复变函数泰勒级数展开.ppt

3.3 泰勒级数展开 3.3 泰勒级数展开 通过对幂级数的学习 ， 我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数 。 现在我们来研究与此相反的问题 ， 就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示 ？ 这个问题不但有理论意义 ， 而且很有实用价值 . 3.3.1泰勒级数 泰勒 ( T a y l o r ) 展开定理 设 ()fz 在 区域 D ： 0|z z R 内 解析，则在 D 内 ()fz 可展为泰勒级数 00 0 ( ) ( ) , ( | | )nn n f z a z z z z R ( 3 . 3 . 1 ) 其中 () 0 1 0 ()1 ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) 2 i ( ) ! n n n C fzfd an zn , 且展式是唯一的 。 特别地， 当 0 0z 时，级数 () 0 ( 0) ! n n n f z n 称为 麦克劳林 级数 。 0 z z R C 【 证明 】 设函数 ()fz 在区域 D ： 0z z R 内解析，任取一点 D ，以 0z 为 中心， 为半径 ( R ) 作圆周 C : 0z ，如图 由柯西积分公式知 1 ( )( ) d 2 i C ffz z ( 3 . 3 .2 ) 0zz 0z 0 0 1zz z 00 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 zzz z z z z z 0 1 , ( | | 1 ) 1 n n zz z 其中 z在 C的内部 ,，而 在 C上取值 , C取逆时针正方向 . 故 从而 因为 根据 2 0 0 0 1 00 0 0 0 ()11 1 () n n n z z z z z z z z z z z 以此代入 ( 3 . 3 . 2 ) ，并把它写成 0 0 0 1 1 ( ) d 2 i ( ) ( ) ( ) n n n C fz f z z z 利用 解析函数的高阶导数公式，上式 即为 0 0 ( ) ( ) nn n f z a z z ( 3 . 3 . 3 ) 其中 () 0 1 0 ()1 ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) 2 i ( ) ! n n nC fzfd a zn ( 3 . 3 . 4 ) 这样便得到了 ()fz 在圆 0|z z R 内的幂级数展 开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性 。 假设 ()fz 在 0|z z R 内可展开为另一展开式 0 0 ( ) ( ) nn n f z b z z ( 3 . 3 . 5) 两边逐项求导，并令 0zz 可得到系数 0() , ( 0 , 1 , 2 , ) ! n nn fz b a n n ( 3 . 3 . 6 ) 故展开式系数 是唯一的。 泰勒展开 定理本身提供了一种展开方 法，即求出 () 0()nfz 代入即可，这种方法称 为 直接展开法 . 3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法 例 3.3.1 在 的邻域上把 展开。 0 0z () zf z e 解：函数 的各阶导数 而 () zf z e () ()kzf z e ( ) ( )0( ) (0 ) 1kkf z f 故 在 领域上的泰勒级数写为 () zf z e 0 0z 23 1 1 ! 2 ! 3 !z z z ze 易求收敛半径无限大 例 3.3.2 在 的邻域把 和 展开。 0 0z 1 ( ) s inf z z 2 ( ) c o sf z z 1 ( ) c osf z z 1 ( ) s i nf z z ( 3 )1 ( ) c o sf z z ( 4 )1 ( ) si nf z z 解： 函数 的前四阶导数分别为 1 ( ) s inf z z 由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。 且在 有 0 0z 1 (0) 1f 1 (0) 0f ( 3 )1 ( 0 ) 1f ( 4 )1 (0 ) 0f 故有 3 5 7 s in 1 ! 3 ! 5 ! 7 ! z z z zz 同样的方法，可求得 在 邻域上的泰勒级数 cosz 0 0z 2 4 6 c o s 1 2 ! 4 ! 6 ! z z zz 容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。 例 3.3.3 在 的邻域把 展开。 0 1z ( ) lnf z z 解：多值函数 的支点在 现在展开中心 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 ( ) lnf z z 0,zz 0 1z 1( )fz z 2 1!( )fz z ( 3 ) 3 2!()fz z ( ) lnf z z (1) 1f ( ) 1 !fz ( 3 ) ( ) 2 !fz ( 1 ) l n 1 2f n i 于是可写成 在邻域上的泰勒级数 0 1z 23 2 3 4 1 1 ! 2 ! l n l n 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ! 2 ! 3! ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 4 z z z z z z z n i z 可以求得上式的收敛半径为 1。因此 23( 1 ) ( 1 ) l n 2 ( 1 ) ( 1 ) 23 zzz n i z z 上式 n 0的那一个单值分支叫作 的 主值 。 lnz 例 3.3.3 在 的邻域把 展开（ m不是 正整数）。 0 0z ( ) (1 ) mf z z 解：先计算展开系数 ( ) (1 ) mf z z 1( ) (1 ) mf z m z 2( ) ( 1 ) ( 1 ) mf z m m z ( 3 ) 3( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) mf z m m m z (0) 1mf ( 0 ) 1 mfm ( 0 ) ( 1 )1 mf m m ( 3 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 mf m m m 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 ! 2 ! ( 1 ) ( 2 ) 1 3! m m m m m m m m z z z m m m z 23( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 1 ) 1 1 , ( 1 ) 1 ! 2 ! 3 ! mm m m m m m mz z z z z 易求其收敛半径为 1，故 式中 221 ( )m i n m i n mee 在许多的单值分支中， n 0那一支即 的那一个叫 作 的 主值 。上式也就是指数为非整数的 二项式 定理 。 11m (1 )mz 0 1 , 1 ; 1 n n zz z ( 3 . 3 . 7 ) 0 1 ( 1 ) , 1 ; 1 nn n zz z ( 3 . 3 . 8 ) 0 ,; ! n z n z ez n ( 3 . 3 . 9 ) 21 0 ( 1 ) sin , . ( 2 1 ) ! nn n z zz n ( 3 . 3 . 10 ) 二、当 较复杂时，求 比较麻烦。根据泰勒展式 的唯一性，因此通常用 间接展开法 ，即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数，基本展开公式如下： ()fz () 0()nfz 例 3 . 3 . 4 将函数 ( ) s i nf z z 和 ( ) c osf z z 在 0 0z 处展开成幂级数 . 解：利用 有 0 ,;! n z n zez n 00 3 5 2 1 21 0 1 1 ( ) ( ) si n ( ) ( ) 2 2 ! ! ( 1 ) 3! 5 ! ( 2 1 ) ! ( 1 ) ( 2 1 ) ! nn iz iz nn m m m m m i z i z z e e i i n n z z z z m z m 例 3 . 3 . 5 将函数 ( ) l n( 1 )f z z 在 0 0z 处展开成幂级数 . 解 : 我们知道， l n( 1 )z 在从 1 向左沿负实轴 剪开 的平面内 是解析的，而 1 是它的一个奇点，所以它在 1z 内可以展 开成 z 的幂级数 . 因为 0 1 l n( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) , 1 nn n z z z z 所以 00 0 1 0 1 l n( 1 ) d ( 1 ) d 1 ( 1 ) , 1 1 zz nn n n n n z z z z z z z n 例 3 . 3 . 6 将函数 2 1( 1 )z 在 0 0z 处 展开成幂级数 . 解 : 由于函数 2 1 ( 1 )z 在单位圆周 1z 上有一个奇 点 1z ，而在 1z 内处处解析，所以它在 1z 内可展开成 z 的幂级数 . 2 11 ( 1 ) 1zz 0 ( 1 ) nn n z 11 0 ( 1 ) , 1nn n nz z 例 3 . 3 . 7 将函数 () 1zfz z ， 在 | 1 | 2z 内 展开成幂级数 . 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) 12 2 2 1 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) , ( 1 2) 2 n n n n n n n z z z z 1( ) 1 11 zfz zz 解： 11 ( 1 ) 2z 例 3 . 3 . 8 将函数 () ( 1 ) ( 2 )zfz zz ， 在 | | 1z 内 展开成幂级数 . 解： 12() ( 1 ) ( 2 ) 1 2 zfz z z z z 00 0 11 ( / 2) 1 1 / 2 1 ( 1 ) 2 nn nn n n n zz zz z 补充 泰勒展开的方法 1、替换法 例 将函数 3 1() zfz z ， 以为 1z 中心展开为 幂 级数 . 解： 令 1z 即 33 12 ( 1 ) z z 利用 0 ( 1 ) m m k k k z a z 得到 33 0 ( 1 ) ( ) k k k a 例 3 . 3 . 8 将函数 () ( 1 ) ( 2 )zfz zz ， 在 | | 1z 内 展开成幂级数 . 12 () ( 1 ) ( 2 ) 1 2 z fz z z z z 解： 第二式中令 即可 2zt 例 3 . 3 . 7 将函数 () 1zfz z ， 在 | 1 | 2z 内 展开成幂级数 . 2、加减法 例 3 . 3 . 4 将函数 ( ) c osf z z 在 0 0z 处 展开成幂级数 。 00 2 4 2 2 0 1 1 ( ) ( ) c os ( ) ( ) 2 2 ! ! 1 ( 1 ) 2 ! 4 ! ( 2 ) ! ( 1 ) ( 2 ) ! nn iz iz nn m m m m m i z i z z e e nn z z z m z m 3、多项式乘或除 例 将函数 ( ) c o szf z e z 以 0 0z 为中 心 展开成幂级数 。 解： 2 0 ( 1 )c o s , . ( 2 ) ! nn n zzz n 0 ,;! n z n zez n 将上面两式直接相乘即可。 例 将函数 ( ) ta nf z z 以 0 0z 为中心 展开成幂级数 。 解：利用 3 5 7 s in 1 ! 3 ! 5 ! 7 ! z z z zz 2 4 6 c o s 1 2 ! 4 ! 6 ! z z zz 则 sin ta n c o s zz z 3 5 2 4 6 3 5 7 2 3 15 1 2 24 720 6 120 5040 z zz z z z z z z z 3 5 7 2 2 4 7 2 0 z z z z 3 5 7 3 5 7 3 30 720 3 6 72 z z z z z z 4、化成微分方程法 例 将函数 11() zf z e 以 0 0z 为中心 展 开成幂级数 。 解： 2 ()( ) (1 ) fzfz z 于是 2( 1 ) ( ) ( ) 0z f z f z 对上逐次求导有 2 2 ( 3 ) ( 1 ) ( ) ( 2 3 ) ( ) 0 ( 1 ) ( ) ( 4 5 ) ( ) 2 ( ) 0 z f z z f z z f z z f z f z 令 则 0z (0)fe 依次可得到 (0) 3fe ( 3 ) ( 0 ) 1 3 ,fe 3.4 解析延拓 解析延拓是唯一的 21 2 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . m m m mF z F z z z a a z z a z z 2 1 0 2 0 ( ) ( ) . . . m m m ma a z z a z z a 231 2 0 1 0 2 0 3 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . .kkF z F z a a z z a z z a z z a z z 1 2 0( ) ( ) ( ) 0m mF z F z z z a