5_1多边形与平行四边形

第五单元四边形第18讲多边形与平行四边形考纲要求命题趋势1理解多边形的相关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会实行相关的计算与证明2掌握平行四边形的概念及相关性质和判定，并能实行计算和证明3理解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否实行镶嵌.中考命题多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定另外，平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合使用水平.知识梳理一、多边形的相关概念及性质1多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形对角线：连接多边形_的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线正多边形：各个角都_，各条边都_的多边形叫做正多边形2性质n边形过一个顶点的对角线有_条，共有_条对角线；n边形的内角和为_，外角和为360.二、平面图形的密铺(镶嵌)1密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的_2平面图形的密铺正三角形、正方形、正六边形都能够单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也能够密铺平面三、平行四边形的定义和性质1定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2性质(1)平行四边形的对边_(2)平行四边形的对角_(3)平行四边形的对角线_(4)平行四边形是中心对称图形四、平行四边形的判定1两组对边分别_的四边形是平行四边形2两组对边分别_的四边形是平行四边形3一组对边_的四边形是平行四边形4对角线相互_的四边形是平行四边形5两组对角分别_的四边形是平行四边形自主测试1正八边形的每个内角为()A120 B135 C140 D1442一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为()A2 B3 C4 D63已知ABCD的周长为32，AB4，则BC()A4 B12 C24 D284如图，在ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BEDF，若EBF45，则EDF的度数是_.5如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为_(填一个即可)6如下列图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点求证：(1)AFDCEB；(2)四边形AECF是平行四边形考点一、多边形的内角和与外角和【例1】某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是()A5 B6 C7 D8解析：多边形的外角和是360，不随边数的改变而改变设这个多边形的边数是x，由题意，得(x2)1803360，解得x8.答案：D方法总结 要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数特别地，正多边形的每个外角等于.触类旁通1 正多边形的一个内角为135，则该多边形的边数为()A9 B8 C7 D4考点二、平面的密铺【例2】以下多边形中，不能够单独铺满地面的是()A正三角形 B正方形C正五边形 D正六边形解析：要解决这类问题，我们不妨设有n个同一种正多边形围绕一点密铺，它的每一个内角为，则有n360，所以n360，要使n为整数，只能取60，90，120.也就是说只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形能够单独密铺地面，其他的正多边形是不能够密铺地面的答案：C方法总结 判断给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角触类旁通2 按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能实行平面镶嵌(即平面密铺)的有_(写出所有准确答案的序号)考点三、平行四边形的性质【例3】如图，已知E，F是ABCD对角线AC上的两点，且BEAC，DFAC.(1)求证：ABECDF；(2)请写出图中除ABECDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)分析：(1)根据平行四边形的性质可知对边平行且相等，又BEAC，DFAC，能够利用“AAS”证明ABE与CDF全等；(2)图中有三对全等三角形，写出其他两对即可证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.BAEFCD.又BEAC，DFAC，AEBCFD90.ABECDF.(2)ABCCDA，BCEDAF.方法总结 1利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数2利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等来解决触类旁通3 如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AECF.求证：EBFFDE.考点四、平行四边形的判定【例4】如图，在ABCD中，DAB60，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AEAD，CFCB.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“DAB60”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCBDAB60，ADECBF60.AEAD，CFCB，AED，CFB是正三角形在ABCD中，ADBC，EDBF.EDDCBFAB，即ECAF.又DCAB，即ECAF，四边形AFCE是平行四边形(2)上述结论还成立证明：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCBDAB，ADBC，DC綊AB.ADECBF.AEAD，CFCB，AEDADE，CFBCBF.AEDCFB.又ADBC，ADECBF.EDFB.DCAB，EDDCFBAB，即ECFA，EC綉AF.四边形EAFC是平行四边形方法总结 平行四边形的判定方法：(1)假设已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；(2)假设已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；(3)假设已知条件与对角线相关，常考虑证对角线互相平分触类旁通4 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AFCE，BHDG.求证：GFHE.1(2012江苏无锡)若一个多边形的内角和为1 080，则这个多边形的边数为()A6 B7 C8 D92(2012浙江杭州)已知ABCD中，B4A，则C()A18 B36 C72 D1443(2012四川巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是()A两组对边分别平行B一组对边平行另一组对边相等C一组对边平行且相等D两组对边分别相等4(2012湖南怀化)如图，在ABCD中，AD8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF_.5(2012四川广安)如图，四边形ABCD中，若去掉一个60的角得到一个五边形，则12_.6(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40，则这个多边形的边数是_7(2012广东湛江)如图，在ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AECF.求证：(1)ABECDF；(2)四边形BFDE是平行四边形1如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20，再前进5米后又向右转20，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了()A60米 B100米C90米 D120米2如图，在周长为20 cm的ABCD中ABAD，AC，BD相交于点O，OEBD交AD于点E，则ABE的周长为()A4 cm B6 cmC8 cm D10 cm3如图，ABCD中，ABC60，E，F分别在CD，BC的延长线上，AEBD，EFBC，DF2，则EF的长为()A2 B2C4 D44如图，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG4，则CEF的周长为()A8 B9.5 C10 D11.55如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是()A180 B220C240 D3006如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，AC，BD相交于点O.若AC6，则线段AO的长度等于_7如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有_个8如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，12.求证：ABECDF.9已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD相交于点O，BODO.求证：四边形ABCD是平行四边形参考答案导学必备知识自主测试1B2B3B4455ADBC(或ABCD)6证明：(1)在ABCD中，ADCB，ABCD，DB.又E，F分别是AB，CD的中点，DFCD，BEAB.DFBE.AFDCEB.(2)在ABCD中，ABCD，ABCD，由(1)得BEDF，AE綉CF.四边形AECF是平行四边形探究考点方法触类旁通18触类旁通2根据镶嵌的条件可知单独一种图形，能够实行镶嵌的有，而正三角形不能只通过平移来镶嵌所以只通过平移方式就能实行平面镶嵌的只有.触类旁通3证明：连接BD交AC于O点如下列图四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.又AECF，OEOF.四边形BEDF是平行四边形，EBFFDE.触类旁通4分析：要证明GFHE，关键是说明四边形EGFH是平行四边形，此题出现了对角线，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明证明：ABCD中，OAOC，AFCE，AFOACEOC，OFOE.同理得，OGOH.四边形EGFH是平行四边形GFHE.品鉴经典考题1C设多边形的边数为n，由题意得：(n2)1801 080，所以n8.2B四边形ABCD是平行四边形，CA，BCAD，AB180.B4A，A36，CA36，应选B.3B因为一组对边平行另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以B项的条件不能判定一个四边形是平行四边形44因为AD8，所以BC8；点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为CBD的中位线，则EFBC4.5240122180(18060)240.69因为360409，所以这个多边形的边数是9.7证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AC.在ABE与CDF中，ABECDF(SAS)(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC且ADBC.AECF，DEBF.又DEBF，四边形BFDE是平行四边形研习预测试题1C2D3B4A四边形ABCD为平行四边形，ADBC，BCAD9.DAFAEB.AF是BAD的平分线，BAFDAF.AEBBAF.BEAB6.EC3.在RtABG中，AG2，AE4.易证ABEFCE，得，EF2，可证CFEC3.CEF的周长为8.5C6371008证明：四边形ABCD是平行四边形，BD，ABDC.又12，ABECDF.9证明：ABCD，12.在ABO和CDO中，ABOCDO(ASA)，AOCO.BODO，四边形ABCD是平行四边形