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第一节数列的概念与简单表示法基础梳理1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分类1与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集数列的图象是一群孤立的点2周期性：若ankan(nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期四基自测1.(教材改编)已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()A21B33C152 D153答案：C2在数列an中，a11，an1(n2)，则a4()A.B.C.D.答案：B3把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)则第7个三角形数是()A27 B28C29 D30答案：B4(2018高考全国卷改编)记Sn为an的前n项和，若3SnSn1Sn1(n2)，a12，a21，则a5为_答案：35数列1，的一个通项公式an_.答案：考点一已知数列的前几项写通项公式 例1(1)下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1BanCan2 Dan(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1,7，13,19，；0.8,0.88,0.888，；，；，1，；0,1,0,1，.解析：(1)由an2可得a11，a22，a31，a42，.故选C.(2)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，an(1)n.将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.an答案：(1)C(2)见解析由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；各项的符号特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于正负号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理写出下列各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.解析：(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1，nN*.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an，nN*.(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n项的符号为(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n，也可写为an(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，.所以an(10n1)，nN*.考点二已知递推关系求通项公式例2根据下列已知条件，求数列an的通项公式：累加法：(1)a12，an1anln；累乘法：(2)a1，anan1(n2)；构造法：(3)a11，an12an3；构造法：(4)a1，an1ann1；取倒数：(5)a11，an；取对数：(6)a13，an1a.解析：(1)an1anln，an1anln(n1)，anan1ln(n2)，an1an2ln，a2a1ln(n2)，ana1lnlnlnln n(n2)，anln na1(n2)，又a12，anln n2.(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an.当n1时，a1，也与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3，故递推公式为an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.(4)在an1ann1两边分别乘以2n1，得2n1an1(2nan)1.令bn2nan，则bn1bn1，根据待定系数法，得bn13(bn3)所以数列bn3是首项为b1323，公比为的等比数列所以bn3n1，即bn32n.于是，an3n2n.(5)取倒数，得3.是等差数列，3(n1)13(n1)an.(6)由题意知an0，将an1a两边取常用对数得到lg an12lg an，即2，所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项，2为公比的等比数列所以lg an(lg 3)2n1，所以an32n1.由递推公式求通项的方法方法转化过程适合题型累加法(a2a1)(a3a2)(anan1)ana1an1anf(n)(f(n)可求和)累乘法f(n)，f(n)可求积构造法由an1panq化为an1mp(anm)，构造anm为等比数列an1panq辅助数列法由an1panqn化为，放入辅助数列bn，bn1bn，再构造数列an1panrqn取倒数法an取倒数得，令bnan取对数对anpa化为lg anrlg an1lg p令bnlg ananpa(n2，p0)1将本例(1)改为：在数列an中，a12，an1an3n2，则an_.解析：因为an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a12(311)，符合上式，所以ann2.答案：n22将本例(2)改为已知数列an中，a11，(n1)annan1，则数列an的通项公式an_.解析：由(n1)annan1，可得.当n2时，2.将以上各式累乘求得n，ann，而n1也适合数列的通项公式为ann.答案：n3将本例(3)改为在数列an中a11，an13an2.求an.解析：因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3.又a112，所以an123n1，所以an23n11.考点三Sn与an的关系的应用例3(1)(2018菏泽模拟)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_解析：当n1时，a1S13212，当n2时，Sn13(n1)22(n1)1，anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5，an.答案：an(2)(2019广东化州第二次模拟)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_解析：由log2(Sn1)n1，得Sn12n1，当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn12n，所以数列an的通项公式为an答案：an1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解.(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解1(2019广东江门模拟)记数列an的前n项和为Sn，若nN*,2Snan1，则a2 018_.解析：2Snan1，2Sn1an11(n2)，2Sn2Sn12ananan1(n2)，即anan1(n2)，又2S12a1a11，a11，a2 018a2a11.答案：12已知数列an满足2Sn4an1，当nN*时，(log2an)2log2an是递增数列，则实数的取值范围是_解析：2Sn4an1,2Sn14an11(n2)，两式相减可得2an4an4an1(n2)，an2an1(n2)，又2a14a11，a1，数列an是公比为2的等比数列，an2n2，设bn(log2an)2log2an(n2)2(n2)，(log2an)2log2an是递增数列，bn1bn2n30恒成立，32n恒成立，(32n)max1，1，故实数的取值范围是(1，)答案：(1，)逻辑推理数列的定义与通项公式中的学科素养求数列的通项公式，无论是已知前n项归纳猜想出通项公式，还是根据递推关系式求通项公式，其主要工作就是逻辑推理，从特殊到一般或从一般到特殊例已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，且a11，通过计算a2，a3，猜想an等于()A. B.C. D.解析：因为Snn2an，所以an1Sn1Sn(n1)2an1n2an，故an1an，当n2时，a1a24a2，a11，所以a2.所以a11，a2，a3a2，a4a3，a5a4，由此可猜想an.答案：B课时规范练A组基础对点练1已知数列an的前4项为2,0,2,0，则归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n11BanCan2sin Dancos(n1)1解析：对于C，当n3时，sin 1，则a32，与题意不符答案：C2已知数列，2，则2是这个数列的()A第6项 B第7项C第19项 D第11项解析：数列即：，据此可得数列的通项公式为：an，由2，解得：n7，即2是这个数列的第7项答案：B3设数列an的前n项和Snn2n，则a4的值为()A4B6C8 D10解析：a4S4S320128.答案：C4已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n1C.n1 D.解析：由已知Sn2an1得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，而S1a11，所以Snn1，故选B.答案：B5设数列an满足a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，则a20的值是()A4 B4C4 D4解析：由题知：an1，a3，a44，a5，a6，故an，所以a204.答案：D6(2019北京模拟)数列an满足an1(an1an)an1(anan1)，若a12，a21，则a20()A. B.C. D.解析：数列an满足an1(an1an)an1(anan1)，展开化为.所以数列是等差数列，公差为，首项为.所以1910，解得a20.答案：C7(2019唐山模拟)设数列an的前n项和为Sn，且Sn，若a432，则a1_.解析：Sn，a432，32，a1.答案：8已知数列an的前n项和Sn2n，则a3a4_.解析：当n2时，an2n2n12n1，所以a3a4222312.答案：129(2019长沙模拟)在数列an中，a11，an1(1)n(an1)，记Sn为an的前n项和，则S2 018_.解析：因为数列an满足a11，an1(1)n(an1)，所以a2(11)2，a3211，a4(11)0，a5011，a6(11)2，a7211，所以an是以4为周期的周期数列，因为2 0185044 2，所以S2 018504(1210)121 009.答案：1 00910传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，则数列an的通项公式为_解析：由题干图可知，an1ann1，a11，由累加法可得an.答案：anB组能力提升练11已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN*，则an()A2n1 B2nC2n1 D2n2解析：an1Sn1Sn2an14(2an4)，an12an，a12a14，a14，数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，an42n12n1，故选A.答案：A12在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是()A. B.C. D.解析：由已知得a21(1)22，2a32(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.答案：C13已知数列an满足a115，且3an13an2.若akak10，则正整数k()A21 B22C23 D24解析：由3an13an2得an1an，则an是等差数列，又a115，ann.akak10，0，k0，d0，满足Sn取得最大值Sm；a10，满足，Sn取得最小值Sm.1在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A21B20C19 D18解析：由a1a3a53a3105，a335.a2a4a63a499，a433，da4a32.ana4(n4)d33(n4)(2)2n41.a200，a210，当n20时，S20最大，故选B.答案：B2已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672，若bnan30，设数列bn的前n项和为Tn，求Tn的最小值解析：2an1anan2，an1anan2an1，故数列an为等差数列设数列an的首项为a1，公差为d，由a310，S672得，解得a12，d4.故an4n2，则bnan302n31，令即解得n，nN*，n15，即数列bn的前15项均为负值，T15最小数列bn的首项是29，公差为2，T15225，数列bn的前n项和Tn的最小值为225.数学建模传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养.例1张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加()A.尺 B.尺C.尺 D.尺解析：设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30305d390，解得d.故该女子织布每天增加尺故选B.答案：B例2中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B184斤C.191斤 D201斤解析：用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，8a117996，解得a165.a865717184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.答案：B课时规范练A组基础对点练1在单调递增的等差数列an中，若a31，a2a4，则a1()A1B0C. D.解析：由题知，a2a42a32，又a2a4，数列an单调递增，a2，a4.公差d.a1a2d0.答案：B2等差数列an中，a11，an100(n3)若an的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为()A3,7,9,15,100 B4,10,12,34,100C5,11,16,30,100 D4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d.又因为dN，n3，所以n1可能为3,9,11,33,99，n的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B.答案：B3设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7C9 D11解析：因为an是等差数列，a1a52a3，即a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A.答案：A4等差数列an的前n项和为Sn，若S8S436，a62a4，则a1()A2 B0C2 D4解析：设等差数列an的公差为d，S8S436，a62a4，解得故选A.答案：A5若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7()A12 B13C14 D15解析：由S5，得25，解得a47，所以732d，即d2，所以a7a43d73213.答案：B6已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99C98 D97解析：由题意可知，解得a11，d1，所以a100199198.答案：C7已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，S2n138，则n等于_解析：an是等差数列，2anan1an1，又an1an1a0，2ana0，即an(2an)0.an0，an2.S2n1(2n1)an2(2n1)38， 解得n10.答案：108中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析：设数列首项为a1，则1 010，故a15.答案：59已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值(2)已知数列bn满足bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解析：(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.10已知数列an满足a11，an(nN*，n2)，数列bn满足关系式bn(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解析：(1)证明：bn，且an，bn1，bn1bn2.又b11，数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)22n1，又bn，an.数列an的通项公式为an.B组能力提升练11(2019唐山统考)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8()A18 B12C9 D6解析：设等差数列an的公差为d，由题意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故选D.答案：D12已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，公比为q，数列cn中，cnanbn，Sn是数列cn的前n项和若Sm11，S2m7，S3m201(m为正偶数)，则S4m的值为()A1 601 B1 801C2 001 D2 201解析：令ASm11，BS2mSm4，CS3mS2m208，则qmA(a1b1a2b2ambm)qma1bm1amb2m.故BqmA(am1a1)bm1(a2mam)b2mmd(bm1b2m)，其中，d是数列an的公差，q是数列bn的公比同理CqmBmd(b2m1b3m)md(bm1b2m)qm，故CqmBqm(BqmA)代入已知条件，可得11(qm)28qm2080，解得qm4或qm(因m为正偶数，舍去)又S4mS3m(a1b1a2b2ambm)q3m3md(bm1b2m)q2m11433(BqmA)421143312431 600.故S4mS3m1 6001 801.答案：B13(2019长春质检)设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为()A9 B10C11 D12解析：由题意，不妨设a69t，a511t，则公差d2t，其中t0，因此a10t，a11t，即当n10时，Sn取得最大值，故选B.答案：B14设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有，则的值为_解析：因为an，bn为等差数列，所以，因为.所以.答案：15(2019银川模拟)在等差数列an中，已知a37，a616，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是_解析：由题知公差d3，所以an7(n3)d3n2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第129550项，即为 a503502148.答案：14816(2019太原模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值(2)求n的取值集合，使其满足anSn.解析：(1)设公差为d，则由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，所以Sn(a1an)a1(2 015nn2 )因为a10，nN*，所以当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(2 015nn2)a1.因为a10，所以n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*第三节等比数列及其前n项和基础梳理1等比数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数符号语言：q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(a、G、b不为零)2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amana.(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)(4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1(1)在等比数列求和时，要注意q1和q1的讨论(2)当an是等比数列且q1时，SnqnAAqn.2当项数是偶数时，S偶S奇q；当项数是奇数时，S奇a1S偶q.四基自测1等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4B8C16 D32答案：C2设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D128答案：C3在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案：12,484设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.答案：5记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则an_.答案：2n1考点一等比数列的基本运算及性质角度1利用基本量进行计算例1(1)(2018高考全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.解析：Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1，当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列，Sn12n，S612663.答案：63(2)(2018高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解析：设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.角度2利用性质进行计算例2(1)在等比数列an中，已知a3，a7是方程x26x10的两根，则a5()A1B1C1 D3解析：在等比数列an中，因为a3，a7是方程x26x10的两个根，所以a3a760，a3a710，所以a30，a70，a50，因为a3a7a1，所以a51.答案：A(2)已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则_.解析：因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1a21910；因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b199，又b21q20(q为等比数列的公比)，所以b23，则.答案：解决等比数列的基本运算常用方法方法解读适合题型基本量法设出a1和q，将已知条件用a1和q表示，建立方程组求出a1和q题设中有五个基本量a1，q，an，Sn，n中的两个性质法利用等比数列的性质化简已知条件题设中有“anam”型的表达式1已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式an_.解析：设等比数列an的公比为q，则，得q7128，即q2，把q2代入，得a1，所以数列an的通项公式为ana1qn12n132n3.答案：32n32等比数列an的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3，S6，则a8_.解析：当q1时，显然不符合题意；当q1时，解得则a82732.答案：323(2019哈尔滨模拟)等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log3a5解析：由题a5a6a4a718，所以a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案：B4在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A135B100C95D80解析：由等比数列前n项和的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为.所以a7a840()3135.答案：A考点二等比数列的判定与证明例3(1)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：设等比数列的公比为q，则a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足(a1q5)2a1q2a1q8，即aa3a9.答案：D(2)(2018高考
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