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2 精品文档高中数学选修 4-5 知识点1、不等式的基本性质 （对称性） （传递性） （可加性）a b b aa b, b c a c a b a +c b +c（同向可加性） a b ,c d a +c b +d （异向可减性） a b ,c b -d（可积性） a b,c 0 ac bca b ,c 0 ac b 0, c d 0 ac bd（异向正数可除性）a b 0,0 c c d（平方法则） a b 0 a n b n ( n N , 且 n 1)（开方法则）a b 0 na nb ( n N , 且 n 1)（倒数法则）a b 0 1 1 1 1 ; a b a b a b2、几个重要不等式a2 +b 22ab (a，bR),（当且仅当 a =b 时取 = 号）.变形公式：ab a2+b22.（基本不等式）a +b2 ab(a，bR+),（当且仅当 a =b 时取到等号）.变形公式：a +b 2 aba +b ab . 2 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）a +b +c 33 abc ( a、b、c R+)（当且仅当a =b =c时取到等号）.a2 +b 2 +c 2ab +bc +ca (a，bR)（当且仅当a =b =c时取到等号）.a3 +b 3 +c 33abc ( a 0, b 0, c 0)（当且仅当a =b =c时取到等号）.b a 若ab 0, 则 + 2a b（当仅当 a=b 时取等号）b a若ab 0, 则 + -2 a b（当仅当 a=b 时取等号）b b +m a +n a 1 b 0，m 0，n 0)规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 精品文档22 2精品文档当a 0时，x a x2 a 2 x a;x a x 2 a 2 -a x ( a + ) 2 ;4 2将分子或分母放大（缩小），如1 1 1 1 2 2 1 2 , = k k + k +1( k N*, k 1)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2+bx +c 0(或 0)解集的步骤：一 化：化二次项前的系数为正数.二 判：判断对应方程的根.三 求：求对应方程的根.四 画：画出对应函数的图象.五 解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f ( x )g ( x )f ( x )g ( x )0 f ( x) g( x) 0f ( x) g( x) 0 0 g ( x ) 0（“ a ( a 0) f ( x ) 0) f ( x ) 0 f ( x ) af ( x ) 0 f ( x ) 0f ( x) g ( x) g( x) 0 或f ( x) g ( x)2f ( x) 0f ( x) 0f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x)f ( x) 0 g ( x) 1 时, af ( x )ag ( x ) f ( x) g ( x )当0 a ag ( x ) f ( x) 0 a 1 时, log f ( x ) log g ( x ) g( x) 0a af ( x ) g ( x )当0 a 0 log f ( x) log g ( x ) g( x ) 0 a af ( x ) g ( x ).规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法： a =a ( a 0) -a ( a 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论 讨论aD与 0 的大小； 与 0 的大小；讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式ax2+bx +c 0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当 a =0 时 b =0, c 0;当a 0时 a 0D0.不等式ax2+bx +c 0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当 a =0 时 b =0, c 0;当a 0时 a 0D0.f ( x ) a 恒成立 f ( x)maxa恒成立 f ( x )mina ;f ( x ) a恒成立 f ( x )mina.15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：由于直线Ax +By +C =0的同一侧的所有点的坐标代入Ax +By +C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点( x , y )（如原点），由 0 0Ax +By +C 0 0的正负即可判断出Ax +By +C 0 (或精品文档精品文档0 (或0 (或0,则使目标函数z =Ax +By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处， z 取得最小值；若B 0,则使目标函数z =Ax +By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：z =Ax +By ;“斜率”型：z =y y -b或 z = ;x x -a“距离”型：z =x2+y2或z =x2+y2;精品文档精品文档z =( x -a ) 2 +( y -b )2或z = ( x -a ) 2 +( y -b ) 2 .在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.精品文档
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