中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第五章 基本图形（一）第19讲 等腰三角形课件.ppt

第 19讲 等腰三角形 1 了解等腰三角形的概念 、 等腰三角形的性质定理；底边上的高 、 中 线及顶角平分线重合 2 掌握等腰三角形的判定定理 ， 等边三角形的性质定理 ， 以及等边三 角形的判定定理 3 掌握线段垂直平分线的性质及判定 ， 角平分线的性质及判定 4 能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题 1 等腰三角形的概念 、 性质 、 判定 ， 在选择题 、 填空题 、 解答题中均 有出现 2 等腰三角形 、 正三角形是最常见的图形之一 ， 可单独成题 ， 也常与 平行四边形 、 圆 、 三角函数等渗透在综合题中 3 主要体现数形结合 、 化归 、 分类的思想 1 (2016枣庄 )如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， A 30 ， E为 BC延长 线上一点 ， ABC与 ACE的平分线相交于点 D， 则 D等于 ( ) A 15 B 17.5 C 20 D 22.5 【 解析 】 在 ABC中 ， AB AC， ABC ACB 75 ， 所以 ACE 180 ACB 180 75 105 ， D 180 DBC BCD 180 37.5 127.5 15 ， 故选 A. A 3 (2016泰安 )如图，在 PAB中， PA PB， M， N， K分别是 PA， PB， AB上的点，且 AM BK， BN AK，若 MKN 44 ，求 P 的度数 解： PA PB ， A B ， 在 A M K 和 B K N 中 ， AM BK ， A B ， AK BN ， A M K B K N ， A M K B K N ， M K B M K N B K N A A M K ， A M K N 44 ， P 180 A B 92 等腰三角形的边、角 1 (2017预测 )已知一个等腰三角形的两边长分别为 2和 4， 则该等腰三 角形的周长是 _ 【 解析 】 根据任意两边之和大于第三边 ， 知道等腰三角形的腰的长度是 4， 底边长 2， 即可求得周长 因为 2 2 4， 所以等腰三角形的腰的长度是 4， 底边长 2， 周长为 4 4 2 10. 10 2 如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， 点 D在 BC上 ， 且 BD AD， DC AC. 求 B的度数 解析：第 1题由于未说明两边哪个是腰 ， 哪个是底 ， 故需分两种情况讨论 ： (1)当等腰三角形的腰为 2； (2)当等腰三角形的腰为 4， 从而得到其周长 ；第 2题设 B为 x ， 分别表示出 ADC， CAD， 依据三角形内角和 定理列出方程求解 解： AB AC， B C.同理： B BAD， CAD CDA. 设 B为 x ， 则 C x ， BAD x ， ADC 2x ， CAD 2x .在 ADC中 ， C CAD ADC 180 ， x 2x 2x 180 ， x 36 ， B 36 1 等腰三角形是两边相等的特殊三角形 ， 以顶角平分线所在的直线为 对称轴 2 等腰三角形两 _相等 ， 简称为 “ 等边对等角 ” 答案： 2.底角 3 (原创题 )如图， Rt ABC的斜边 AB与量角器的直径恰好重合 ， B点与 0刻度线的一端重合 ， ABC 40 ， 射线 CD绕点 C转动 ， 与量角器外 沿交于点 D， 若射线 CD将 ABC分割出以 BC为边的等腰三角形 ， 则点 D 在量角器上对应的度数是 ( ) A 40 B 70 C 70 或 80 D 80 或 140 【 解析 】 点 O是 AB中点 ， 连结 DO. 点 D在量角器上对应的度数 DOB 2 BCD， 当射线 CD将 ABC分割出以 BC为边的等腰三角形时 ， BCD 40 或 70 ， 点 D在量角器上对应的度数 DOB 2 BCD 80 或 140 ， 故选 D. D 4 (2017预测 )如图， ABC中 ， AB AC， BC 12 cm， 点 D在 AC上 ， DC 4 cm，将线段 DC沿 BC方向平移 7 cm得到线段 EF， 点 E， F分别 落在 AB， BC上，则 EBF的周长是 _ cm. 【 解析 】 CD沿 CB平移 7 cm至 EF， EF CD， CF 7， BF BC CF 5， EF CD 4， EFB C， AB AC， B C， EB EF 4， C EBF EB EF BF 4 4 5 13. 13 5 已知等腰三角形的周长为 10， 若设腰长为 x， 则 x的取值范围是 _ 【 解析 】 等腰三角形周长为 10， 腰长为 x， 则 2x 5且 2x 10， 即 2.5 x 5. 2.5 x 5 1 把 “ 等边对等角 ” 这一性质用在不同的等腰三角形中 ， 必要时需利 用方程思想转化为方程来解题 2. 等腰三角形中 ， 边若没有指出是腰还是底边 ， 应分情况讨论 ， 但一定 要利用 “ 三边之间的关系 ” 来检验解的合理性 等腰三角形的性质与判定 6 如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， BD BC， 等边 BEF的顶点 F在 BC 上 ， 边 EF交 AD于点 P， 若 BE 10， BC 14， 求 PE的长 解析：利用等腰三角形的性质 ， 有 AD BC， 在 DPF中先求出 PF的值 解： 4 7 如图 ， 已知 ABC 90 ， D是直线 AB上的点 ， AD BC. (1)如图 1， 过点 A作 AF AB， 并截取 AF BD， 连结 DC， DF， CF， 判 断 CDF的形状并证明； (2)如图 2， E是直线 BC上一点 ， 且 CE BD， 直线 AE， CD相交于点 P， APD的度数是一个固定的值吗？若是 ， 请求出它的度数；若不是 ， 请 说明理由 解析： 7(1)证明 AFD和 BDC全等 ， 再利用全等三角形的性质 ， 即可 判断三角形的形状； (2)作 AF AB于 A， 使 AF BD， 连结 DF， CF， 利 用 SAS证明 AFD和 BDC全等 ， 再利用全等三角形的性质得得出 APD度数 解： ( 1 ) CDF 是等腰直角三角形 ， 理由如下： AF AD ， AB C 90 ， F AD DB C ， 在 F AD 与 D B C 中 ， AD BC ， F AD DB C ， AF BD ， F AD DB C ( SAS ) ， FD DC ， CDF 是等腰三角形 ， F AD D B C ， FDA D CB ， B DC DCB 90 ， B DC FDA 90 ， CDF 是等腰直角三角形 ( 2 ) 作 AF AB 于 A ， 使 AF BD ， 连结 DF ， CF ， 如图 ， AF AD ， AB C 90 ， F AD DB C ， 在 F AD 与 DB C 中 ， AD BC ， F AD DB C ， AF BD ， F AD DB C ( SAS ) ， FD DC ， CDF 是等腰三角形 ， F AD DB C ， FDA DCB ， B DC DCB 90 ， B DC FDA 90 ， CDF 是等腰直角三角形 ， FCD 45 ， AF CE ， 且 AF CE ， 四边形 AFC E 是平行四边 形 ， AE CF ， APD FCD 45 1 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等 ， 那么这两个角 所对的边也相等 (简称为 “ 等角对等边 ” ) 2 等 腰 三 角 形 _ 、 _ 和 _互相重合 (简称为 “ 三线合一 ” ) 答案 ： 2.底边上的高；顶角平分线；底边的中线 8 (2016常州 )如图 ， ABC中 ， AB AC， BD， CE是高 ， BD与 CE相 交于点 O. (1)求证： OB OC； (2)若 ABC 50 ， 求 BOC的度数 解： (1) AB AC， ABC ACB， BD， CE是 ABC的两条高 线 ， ABC ECB 90 ， ACB DBC 90 ， DBC ECB， OB OC (2) ABC 50 ， AB AC， A 180 2 50 80 ， BOC 180 80 100 9 如图 ， 已知 ABC为等腰直角三角形 ， BAC 90 ， BE是 ABC的平分线 ， DE BC， 垂足为 D. (1)写出图中所有的等腰三角形 ， 不需证明； (2)请你判断 AD与 BE是否垂直 ， 并说明理由； (3)如果 BC 12， 求 AB AE的长 解： (1) ABD， EAD， CDE， ABC (2) BAE BDE ， ABE DBE， BE BE， ABE DBE， AB DB， 又 ABE DBE， AD BE (3) C DEC 45 ， CD DE， AE DE DC， AB AE BD DC BC 12 1 要证明一个三角形为等腰三角形 ， 需证明这个三角形的两条边相等 或两个角相等 ， 这样往往就转化为证明两个三角形全等 2 等腰三角形的底边上的中线 、 底边上的高 、 顶角平分线 “ 三线合一 ” ， 这个性质应用广泛 ， 在遇到等腰三 角形的问题时 ， 尝试作辅助线 ， 一是可以把这些线段进行转化 ， 二是构造了全等的三角形 等边三角形 10 (2017预测 )如图 ， P是等边三角形 ABC内一点 ， 将线段 AP绕点 A顺 时针旋转 60 得到线段 AQ， 连结 BQ.若 PA 6， PB 8， PC 10， 求四 边形 APBQ的面积 【 解析 】 连结 PQ， 则可判断 APQ为等边三角形 ， 所以 PQ AP 6， 证明 APC AQB得到 PC QB 10， 说明 PBQ为直角三角形后 ， 利用 S四边形 APBQ S BPQ S APQ求得结果 解：连结 PQ ， AB C 为等边三角形 ， B AC 60 ， AB AC ， 线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得到线段 AQ ， AP PQ 6 ， P AQ 60 ， APQ 为等边三角形 ， PQ AP 6 ， CAP B AP 60 ， B AP B AQ 60 ， CAP B AQ ， 在 APC 和 AQ B 中 ， AC AB ， CAP B AQ ， AP AQ ， APC AQ B ， PC QB 10 ， 在 B PQ 中 ， PB 2 8 2 64 ， PQ 2 6 2 ， BQ 2 10 2 ， PB 2 PQ 2 BQ 2 ， P B Q 为直角三角形 ， B PQ 90 ， S 四边形 APBQ S BPQ S APQ 1 2 6 8 3 4 6 2 24 9 3 1 等边三角形性质： (1)等边三角形三条边都 _， 三个内角都 _， 且每个内角都等 于 _； (2)等边三角形有 _条对称轴 2 等边三角形的判定： (1)三边相等的三角形是等边三角形； (2)三个角相等的三角形是等边 三角形； (3)有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形 答案 ： 1.（ 1）相等；相等； 60 ；（ 2）三条 11 (2016青岛 )如图 ， 以边长为 20 cm的正三角形纸板的各顶点为端点 ， 在各边上分别截取 4 cm长的六条线段 ， 过截得的六个端点作所在边 的垂线 ， 形成三个有两个直角的四边形 把它们沿图中虚线剪掉 ， 用 剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子 ， 求它的容积 解： AB C 为等边三角形 ， O PQ 为等边三角形 ， A B C 60 ， AB BC AC ， PO Q 60 ， ADO AK O 90 . 连结 AO ， 作 QM OP 于 M ， 在 Rt A O D 中 ， O AD O AK 30 ， AD 4 cm ， OD AD t a n30 4 3 3 cm ， 同理： BE AD 4 cm ， PQ DE 20 2 4 12 ( cm ) ， QM Q P s in 6 0 12 3 2 6 3 ( cm ) ， 无盖柱形 盒子的容积 1 2 6 3 4 3 3 12 1 4 4 ( cm 3 ) 等边三角形是一种特殊的等腰三角形 ， 利用等边三角形的轴对称性 ， 构造含有 30 的直角三角形 ， 来计算解题 线段的垂直平分线 12 (2017预测 )如图 ， 线段 AC的垂直平分线交线段 AB于点 D， A 50 ， 则 BDC ( ) A 50 B 100 C 120 D 130 【 解析 】 根据线段垂直平分线的性质得到 DA DC， 根据等腰三角形的 性质得到 DCA A， 根据三角形的外角的性质计算即可 DE是线段 AC的垂直平分线 ， DA DC， DCA A 50 ， BDC DCA A 100 ， 故选 B. B 1 经过线段中点 ， 并且垂直于这条线段的直线 ， 叫做这条线段的垂 直平分线 (中垂线 ) 2 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 13 如图 ， 在等腰 ABC中 ， AB AC， DBC 15 ， AB的垂直平 分线 MN交 AC于点 D， 则 A的度数是 _ 【 解析 】 A DBA， 又 AB AC， ABC ACB， A 2( DBA 15 ) 180 ， 即 3 A 30 180 ， A 50 . 50 14 直线 CP是经过等腰直角三角形 ABC的直角顶点 C， 并且在三角形 的外侧所作的直线 ， 点 A关于直线 CP的对称点为 E， 连结 BE， CE， 其 中 BE交直线 CP于点 F. (1)若 PCA 25 ， 求 CBF的度数； (2)连结 AF， 设 AC与 BE的交点为点 M， 请判断 AFM的形状； (3)求证： EF2 BF2 2BC 2. 解： (1)由题意可知直线 CP是线段 AE的中垂线 ， PCA 25 ， PCE 25 ， BCE 140 ， CA CB， CE CB， CBF 20 (2) AFM是直角三角形 直线 CP是线段 AE的中垂线 ， FA FE， CE CA， CF CF， ECF ACF， CEM CAF， CEM CBM， CAF CBM.在 AFM与 BCM中 ， CAF CBM， AMF BMC， AFM BCM 90 ， 即 AFM是 以 AM为斜边的直角三角形 (3) AFM是以 AM为斜边的直角三角形 ， ABC是等腰直角三角形 ， AFB ACB 90 ， AF2 BF2 AB2， 即 EF2 BF2 2BC2 根据垂直平分线的性质 ， 点到线段两个端点的距离相等 ， 就能转化为 等腰三角形问题