集合与常用逻辑

一、集合与常用逻辑1四种命题空集子集A U B :任意x w A n x w BA n B = A o A U B A u B = B o A U Bf(x)奇函数原命题 逆否命题 否命题 逆命题2 .充分必要条件：p是q的充分条件 p是q的必要条件： p是q的充要条件：3. 复合命题的真值-1 q q真(假)O “ ”假(真)p、q同真O “pAq”真p、q都假O “pVq”假4. 全称命题、存在性命题的否定二、函数概念与性质1.奇偶性轴对称f(x)图象关于原点对称2.单调性nf(x)增函数：x Vx f(x)Vf(x)1 2 1 2或x xf(x) f(x) f(x)奇函数，在x=0有定义f(0)=0 “奇+奇奇”(公共定义域内)f (X1) - f (X2) 0V Vf(x) 减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域 f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法“增+增=增” 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反3. 周期性T是f(x)周期o f(x+T)二f(x)恒成立(常数4. 二次函数解析式： f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x)(x-x)对称轴：bx =2 a顶点：b 4 ac b 22a，4a单调性：a0, ( gbx =2a，2 a 递减-2-，2a4 ac b 2f(x)minmin4a) 递增of(x)=ax2+bx+c 是偶函数b=0b=0奇偶性 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法- 注意对称轴与区间的位置关系o注：一次函数 f(x)=ax+b 奇函数三、基本初等函数a 0 = 1 (a 丰 0)1指数式log N = b o2对数式aa b = N(a0,aH1)log MN = logaaM + log Nalog M = log M log Na N a alog b = logmb = lgb alog M n = n log Maalog a lg amlog al o gb = l o g bnaa nlo g1= 0 l o ga =1 al oagN = N注：性质 aaalgN = log N lg2+lg5 =1常用对数 10 ，自然对数In N = log NeIn e = 13.指数与对数函数y=ax与y=logxaQa 1定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与y=log x图象关于y=x对称a(互为反函数)|0aJL11y = X 2, y = x 3, y = x 2, y = x-14.幂函数y 二 x a在第一象限图象如下1.描点法函数化简定义域讨论性质(奇偶、单调) 取特殊点如零点、最值点等2.图象变换平移伸缩对称“左加右减，上正下负”y = f (x) t y = f (x + h)1y = f (x)- 每一点的横坐标变为原_来倍_ y“对称谁，谁不变，对称原点都要变”y=f (x) x轴 Ty = -f (x)y = f (x) y轴 y = f (-x)y = f (x)- 原点 t y = -f (-x)注：y = f (x)直线-y = f (2 a - x)翻折：y=f (x)- y Tf (x)| 保留轴上方部分，x并将下方部分沿 轴翻折到上方轴右边部分，y = f(x)- y 二 f (| x |)保留并将右边部分沿 y 轴翻折到左边3零点定理全 f (a) f (b) 0y = f (x) (a,b)出若争上若 ，则 在 内有零点f (x) a, b条件： 在 上图象连续不间断)f (x)f (x) = 0注：零点：的实根a，b f (x) f (a) f (b) 0 在上连续的单调函数，f(x) (a,b)则在上有且仅有一个零点 二分法判断函数零点一f (a) f (b) 0f (x)单调性：如果，则为增函数f(x) 0, A 0极值情况：A 0 O f (x)有极值A - 0 O f (x)无极值 5定积分a 0定理：性质：j bf (x)dx = F (b) - F (a)甘由 F (x) = f (x)a 其中jb kf (x)dx = kjb f(x)dxa a( k 为常数)jb f (x) 土 g (x)dx = jbf (x)dx jbg (x)dx a应用：由直线x = a, x=b, x轴及曲线y=f(x)1概念2弧长3定义S = J b456f ( x)dxafb f (x) dx - J如图， f2(x) 围(f(x)20)围成曲边梯形面积l0a1=a 1(2 k兀第二象限角sina曲线yi = 在a, b上 成图形的s梯形 AMNB曲b f ( x ) dxa2六、三角函数兀,2 k兀+兀)k G Z2 (S =1 Ir2面积s=s曲曲边梯形 DMNCf1(x)，y2 =扇形面积cosatanaPO = r其中P(X，y)“一正全、a 是 终边上一点正弦、三正切、四余弦” 诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”Sin (2兀-a) = sin a cos(兀 /2 + a) = -sin a如，基本公式符号sina.-=tan a同角sm 2 a + cos 2 a = 1 cos asin (a P)= sin a cos 卩 土 cos a sin 卩和差cos(a P)= cos a cos P + sin a sin Ptan(aP)=atan 弓1 + tan a tan Psin 2a = 2 sin a cos a倍角coS2a=cos asin a 二2cos al=l2sin atan 2a =2 tan a1 tan2 a1 + cos 2a1 cos 2a降幂 cos2a =2sin2a =2sin a + cos a= /2 sin（a + 兀）叠加斗兀j3 sin a cos a = 2 sin（a ）a sin a + b cosa = J a 2 + b2 sin（a + 申）（tan 申=；） 9解三角形基本关系： sin（A+B）=sinC cos（A+B）=-cosC.a + B Csin= cos tan（A+B）=-tanCa b c正弦定理：sin A = sin B = sin Ca = 2 R sin A a : b : c = s i nA : s i nB : s i nC余弦定理： a2=b2+c22bccosA （求边）b 2 + c 2 a 2cosA=2bc（求角）面积公式： S 人=二absinC2AABCA B o sin A 2)nn 14、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、不等式1一元二次不等式解法若a 0, ox2 + bx + c = 0有两实根8卩Q 0 解集（一也 d）（卩,+8）注：若a 0情况2其它不等式解法转化x a oa x a O x2 a x a 或 x 0 g(x)f (x)g ( x) 0a f (x) a g(x) o f (x) g(x)log f (x) log g (x) oaa基本不等式a2 + b2 2aba, b e R+若，则2a1)f ( x ) 0 f ( x) g( x)0 a 2 Jab ab 0表示直线哪一侧的平面区域注：直线同侧所有点的坐标代入 Ax + By + C ，得到实数的符号都相同线性规划问题的一般步骤： 设所求未知数；列约束条件（不等式组）;建立目标函数；作可行域；求最优解x 一 4 y 3x 9 y3x + 5 y 1求z=2 x+y最值当1 过 A(5,2)时，z 最大当1 过 B (1,1)时，z 最小九、复数与推理证明1复数概念z = a + bi复数：分类：实数（b = 0e R)(a,bb丰0，实部a、虚部b相等：z注：实、虚部分别相等），虚数（），复数集 C是纯虚数 a = 0, b丰0共轭：z = a - bi 模z = J a 2 + b 2 z z = z复平面：复数 z 对应的点 2复数运算加减：( a+bi)(c+di)=？乘法：( a+bi)( c+di)=？a + b (a + bi)(c - di)除法：c + di = (c + di)(c - di)=“i2 = -1in = i 4k+r = i r乘方： ， 3合情推理 类比：特殊推出特殊 归纳：特殊推出一般 演绎：一般导出特殊（大前题小前题结论） 4直接与间接证明 综合法：由因导果 比较法：作差变形判断结论 反证法：反设推理矛盾结论 分析法：执果索因分析法书写格式：要证A为真，只要证B为真，即证， 这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5数学归纳法：（1）验证当 n=1 时命题成立 ,假设当n=k(k eN* , k1)时命题成立,证明 当 n=k+1 时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立注：用数学归纳法证题时，两步 缺一不可，归纳假设必须使用 三算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等2多项式f(x)= a xn+a-1+題x+a“的求值n n-110秦九韶算法： v1=anx+an1 v2=v1x+an2v3=v2x+an3v =vnn 1x+a注：递推公式 vo=an Vk=Vkix+ank(k=12n)求f(x)值，乘法、加法均最多n次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：a a a a (k) = a x kn + a x kn-1 +a x k + an n-11 0nn-110十进制数转换成k进制数：“除k取余法”例 1 辗转相除法求得 123和 48 最大公约数为3例2已知f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，秦九韶算法求f2AB + BC = AC首尾相接，中点公式:AB + AC = 2AD。DOB - OC CBBC是 中点共始点ab向量数量积a - b - cos 0x x +12y1y2123 = 2X48+2748 = 1X27+2127=1X21+621 = 3X6+36=2X3+0v=2O v=2X55=51 v=5X 5 4=212 v=21X5+3=1O83v=1O8X 5 6=5344v=534X 5+7=26775十一、平面向量1向量加减 三角形法则，平行四边形法则a , b注：夹角：Oowewi8o。a, ba b = a b 同向：a=Xe +九 e e,e3基本定理1 12 2 ( 1 2 不共线-基底)a b a = x b o平行：x y = x y b 丰 01 2 2 1 ( )垂直：0丄方a b 0 o x x + y y = 01 2 1 2模：(a + b )2夹角：0注：i a ii b iC c2 C b)cc （结合律）不成立ab - ac = b - c消去律）不成立十二、立体几何1三视图 正视图、侧视图、俯视图/X OY2.直观图：斜二测画法=45。平行X轴的线段，保平行和长度平行 Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半3.体积与侧面积4VnR3V =S h1V 1S h柱底锥 =3 底球= 3兀rl兀(R + r)l4n R 2S=S =S =圆锥侧圆台侧球表4.公理与推论确定一个平面的条件：不共线的三点 一条直线和这直线外一点 两相交直线 两平行直线 公理：平行于同一条直线的两条直线平行 定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5. 两直线位置关系 相交、平行、异面6.直线和平面位置关系异面直线不同在任何一个平面内a / a7平行的判定与性质线面平行：a b b ua，aa a,a a a u B, B na=b n a b,面面平行：ABa AC an ABC a, 平面a Ba uan a B,8垂直的判定与性质PO线丄理：，AO丄a n PA丄ap丄AB, p丄AC n p丄面ABC线面垂直：a丄a，a u卩n卩丄a面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直PO 丄 a，PA 丄 a n AO 丄 a在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？ 9空间角、距离的计算异面直线所成的角范围（0，90平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理 直线和平面所成的角 范围0，90定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围0，180定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形 点到平面的距离体积法-用三棱锥体积公式 注：计算过程，“一作二证三求”， 都要写出 10立体几何中的向量解法n法向量求法：设平面 ABC 的法向量 =（x,y）n 丄 ab, n 丄 acn ab 二 o, n ac 二 on解方程组，得一个法向量n ,nl ,l线线角：设 1 2 是异面直线 1 2 的方向向量，cos 12l l0 COS9 =1 2 所成的角为 ，则l ,l即 1 2 所成的角等于 n, n12-12n设aABa是平面是平面的法向量，ABa0一条斜线，与平面所成的角为 ，abnsin 0 = cos=则abnn , na,p二面角：设 l 2是面的法向量， cos0=cos n , n cos nl2或l线面角：即二面角大小等于或”-2点到面距离：n若 是平面的法向量，AB*a是平面的一条斜线段，aA则点 到平面AB nd =的距离一n十三、直线与圆0,兀）1、倾斜角 范围k = tan a斜率y - y=2 1X X21注：直线向上方向与90 倾斜角为2、直线方程 y-y 点斜式0轴正方向所成的最小正角时，斜率不存在，斜截式y = kx + by-y两点式 =y - y21Ax + By + C 0一般式X-X1X - X21x + y -1 截距式a万X注意适用范围：不含直线 3、4、x 不含垂直 轴的直线 不含垂直坐标轴和过原点的直线 位置关系（注意条件）O k k b平行1Okk垂直1 2距离公式21=-1b2O AA + BB = 0垂直1212/(x _ x )2 + (y _ y )2两点间距离：|AB|=1212d =点到直线距离：Ax + By + C0 0(x 一 a)2 + (y 一 b)2 r 25、圆标准方程：圆心(a,b)，半径x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0圆一般方程： (条件是？(DE)圆心空，-2)半径r6、直线与圆位置关系位置关系相切相交丫相离几何特征d - rd r代数特征= 0 0|F1F2|)1 2 1 2双曲线：IPFJ-IPFqU2&(02&b0)x2y 2双曲线a2 b2(a0,b0)中心原点 对称轴？ 焦点 F1(c,0)、F2(-c,0)12顶点：椭圆(土a,0),(0, 土b),双曲线(土a,0) 范围：椭圆-axa,-by a, yeR焦距：椭圆2c (c= a2 - b2 )双曲线 2c (Ca2 + b2 )2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率： e=c/a 椭圆 0e1二-Z2 = 1y = bx注：双曲线a2 b2渐近线amx 2 + ny 2方程mx2 + ny 2方程抛物线 y2=2px(p0)开口（向右）范围x0离心率e=11表示椭圆o m n m丰n1表示双曲线o mn 0ip + p HF p = 11 2 nnn平均值)D( X) 一 x E( X )2 p + x E( X )2 p + +x E(X)2 p1 1 2 2 n n性质：E (ag + B) = aEg + b D (+ b) = a 2 Dg常用分布两点分布：，二项分布 B(n,p): E(X) = Np , D(X) = Np(1 p)P(X = k) = C k pk qNkN超几何分布H (N, M n)E(乂)一 N MM M、N 一 nE(X) - 瓦D(X) = “ - -(1 - -)-百p(x - k) = ?71一(X-卩)2E一 2b2 , X G (8, +8)X对称，曲线与 轴围成面积为 1变量在区间(a,b)内取值的概率等于密度曲线与X轴、直线X = a、X = b所围成曲边梯形的面积图中阴影部分面积表示概率戶（x x。）8标准正态分布：E(X)二 0, D(X)二 1P(x a) =* (a)可查表P (a X b) =e (b)-e (a)a 0,e (a) = 1 e (a)a = 0,e (0) = 0.5正态分布N(卩Q):E(X)二卩,D(X) =o2P(X a)二 F(a)討(a 卩)oP (a X a) = 1 P (X a)