38方程近似解

目录 上页 下页 返回 结束 三、一般迭代法(补充)的实根求方程0)(xf可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 第八节 方程的近似解目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间0)()(,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1)作图法 1.求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy Oxy)(xfy ab目录 上页 下页 返回 结束(2)逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由图可见只有一个实根,)5.1,1(可转化为.)5.1,1(即为其隔根区间,的左端点出发从区间ba以定步长 h 一步步向右搜索,若0)1()(hjafjhaf)1(;,1,0(bhjaj.)1(内必有根，则区间hjajhaxy213xy 1 xyO目录 上页 下页 返回 结束 只有且方程0)(xf1a1b2.二分法二分法，设,)(baCxf，0)()(bfaf，一个根),(ba取中点，21ba1，若0)(1f.1即为所求根则，若0)()(1faf,),(1a则根;,111baa令,),(1b否则对新的隔根区间,11ba重复以上步骤,反复进行,得,111bba令,11nnbababa的中点若取,nnba则误差满足)(211nnnab)(121abnab)(211nnnba,的近似根作为0 n1a1b目录 上页 下页 返回 结束 例例1.用二分法求方程04.19.01.123xxx的近似实根时,要使误差不超过,103至少应对分区间多少次?解解:设,4.19.01.1)(23xxxxf),()(Cxf则9.02.23)(2xxxf)067.5(0,),()(单调递增在xf又,04.1)0(f06.1)1(f故该方程只有一个实根 ,1,0为其一个隔根区间欲使)01(1211nn310必需,100021n即11000log2n96.8可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值10目录 上页 下页 返回 结束 二、牛顿切线法及其变形二、牛顿切线法及其变形:)(满足xf0)()(,)1bfafba上连续在不变号及上在)()(,)2xfxfba.),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况:xbayOxbayOxbayOxbayO00 ff00 ff00 ff00 ff目录 上页 下页 返回 结束)()(0001xfxfxx牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与)(xf 同号的端点为,)(,(00 xfx用切线近似代替曲线弧求方1x在此点作切线,其方程为)()(000 xxxfxfy令 y=0 得它与 x 轴的交点,)0,(1x其中再在点)(,(11xfx作切线,可得近似根.2x如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:)()(111nnnnxfxfxx),2,1(n2x称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 yxabO0 x目录 上页 下页 返回 结束 1x2xyxabO0 x牛顿法的误差估计牛顿法的误差估计:)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxf)(之间与在nx,0)(f)()(fxfxnn,0则得mxfxnn)(说明说明:用牛顿法时,若过纵坐标与)(xf 异号的端点作切线,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在.,内ba)(min,xfmba记目录 上页 下页 返回 结束 例例2.用切线法求方程074223xxx的近似解,使误差不超过 0.01.解解:.742)(23xxxxf设由草图可见方程有唯一的正实根 ,且9)4(,10)3(ff.43为一隔根区间，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)(xxf)23(2x0)(min4,3xfm11)3(fyx3 4O目录 上页 下页 返回 结束,40 x故取得)4()4(41ffx289468.3而mxfx)(111103.109.0，精度不够故1x再求)68.3()68.3(68.32ffx9.2103.168.363.3mxfx)(2211042.001.0004.0因此得满足精度要求的近似解63.3yx3 4O目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隔根方法:作图法；逐步搜索法.2.求近似根的方法：二分法；切线法.