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。线段长度等。按 某 中 规 律 运 动34（直接法）22(3)4 8xy35()()xf tyg tNoImageM点,)xy坐 标(36371.1.求曲线的方程的一般步骤：求曲线的方程的一般步骤：建、设（建系设点）建、设（建系设点）限（找等量关系）限（找等量关系）代（几何条件代换成代数结果代（几何条件代换成代数结果列方程）列方程）化（化简方程）化（化简方程）验（验（查漏补缺查漏补缺）-M(x,y)-M(x,y)-P=M|M-P=M|M满足的条件满足的条件 课课堂堂小小结结最为核心的是：最为核心的是：1.找等量列方程；找等量列方程；2.化简；化简；3.去杂补漏去杂补漏38C曲线,xy 的 制 约 条 件代 数 意 义2.“数形结合数形结合”数学思想的基础数学思想的基础39 3.建立适当的坐标系(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；(4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系回到原来总结的位置回到原来总结的位置