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课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1.3.2 奇偶性奇偶性第第1 1课时课时 函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2掌握判断函数奇偶性的方法掌握判断函数奇偶性的方法3了解奇函数和偶函数的图象的特点了解奇函数和偶函数的图象的特点课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念(1)偶函数：如果对于函数偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内_一个一个x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数(2)奇函数：如果对于函数奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内_一个一个x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数2奇、偶函数的图象奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于偶函数的图象关于_对称对称(2)奇函数的图象关于奇函数的图象关于_对称对称自学导引自学导引任意任意f(x)f(x)任意任意f(x)f(x)y轴轴原点原点课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴轴上所示的区间是否关于原点对称呢？上所示的区间是否关于原点对称呢？答答：由定义知，若：由定义知，若x是定义域内的一个元素，是定义域内的一个元素，x也一定是定义域内的一个元素，所以函数也一定是定义域内的一个元素，所以函数yf(x)具有具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所轴上所示的区间关于原点对称即：如果所给函数的定义域示的区间关于原点对称即：如果所给函数的定义域在在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性例如：函数定不具有奇偶性例如：函数f(x)x3在在R上是奇函数，上是奇函数，但在但在2,1上既不是奇函数也不是偶函数上既不是奇函数也不是偶函数自主探究自主探究课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升2有没有既是奇函数又是偶函数的函数？有没有既是奇函数又是偶函数的函数？答答：有如：有如f(x)0，x(5,5)课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1函数函数f(x)xx3的奇偶性为的奇偶性为()A奇函数奇函数 B偶函数偶函数C既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数非奇非偶函数解析解析：函数的定义域为函数的定义域为R，且，且f(x)xx3(xx3)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数答案答案：A预习测评预习测评课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升2下列图象表示的函数中具有奇偶性的是下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升解析解析：图象关于原点或：图象关于原点或y轴对称的函数具有奇轴对称的函数具有奇偶性选项偶性选项A，D中的图形关于原点或中的图形关于原点或y轴均不对称，轴均不对称，故排除；选项故排除；选项C中的图形虽然关于坐标原点对称，中的图形虽然关于坐标原点对称，但是过但是过(0，1)和和(0,1)两点，这说明当两点，这说明当x0时，时，y1，不符合函数的概念，不是函数的图象，故排，不符合函数的概念，不是函数的图象，故排除；选项除；选项B中图形关于中图形关于y轴对称，是偶函数故选轴对称，是偶函数故选B.答案答案：B课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升3已知函数已知函数yf(x)为奇函数，若为奇函数，若f(3)f(2)1，则则f(2)f(3)_.解析解析：函数：函数yf(x)为奇函数，故为奇函数，故f(x)f(x)，则则f(2)f(3)f(2)f(3)1.答案答案：14如果定义在区间如果定义在区间2a,4上的函数上的函数f(x)为偶函为偶函数，那么数，那么a_.解析解析：因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原：因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以点对称，所以2a4，a6.答案答案：6课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1函数奇偶性定义的理解函数奇偶性定义的理解(1)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的区间上函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部局部”性质，而奇偶性是函数的性质，而奇偶性是函数的“整体整体”性质，只有对定义性质，只有对定义域中的每一个域中的每一个x，都有，都有f(x)f(x)或或f(x)f(x)，才能说才能说f(x)是奇是奇(偶偶)函数函数要点阐释要点阐释课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件由函数奇偶性的定义知，若提条件由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的是定义域中的一个数值，则一个数值，则x必然在定义域中，因此，函数必然在定义域中，因此，函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称换言之，若域在数轴上所示的区间关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性如函数具有奇偶性如函数y2x在在(，)上是奇函数，上是奇函数，但在但在2,3 上则无奇偶性可言上则无奇偶性可言(3)既奇又偶函数的表达式是既奇又偶函数的表达式是f(x)0，xA，定，定义域义域A是关于原点对称的非空数集是关于原点对称的非空数集(4)若奇函数在原点处有定义，则有若奇函数在原点处有定义，则有f(0)0.课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升2用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数又偶函数、非奇非偶函数(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件提条件)，然后再确定，然后再确定f(x)与与f(x)的关系：若的关系：若f(x)f(x)，则此函数为奇函数；若，则此函数为奇函数；若f(x)f(x)，则，则此函数为偶函数；若此函数为偶函数；若f(x)f(x)，同时，同时f(x)f(x)，则此函数为既奇又偶函数，则此函数为既奇又偶函数课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升3奇、偶函数的图象特征奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形反之，是以坐标原点为对称中心的中心对称图形反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数心对称图形，则这个函数是奇函数课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于关于y轴成轴对称图形反之，如果一个函数的图象轴成轴对称图形反之，如果一个函数的图象关于关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在需通过研究函数在0，)(或或(，0)上的情形，上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象或图象)(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在对称的的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在对称的两个区间上的单调性是相反的两个区间上的单调性是相反的课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升题型一函数奇偶性的判断题型一函数奇偶性的判断【例例1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；典例剖析典例剖析课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升解解：(1)函数定义域为函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(2)函数的定义域为函数的定义域为x|x1不关于原点对称，不关于原点对称，函数函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数此时此时f(x)0，x1,1f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升点评点评：(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，简，再找再找f(x)与与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若变形形式：若f(x)f(x)0，则，则f(x)为奇函数；若为奇函数；若f(x)f(x)0，则，则f(x)为偶函数为偶函数课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升解解：(1)f(x)定义域为定义域为R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)为奇函数为奇函数课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升题型二分段函数奇偶性的判断题型二分段函数奇偶性的判断解解：函数：函数f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称关于原点对称当当x0时，时，x0，则，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)当当x0，则，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当由知，当x(，0)(0，)时，时，都有都有f(x)f(x)，所以，所以f(x)为奇函数为奇函数课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升点评点评：(1)分段函数的奇偶性应分段判断分段函数的奇偶性应分段判断f(x)与与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性系时，才能判断其奇偶性(2)若若f(x)是定义在是定义在R上的奇函数时必有上的奇函数时必有f(0)0.(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断象的对称性加以判断课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升解解：函数：函数f(x)的定义域是的定义域是R，关于原点对对称，关于原点对对称，当当x0，f(x)x1(x1)f(x)，另一方面，当另一方面，当x0时，时，xf(3)点评点评：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称轴对称课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升3设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为5,5，当，当x 0,5时，函数时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数的图象如图所示，则使函数值值y0的的x的取值集合为的取值集合为_课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升解析解析：由原函数是奇函数，所以：由原函数是奇函数，所以yf(x)在在5,5上的图象关于坐标原点对称，由上的图象关于坐标原点对称，由yf(x)在在0,5上的图上的图象，得它在象，得它在5,0上的图象，如图所示由图象知，上的图象，如图所示由图象知，使函数值使函数值y0的的x的取值集合为的取值集合为(2,0)(2,5)答案答案：(2,0)(2,5)课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升误区解密判断函数奇偶性时，误区解密判断函数奇偶性时，因忽略定义域而出错因忽略定义域而出错课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升错因分析错因分析：错解中没有判断函数：错解中没有判断函数f(x)的定义域的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性正解正解：函数：函数f(x)的定义域为的定义域为x|1x1，不关，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数数纠错心得纠错心得：判断所给函数的奇偶性时，在求出：判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论课前自主学习课前自主学习课堂讲练互动课堂讲练互动课后智能提升课后智能提升1在奇函数与偶函数的定义域中，都要求在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件失去了是奇函数或是偶函数的条件2解题中可以灵活运用解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性对奇偶性作出判断作出判断3奇函数奇函数f(x)若在若在x0处有意义，则必有处有意义，则必有f(0)0.课堂总结课堂总结
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