第七章 参数估计汇总

第七章 参数估计一考研内容提要1点估计（1）点估计的定义；（2）两种方法（i）矩估计法定义及基本思想；（ii）最大似然估计法：似然函数；最大似然估计； 求法步骤2区间估计（1）置信区间定义；（2）正态总体参数的置信区间（置信度为1-Q）（见表）待估参数条件置信区间b 2已知(X 一 U = , X + U ) ? J n耳 Qnb 2未知SS(X -1 (n -1),X +1 (n -1) 耳yjn耳y/nb 2卩未知(n - 1)S 2(n - 1)S 2 )(X2(n-1) X2_(n-1)a1a2 2卩一卩1 2b 2 b 21， 1已知一b 2 b 2_fb 2 b 2(XY u f +，X Y + u+ Tnnnny 1 2 y 1 2卩一卩1 2b 2 = b 21 - 1未知(XY t(n+ n2)S1 + 1 , XY+1(n+ n2)S1 + 1 )a 12诃 n na 12叫 n n21 22V 1 2b 2 1b 221， 2未知S 21S 2(f,f F (n1,n 1)S 2 F (n -1, n -1) S 2 a 212 a 122223估计量的评价标准（1）无偏性：设6是6的估计量，如果E6 =0，则称6是6的无偏估计量。（2）有效性：设0 都是6的无偏估计量，如果虏 虏，则称较0有效。12（3）一致性（相合性）：设6 =6（X ,X ,n12则称0是0的一致（相合）估计量。n1 2 1 2,X ）是0的估计量，如果0 依概率收敛于0nn二考研题型解析1选择题例1设XN（比G2）且b 2未知,对均值卩作区间估计置信度为95%的置信区间是（）S(A)( X 土詁。25( - 1)b(B) (X 土方0.025(n - 1)S(C)(X 土亍0.025)b(D)( X 土話0解应选（A）。例2设X , X , X是总体X的样本且EX = p,DX =b 2,则下面估计量是b212n的无偏估计（ ）。(A)1 艺(X - X)2 nii=1(B) 工(X - X)2n -1ii=1(C)厶2(X -X)2n -1ii=1(D)12 (X - X )2 nii=1解应选(B)。由于ES2 =b 2,即E (亠 2 (X X )2) =b 2，故丄2 (X X )2是2的无偏估计,n-1in -1 ii =1i=1故选（B）。例3无论Q2是否已知，正态总体均值卩的置信度为1-a置信区间的中心都是()。(A)卩(B) 2(C) X(D) S2解应选(C)。例4设一批零件的长度夫从正态分布N(卩,2)，其中Ji,c2均未知，现从中抽取16个 零件，测得样本均值X二20(cm)，样本标准差s二1(cm)，则1的置信度为0.90的置信区间是( )。11(A)(20 戸(16),20 + t (16)4 0.054 0.0511(C) (20 丁 t (15),20 + 于(15)4 0.054 0.05(B) (20 11(16),20 +11(16)4 0.10 4 0.1011(D) (20 丁 t (15),20 + t (15)4 0.10 4 0.10解应选(C)。2S例5设正态总体的均值1的置信区间长度L =t (n -1)，则其置信度为()。n a(A) 1 a(B) aa(C) 1 I(D) 1 2a解应选(D)。例6设总体XN(1,G2)，其中e已知，则l当置信度变大时，总体均值1的置信区 间长度( )。(A)变长(B)变短(C)不变(D)以上说法均不对解应选(A)。例7设总体XN(1Q2)，其中c2已知，若样本容量n和置信度1-a均不变，贝y对于 不同的样本观测值，总体均值1的置信区间长度( )。(A)变长(B)变短(C)不变(D)不能确定解应选(C)。2填空题例1设有来自于正态总体XN(i ,0.92)的容量为9的样本计算得样本均值X二5，则参数卩的置信度为0.95的置信区间为。解 应填 (4.412,5.588) 。例2设X, X , , X是来自于二项分布总体XB(n, p)的简单随机样本，X和S 2分别1 2 m为样本均值和样本方差，若X + kS2为np 2的无偏估计量，则k =。解应填k = -1。例 3 设总体 X 的概率密度为f (x;0) = 30 22x2 x 0 x 0)是未知参数，X ,X ,12, X 为来自总体 X 的一个样本， n若c工X 2是0 2ii=1的无偏估计量，则c =。2解应填c =- O2 x_ 5 030 2 dx = 2 0 2，由5n由于 EX2 =f+Mx2f (x;0)dx = J20 x2 8 002 = E(c工X2) = c工EX2 = c工EX = nc - 5 02ii2i=1i=1i=1得 c=5。5n例4设总体X的概率密度为f (x)= 0“ “ x 0 例1设总体X的概率密度为f (x) = ，其中参数九(九 0)未知，0,x 0, i = 1,2, n)ni似然函数 L(九)=H f (x = Hl2 xe-xi =九 2neiiii=1i=1i=1取自然对数In L(l) = 2n In九一九工x +工In xiii=1i=1人 dln L(九)2n 寸 _令=为x二0，d九九 ii=i2解之得九的最大似然估计值为九=，从而尢的最大x2似然估计量兀-x。例2设总体X的概率密度为f (x) = f2e -2(x-0), x 00,x 0为未知参数从总体X中抽取简单随机样本X , X , X，记0 = min(X , X , X )12 n12 n(i)求总体X的分布函数F(x)；(ii) 求统计量0的分布函数F(x)；0(iii) 如果用0八作为0的估计量，讨论它是否具有无偏性。(该题还可以考虑求0的矩估计和最大似然估计)r1 e -2( x-0), x 0解(i) F(x) = J x f (t)dt =g0,x 0(ii) F (x) =P(0x) =P(minX, X , , X ) x, X x, , X x)012 n12n=1 P(X x)P(X x)P(X x) = 1 1 F(x)n12n1 e -2 n( x -0), x 00,x 60,x 0未知，X和S2分别表示样本均值和样本方差。（i）求参数02的最大似然估计量O 2 ； （ii）计算 Eo 2 和 Do 2。解（i）对于样本的一组样本值x,x，x12n-(xi -M0)22o21(o 2)-2 e-右-即G；2k )n（iii） 6的概率密度为取自然对数lnL(o2) = -nlnj2 -lno2 - (x - p )222o 2i 0i=1令常气+（门。）2=0，解之得o2的最大似然估计值为i=1O 2 = 工（x -比）2，从而o 2的最大似然估计量为02 =- 工（X ni=1i0ni=1厂气）2n02(ii)由于 -o202(X -卩)2i01X2(n)，因此Eo 2 = E (兰-空)二巴 E (忙)二巴-n = 0 2n o 2 n o 2 no 2no 2o 4no 2o 42o 4Do 2 = D( -) = E () =- 2n = 一no 2n2o 2n2n例4设X , X , X是总体X的样本，且In X服从正态分布N(卩,1)，求卩的矩估计12 n和最大似然估计。解 先求X分布函数F(x)。当x 0 时，F (x) = P(X x) = P(ln X ln x) = Jlne-于再求 X 概率密度函数 f (x)当 x 0 时，f (x) = F(x) = (Jlnx e-丁)二一i1 e-耐尹-g辺兀2兀x即 f (x) =0, 1 1 e-丁, x 0 xx 0, i = 1,2, n；i=1(阿)n 1x-i i=1取自然对数lnL卩）=nln一工 ln xii=1一 1工2i=1(ln x -卩)2 ；ii =1）令倉ln L（卩）= E（ln ）= ln X-叫0 解之得“的极大似然估计为i =1K =工 ln x。nii =1例5设总体X的概率分布为X0123P6 226 (1-6)6 21 - 261其中6（0 6 2不合题意，所以6的最大似然估计值为6八=上泸0,0 x 1例6设总体X的概率密度为f (x) = 10,1 x 2，其中0 (0 0 1)是未知参数，0, 其它X , X , X为X的样本，记N为样本值x ,x ,x中小于1的个数，求(i) 0的矩1 2 n 1 2 n估计；(ii)0的最大似然估计。解(i)由于EX =J+xf(x)dx = nx0dx + J2x(10)dx = 0 + (10) = 0g012223-3-由矩估计法，得0 = X，解之得0的矩估计为0= X(ii)对于样本的样本值x，x ,x1 2 n 似然函数 L(0 ) =H f (x ) =0 N (1 0 ) n-Nii=1 取自然对数 ln L (0) = N ln 0 + (n N )ln(1 0)dN nNN 令0 L(0 ) = 0 1= 0，解之得0的最大似然估计为0 =例7假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自于总体X的样本的样本值，已知Y = ln X服从正态分布N(卩,1)，(i)求X的数学期望EX (记EX为b)； (ii)求卩的置信度为0.95 的置信区间；(iii)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。1 一解(i) Y的概率密度为f (y) =e-于，g y +g，于是2兀b = EX = EeY = J+g .匕 e-（t；）2 dy = e 卩+2g 2 兀+geye（屮2dyi；J+get+ e-；dy = e卩+1Jg 2兀2兀gu_a2(ii)由于卩的置信度为1-Q的置信区间公式为（Y n = 4,la= 0,95, a= 0.05, u = 1.96, c = 1, y = (ln0.5 + ln1.25 + ln0.8 + ln 2)84二lnl二0，因此卩的置信度为0.95的置信区间为(0.98,0.98)4（iii ）由ex的单调递增性及0.98 卩 0.98，得e-o.48 幺吃 0，0 0，所以E（4X2） 0 2，即E（4X2） H0 2,因此4X2不是0 2的无偏估计量。例9设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（|1,c2）与N（卩,202），其中是位置参数且c 0，记Z -X -Y。（i）求Z的概率密度f （z；c 2） ； （ii）设Z ,Z ,Z-48）扫 0 x例8设总体X的概率密度为f （x）= 2(1e) x 1，其中 o(0 o 1)是未知0,其它参数，X ,X ,X是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值。（i）求参数o的矩12n估计量“ ；(ii)判断4X2是否为0 2的无偏估计量，并说明理由。解(i)EXxf (x)dx = J0 kdx + J1x dx - + p0 200 讣0)4 21 0 - - - 1 由矩估计法，得+2 x，解之得0的矩估计量0 12 n为来自总体Z的简单随机样本，求c 2的最大似然估计量c2 ； （iii）证明c2为c 2的无偏 估计量。解（i）因为X与Y相互独立且分别服从正态分布N（卩,c 2）与N （卩,2c 2），所以 Z - X Y 服从正态分布，且x EZ = E(X Y) = EX EY =卩卩=0 , DZ = D(X -Y) = DX + DY = 02 + 2 = 3212因此Z的概率密度为f （z；02） =e-6債， z 0，其中9为未知参数且大于零，0, 其它似然估计量。解 (i) EX =J+xf(x;9)dx = J+x-e-?dx = J+e戈dx =ej+e-exd(-?) =9,-00x30 x2由矩估计法，得EX = X，解之得9的矩估计量为e = X。(ii)对于样本的一组样本值* x2，xnx 0, i = 1,2, ni似然函数Le) =Hf(x ；e)=河色e-e =e2ne吟i=1 1 i=1 x(Hx )3ii-1取自然对数In L(e) = 2n In e-ix2n，从而9的最大L1xi=l ii=1i=1 i令=&-L= 0，解之得9的最大似然估计值为e =dee xi=1 i2n似然估计量为e=-。LXi=1 i例 11 设总体 X 的分布函数为1 - e -x 00,x 0)是未知参数，X1, X2, Xn为来自总体X的一个简单随机样本。(i)求EX，DX ； (ii)求e的最大似然估计量9 ； (iii)问是否存在实数a，使 n得Vs 0，均有lim P (0 - a s) = 0n T0n解 由于 X 的分布函数为0,因此 X 的概率密度为f (x) = F(x) = 0EX =卜 xf (x) dx =卜 x - 2L e - f dx = 0 卜 x 2 0 - ? dxg000 0=-J+g xd (e - f) = - xe-壬“ + J+g e - f dx0 0 0页芒宀 1e - x0 dx =迺2 -g膏2兀代2EX 2 =f+g x2f (x)dx = f+g x2 e-壬dx = 02 J+g x3e-壬dx-g0000=-J+g x 2 d (e - x2) = -x 2 e - f+g + 2 f+g xe-0 dx0 0 0。中 e - T d (-#) = -0 0 -址=0DX = EX 2 (EX )2 =0-=(1-?(ii)对于样本X , X , X的一组样本值x ,x ,x，有12n12 似然函数：L(0)=H/(x)=H#e-1=2n0-咤-亍i=1ii=1Hx (ii=1i = 1,2, , n )；取自然对数：ln L(0) = nln2- nln0En x2E-t=1+ ln x ；0ii=1d ln L(0 )令E x 2ni-o+r =0,解之得o的最大似然估计值为0 0 2从而0的最大似然估计量为)1 n0 =x 2nn ii=19 = 1 工 X 2n n ii=1(iii)由于E9 = E (丄工 X2) =1工 EX2 =1工 EX2=EX2=9n n i ni ni =1i =1i=1EX4 = J+8x4 f (x)dx = J+8x4 -壬dx = 9卜x5e-壬dx一8 0 9 9 0=x 4 d (e -彳)=-x 4e -彳“ + 4 f+M x3e - f dx 0 0 0= -29 f +8 x 2 d (e-壬)=-29 x 2e - 壬+8 + 49+ xe-壬 dx0 0 0X 2= -29 2 fe -壬 d (- ) = -29 2 e - ?+ = 20 2因此090D = D(i 工 X 2)=工 DX 2 =工 DX 2 = 1DX 2 n in2i n2ni =1i=1i =1=丄EX4 -(EX2)2=丄(202 -92)= 01nnD0n8 2n8 2由 Chebyshev 不等式，得nnV8 0，0 8 ) = P( 0)-頑 8 ) 0，均有lim P( 0 - a 8) = 0