第一章随机事件与概率

第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 随机事件随机事件 事件的概率事件的概率 条件概率条件概率 事件的独立性事件的独立性 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率概念（概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独随机试验、事件、概率、条件概率、独立性立性）四个公式（四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、贝叶斯公式）（1）加法公式加法公式：对任意两事件对任意两事件A、B，有有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意该公式可推广到任意n个事件个事件A1,A2,An的情形的情形.（2）乘法公式：设乘法公式：设A、B，P（A）0,则则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件上式就称为事件A、B的概率乘法公式。的概率乘法公式。上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)设设A1，,An是是的一个划分，的一个划分，且且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B 有有 1()()(|)niiiP BP A P B A=（3）全概率公式：）全概率公式：（4）贝叶斯公式：）贝叶斯公式：设设A1，,An是是的一个划分的一个划分,且且P(Ai)0，(i1,n)，则对任何事件，则对任何事件B ,有有 1()(|)(|)()(|)jjjniiiP A P B AP ABP A P B A=概型（概型（古典概型古典概型、伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)概型概型）设事件设事件A中所含样本点个数为中所含样本点个数为nA,以以n记样本记样本空间空间中样本点总数，则有中样本点总数，则有（1 1）古典概型中的概率）古典概型中的概率()AnP An=概型（概型（古典概型古典概型、伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)概型概型）（2 2）伯努利概型中的概率）伯努利概型中的概率在 伯 努 利 试 验 中在 伯 努 利 试 验 中,若 事 件若 事 件 A 发 生 的 概 率发 生 的 概 率P(A)=p(0p1)，则在，则在n重伯努利试验中重伯努利试验中,事件事件A恰恰好发生好发生k次的概率为次的概率为其中其中q=1p,k=0,1,2,n.上式也称为上式也称为伯努利伯努利公式公式.()kkn knnP kC p q第二章第二章 随机变量随机变量 随机变量的概念随机变量的概念 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 分布函数分布函数 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机试验的结果数量化随机变量随机试验的结果数量化随机变量数学方法数学方法概率问题概率问题随机试验结果的概率研究问题随机试验结果的概率研究问题随机变量的概率分布问题随机变量的概率分布问题随机变量引入的意义 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机试验的结果数量化随机试验的结果数量化 定义定义.设设=是试验的样本空间，如果量是试验的样本空间，如果量X是是定义在定义在上的一个单值实函数，即对于每一个上的一个单值实函数，即对于每一个 ，有一实数，有一实数X=X()与之对应，则称与之对应，则称 X=X()为为随机变量随机变量。随机变量常用。随机变量常用X、Y、Z 等表示。（变异性和随机性）等表示。（变异性和随机性）随机变量的特点随机变量的特点:1.X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2.X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件EXEX例例2.12.1例例2.52.5借助于随机变量可以方便地表述随借助于随机变量可以方便地表述随机事件机事件奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量(P43)(P43)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1)pk 0,k1,2,;(2)1.1kkp.35332CCCkXPkk例例1 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只黑。现从只黑。现从中任取中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的的概率。概率。解解 k可取值可取值0，1，2分布律的性质分布律的性质例例2.2.某射手对目标独立射击某射手对目标独立射击5 5次，每次命中目标的次，每次命中目标的概率为概率为p p，以，以X X表示命中目标的次数，求表示命中目标的次数，求X X的分布律。的分布律。解：设解：设A Ai i第第i i次射击时命中目标，次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5则则A A1 1,A,A2,2,A A5,5,相互独立且相互独立且P(AP(Ai i)=p,i=1,2,)=p,i=1,2,5.5.X X=0,1,2,3,4,5,=0,1,2,3,4,5,(1-p)5)(054321AAAAAPXP.15432154321AAAAAAAAAAPXP4)1(5pp5,.,1,0)1(55kppCkXPkkk34524512132.P XP A A A A AA A A A A=UU2235(1)C PP=-几个常用的离散型随机变量几个常用的离散型随机变量1.两点分布两点分布 XB（1，p）若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，发生的次数，则称则称X服从两点分布服从两点分布(01)分布分布)X PX kpk(1p)1k,(0p1)k0，1或或Xkp10pp1两点分布来自于伯努利试验，所以两点分布又称两点分布来自于伯努利试验，所以两点分布又称为伯努利分布，它是最简单的离散型分布。为伯努利分布，它是最简单的离散型分布。若以若以X X表示表示n n重伯努利试验事件重伯努利试验事件A A发生的次发生的次数，则称数，则称X X服从参数为服从参数为n,pn,p的二项分布。的二项分布。记作记作XBXB（n,p),n,p),其分布律为：其分布律为：2.二项分布二项分布(1),(0,1,.,)kkn knP XkppknC-=-=二项分布是概率统计中重要的离散二项分布是概率统计中重要的离散型分布之一，它涉及的是型分布之一，它涉及的是n重伯努利试重伯努利试验。也就是说各次试验是独立的，且各验。也就是说各次试验是独立的，且各次试验条件是稳定的。现实生活中的许次试验条件是稳定的。现实生活中的许多现象程度不同地符合这个条件。如产多现象程度不同地符合这个条件。如产品的质量检验，从品的质量检验，从N个产品中有放回地个产品中有放回地取出取出n个，其中所含的次品数个，其中所含的次品数X就服从二就服从二项分布。项分布。例例3.从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗,假设在假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红并且遇到红灯的概率都是灯的概率都是1/3.1/3.(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数,求求X X的分布的分布律律.(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率次红灯的概率.解解:(1):(1)由题意由题意,XB(6,1/3),XB(6,1/3),于是于是,X,X的分布律为的分布律为:6,.,1,0323166kCkXPkkk655)2(XPXPXP729133132316556 C例例4.某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。解：设解：设X X表示表示400400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则X XB(400,0.02)B(400,0.02)，故，故PXPX 221 1 PXPX00P XP X111 10.980.98400400(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=？不能轻视小概率事件不能轻视小概率事件：一个事件尽管它在一：一个事件尽管它在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数次试验中发生的概率很小，但只要试验次数足够多，而且试验是独立进行的，那么这一足够多，而且试验是独立进行的，那么这一事件的发生几乎是肯定的。事件的发生几乎是肯定的。3.超几何分布超几何分布定义2.6 随机变量随机变量XH(n,M,N),若随机变量若随机变量X的分布律的分布律为为 ,k=0,1,2,l,其中其中l=minM,n;MN;n5X5年年 还是还是X5X5年零年零1 1分钟分钟 引例引例 什么是什么是3原则？原则？什么是六西格玛（什么是六西格玛（six sigma）？）？2.3 分布函数分布函数 一、定义定义 设设X是随机变量，对任意实数是随机变量，对任意实数x，事件，事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即，即 F(x)P X x.易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性xX二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且，且 ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(Fxx ).x(F)x(Flim)0 x(F0 xx00 3、右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 xxkkkpxXPxF:)(例例1 设随机变量设随机变量X的分布律如右表的分布律如右表解解 )(xFx0112)(xXPxFX012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。0,00.1,010.7,121,2xxxx 例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以x表示质点坐表示质点坐标标.假定质点落在假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求率与区间长成正比，求X的分布函数的分布函数解：解：F(x)=PXx 1,110,0,0)()(xxxxxXPxF)(xFx0当x1时,F(x)=1当0 x1时,kxxXPxF0)(特别,F(1)=P0 x1=k=111实质上实质上:分布函数是一个定义于全体实数分布函数是一个定义于全体实数集且以集且以0，1为值域的普通函数为值域的普通函数，通过它可将，通过它可将微积分的方法微积分的方法引入引入到到概率问题概率问题的研究中。的研究中。用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b?bXap2.4 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布一、概率密度一、概率密度 1.定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负，若存在非负函数函数f(x)，(-x+)，使对任意实数，使对任意实数x，都有都有xduufxXPxF)()()(则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数.常常记为记为X f(x),(-x+)密度函数密度函数f（x）的的几何意义几何意义为反映了点为反映了点x附近所附近所分布的概率的疏密程度，分布的概率的疏密程度，f（x）本身并非概率，本身并非概率，但它决定随机变量但它决定随机变量X X落入区间（落入区间（a,ba,b）的概率大小）的概率大小 badu)u(f)bXa(P2.密度函数的性质密度函数的性质(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性.1)(dxxf性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质；(3)若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xfdxxdF（4 4）对任意实数对任意实数b b，若，若X X f(x)f(x)，(-(-xx)，PX=PX=b b 0 0。于是于是（5 5）连续型随机变量）连续型随机变量X X的分布函数的分布函数F(x)F(x)也是连续函数也是连续函数badxxfbXaPbXaPbXaP)(二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)()x(fx则称则称X在在(a,b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acdb)，都有，都有均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为0 xax-a()ax0的指数分布。的指数分布。其分布函数为其分布函数为)x(fx00,00,1)(xxexFx指数分布是关于寿命和随机服务指数分布是关于寿命和随机服务系统中的等候时间一类随机变量系统中的等候时间一类随机变量的概率模型，它具有无记忆性。的概率模型，它具有无记忆性。即即其中其中s0,t0(|)(),P Xst XsP Xt其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态分布正态分布,记为记为N(,2)，可表为，可表为XN(,2).若随机变量随机变量3.正态分布正态分布22()21(),2xXf xex (1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称；对称；称为位置参数称为位置参数f()maxf(x)21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻。称为形状参数称为形状参数正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0，21的正态分布称为标准正态分的正态分布称为标准正态分布，记作布，记作XN(0,1)。.,21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,)(2212其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅(x)的值。的值。(P311附表附表2)，若，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z3|X|3 的值的值.如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条线，当生产过程的指标观察值落在作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报两线之外时发出警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.即使用这一性质所引起的偏差概率还不即使用这一性质所引起的偏差概率还不到千分之三。到千分之三。六西格玛（六西格玛（6 ，six sigma）是当今世界最先进的质量管理方是当今世界最先进的质量管理方法。法。（数理统计学在质量管理体系中（数理统计学在质量管理体系中的应用）的应用）6管理关注过程，特别是企业管理关注过程，特别是企业为市场和顾客提供价值的核心过为市场和顾客提供价值的核心过程。因为过程能力用程。因为过程能力用来度量后，来度量后，越大，过程的波动越小，过程越大，过程的波动越小，过程以最低的成本损失、最短的时间以最低的成本损失、最短的时间周期、满足顾客要求的能力就越周期、满足顾客要求的能力就越强。强。为了达到为了达到6，首先要制定标准，首先要制定标准，在管理中随时跟踪考核操作与标在管理中随时跟踪考核操作与标准的偏差，不断改进，最终达到准的偏差，不断改进，最终达到6。现己形成一套使每个环节不。现己形成一套使每个环节不断改进的简单的流程模式：界定、断改进的简单的流程模式：界定、测量、分析、改进、控制。测量、分析、改进、控制。6个西格玛个西格玛3.4失误失误/百万机会百万机会意味着卓越的管理，强大的竞争力意味着卓越的管理，强大的竞争力和忠诚的客户和忠诚的客户 5个西格玛个西格玛230失误失误/百万机会优秀的管理、很强的竞争力和比较百万机会优秀的管理、很强的竞争力和比较忠诚的客户忠诚的客户 4个西格玛个西格玛6,210失误失误/百万机会意味着较好的管理和运营能力，百万机会意味着较好的管理和运营能力，满意的客户满意的客户 3个西格玛个西格玛66,800失误失误/百万机会意味着平平常常的管理，缺乏竞百万机会意味着平平常常的管理，缺乏竞争力争力 2个西格玛个西格玛308,000失误失误/百万机会意味着企业资源每天都有三分百万机会意味着企业资源每天都有三分之一的浪费之一的浪费 1个西格玛个西格玛690,000失误失误/百万机会每天有三分之二的事情做错的百万机会每天有三分之二的事情做错的企业无法生存企业无法生存 西格玛水平西格玛水平例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元件个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的损坏与否是相互独立的.求：使用的最初求：使用的最初9090小时内无小时内无一元件损坏的概率一元件损坏的概率.解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数,2514.0)67.0()1510090(90XPp故4195.0)1(03pYP则YB(3,p)其中例2.30 设某城市成年男子的身高XN(170,62)(单位:cm).问:(1)应如何设计公共汽车车门的高度,使男子与车门顶碰头的机会小于0.01?(2)若车门高为182cm,求100个成年男子与车门顶碰头的人数不多于2个的概率.解(1)由题设知XN(170,62).设公共汽车车门的高度为l(cm),由设计要求l应满足P(Xl)l)=1P(Xl)=170170166XlP17010.016l 1700.996l查表得2.33,1706l 所以l 183.98(cm).(2)该问题是100重伯努利实验中的概率计算问题.170182 176(182)1(2)0.022866XpP XP记 设Y为100个男子中身高超过182cm的人数,故YB(100,p)即P(Y=k)=100 100(1),0,1,2,100.kkkcppk所求概率为 P(Y2)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2),注意到n=100较大,p=0.0228较小,从而可利用(2.8)式作近似计算P(Y2)=0.6013.02.282.2822.282.282.282.280!1!2!eee正态分布正态分布是最重要的连续型分布是最重要的连续型分布，实践证明，凡一随机现象是许，实践证明，凡一随机现象是许多随机因素共同作用的总和，各多随机因素共同作用的总和，各随机因素所起的作用是均匀的，随机因素所起的作用是均匀的，没有哪个因素起主导作用，那么没有哪个因素起主导作用，那么这个随机现象的概率模型就是正这个随机现象的概率模型就是正态分布。于是，可以看作（或近态分布。于是，可以看作（或近似地看作）正态分布的随机变量似地看作）正态分布的随机变量广泛地存在于客观世界中。广泛地存在于客观世界中。定义：随机变量定义：随机变量X X的函数的函数2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布设设X为一随机变量，为一随机变量，g(x)是实数集合是实数集合D上的连上的连续实值函数，若续实值函数，若X的全部可能取值都落在的全部可能取值都落在D上上，则，则X的函数的函数g(X)也是一随机变量，称也是一随机变量，称g(X）为）为随机变量随机变量X的函数的函数一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若若yg(x)是一单值实函数，则是一单值实函数，则Yg(X)也是一个也是一个随机变量。求随机变量。求Y的分布律的分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1313131求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 3132或或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxg 1 1、一般方法、一般方法 若若Xf(x),-Xf(x),-x+x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函的函数，则可先求数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y y)x(gdx)x(fdyydFyfYY)()(然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数例例1.1.设设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。dxxfyFxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)()(yyyFyfYY当y0时0)(yFY当0y1时当y1时1)(yFYyy 例例2.2.设设X X的概率密度为的概率密度为f fX X(x),y=g(x)(x),y=g(x)关于关于x x处处处处可导且是可导且是x x的严格单减函数，求的严格单减函数，求Y=g(X)Y=g(X)的概率密度。的概率密度。解：解：Y Y的分布函数为的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为的概率密度为fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y)dyd2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则|)(|)()()(yhyhfyfXgYXY注注：1 1 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，的单调可导函数时，才可用以上公式推求才可用以上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.例3.已知XN(,2),求解：222222121yyeeXY的概率密度XY关于x严单,反函数为 yyh)(故)(|)(|)()(yfyhyhfyfXXY这表明YN(0,1),即正态分布随机变量的线性函数仍为正态分布随机变量例例4 4 设设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解:Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为abyyh)(故aabyfyhyhfyfXY1)(|)(|)()(而othersxxfX0101)(故othersabyayfY0101)(第二章 小结.0-1 分 布二 项 分 布 B（n,p)泊 松 分 布 P()离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U(a,b)正 态 分 布 N(a,)指 数 分 布 E（)连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变随随 机机 变变 量量随 机 变 量 函 数 的 分 布2第二章 小结.学会查两个附表：1、泊松分布函数值表2、标准正态分布函数值表