测电池的电动势和内阻的常用方法和误差分析

测电池的电动势和内阻的常用方法和误差分析公主岭市第一中学魏景福测电池的电动势和内阻的实验是高中物理电学部分的一个重点实验，也是高考的热点实验，笔者就此实验的常见方法 （“伏安法”、 “伏阻法”、 “安阻法”）及误差分析的问题谈一谈个人的观 点。一、用“伏安法”测电池的电动势和内阻用“伏安法”测电池的电动势和内阻就是用电流表和电压表测电池的电动势和内阻，是通过电流表和电压表测出外电路的电流和路端电压，然后利用闭合电路的欧姆定律求出电池的电动势和内阻。实验要求多测几组数据 ,求出几组值 ,然 后取他们的平均值。还可以用作图法处理，即利用电池的图象求出值。用“伏安法”测电池的电动势和内阻分为电流表“内接”和电流表“外接” 两种接法。实验误差有： 1、偶然误差 ,主要来源于电压表和电流表的读数以及作 U-I 图象时描点不很准确；2、系统误差，主要来源于没有考虑电压表的分流和 电流表的分压作用。（一）、电流表内接（相对待测元件电池）1、电流表内接时测量原理：如图 1 所示，电压表.电流表分别测出两组路 端电压和总电流的值，则U =E -I r 1 1，U =E -I r 2 2， - 解得r =U -U2 1I -I1 2，带入解得I U -I U E = 1 2 2 1I -I1 2，2、系统误差分析：图 1 电路由于电流表分压使电压表读数（测量值）小于电 源的实际路端电压（真实值）。导致实验产生系统误差。0（1）通过理论的推导分析误差：设电流表的内阻为RA，电池的电动势和内电阻的真实值分别为E0和r0。则有U +I R =E -I r 1 1 A 0 1 0U +I R =E -I r2 2 A 0 2 0 得r =0U -U1 2 -RI -I2 1A代入得I U -I U E = 2 1 1 2I -I2 1比较、式和、可知 r r0，EE0.不难看出 电流表内接时测得的内电阻偏大，测得的电动势准确。但由于内电阻的相对误差太大，故一 般不用此接法。（2）通过图像的比较分析误差：由U =E -Ir这一理论公式在坐标系里画出理论线（如图 2 中的实线），其纵坐标上的截距和斜率的绝对值就是真实值 E 和 r 。用两只表的读数来表示横、纵坐0 0标，由于电流表的分压使电压表的读数小于真实的路端电压，相差DU =I RA，RA是一定的，I越大DU就越大，I越小DU就越小。I0 时DU0，所绘制的图线称为实验线（如图 2 中的虚线）。其纵轴上的截距和图线的斜率的绝对值就电动势和内阻的测量值E 和 r ,由图 2 可见 r r0，EE0.（二）、电流表外接（相对待测元件电池）1 、电流表外接时测量原理：电路如图 3002121所示，电压表 .电流表分别测出两组路端电压和总电流的值，（与电流表内接相同）则U =E -I r 1 1（1），U =E -I r 2 2（2）（1） - （2） 解得r =U -U2 1I -I1 2（3）（3）带入（1）解得I U -I U E = 1 2 2 1I -I1 2（4）2、系统误差分析：图 3 电路由于电压表分流使电流表读数（测量值）小于电 源的实际干路电流（真实值）。导致实验产生系统误差，（1）通过理论的推导分析误差：设电压表的内阻为 R ，电池的电动势和内电阻的真实值分别为 E 和 r 。V 0 0则有U =E -( I + 1 0 1U =E -( I + 2 0 2U1 ) rRVU2 )rRV（5）（6）（5）（6） 得U -Ur = 1 20 U -U I -I - 1 2RV（7）（7）代入（5）得E =0I U -I U 2 1 1 2U -U I -I - 1 2RV（8）比较(7)、(8)式和(3)、(4)可知r r ， E E 00.不难看出 电流表外接时测得的内电阻和电动势均偏小。但由于内电阻和电动 势的相对误差均很小，故一般选用此接法。（2）通过图像的比较分析误差：由U =E -Ir这一理论公式在坐标系里画出理论线（如图 4 中的实线），其纵坐标上的截距和斜率的， ，绝对值就是真实值 E 和 r 。用两只表的读数来表示横、纵坐标，由于电压表的分0 0流使电流表的读数小于真实的干路电流，相差DI =URV，RV是一定的，U越大DI就越大，U 越小 DI 就越小。U 0 时 DI 0，所绘制的图线称为实验线（如图 4 中的 虚线）。其纵轴上的截距和图线的斜率的绝对值就电动势和内阻的测量值 E 和 r ,由图 4 可见rr0，EE0。二、用“伏阻法”测电池的电动势和内阻用“伏阻法”测电池的电动势和内阻就是用电压表和电阻箱测电池的电动势和内阻，是通过电阻箱改变外电路的电阻 R，并用电压表测出外电路的路端电压，然后利用闭合电路的欧姆定律求出电池的电动势和内阻。实验要求多测几组 R、U数据 , 求出几组值 , 然后取他们的平均值。还可以用作图法处理，即利用电池的1 1-U R图象求出值。1、“伏阻法”测量原理：电路如图 5所示，设电阻箱电阻分别调为R1和R2时，电压表测出两组路端电压值分别U E -U U E -U 则有1 = 1 2 = 2 R r R r1 2U U U -U - 1 - 2 = 2 1R R r1 2(U -U ) R R解得，r = 2 1 1 2U R -U R1 2 2 1U1和 U ，2带入解得E =( R -R )U U 2 1 1 2U R -U R 1 2 2 1，2、系统误差分析：图 5 电路由于电压表分流使电阻箱中的电流小于电源的实 际电流。导致实验产生系统误差。（1）通过理论的推导分析误差：设电压表的内阻为 R ，电池的电动势和内电阻的真实值分别为 E 和 r 。V 0 0R12211 1 r 1 1 1 11 1 r 1 11 11 111 10则有U U E -U 1 + 1 = 0 1R R r1 V 0 U U E -U2 + 2 = 0 2 R R r2 V 0 得代入得(U -U ) R Rr = 2 1 1 20 (U -U ) R R U R -U R - 2 1 1 21 2 2 1V( R -R )U UE = 2 1 1 20 (U -U ) R R U R -U R - 2 1 1 2RV比较、式和、式可知 r r0，EE0.不难看出电流表内接时测得的内电阻和电动势均偏小。但由于内电阻和电动势 的相对误差均很小，故一般选用此接法。（2）通过图像的比较分析误差：由U E -U=R r可知U与R并非线性关系，为获得线性关系可将此式两边同时除以 U ，得到 - = + .可见 与 是线性关系。U R E R E U R1 E 1 1= -R rU r或1 1-U R以 - = + 这一理论公式在坐标系里画出U R E R E理论线（如图 6 中的实线），其纵坐标上的截距和坐标上的截距的绝对值分别就是真实值 和 。由于电压表的分流使电阻箱中的电流小于电源的实际电E r0 0流。导致实验产生系统误差。亦可以说：由于电压表与电阻箱并联使电压表的读 数小于真实的路端电压，而且 R 越小（即 越大），DU 越小； R 越大（即 越小），R RDU越大。R =0（即 无限大）时， RDU0。此时两线相交。 所绘制的图线称为实验线（如图 6 中的虚线），其纵坐标上的截距和坐标上的截距的绝对值分别就是真实值 和 ,由图 6 可见 r r ， E E E r0。00三、用“安阻法”测电池的电动势和内阻用“安阻法”测电池的电动势和内阻就是用电流压表和电阻箱测电池的电动势和内阻，是通过电阻箱改变外电路的电阻R，并用电流表测出电路的电流I，然后利用闭合电路的欧姆定律求出电池的电动势和内阻。实验要求多测几组 R 、I 数据,求出几组值,然后取他们的平均值。还可以用作图法处理，即利用电池的 图象求出值。1 1-U R1、“安阻法”测量原理：电路如图 7 所示，设电阻箱电阻分别调为 R 和 R1 2时，电流表测出两组电流值分别I1和I2，则有E =I R +I r 1 1 1（1），E =I R +I r 2 1 2（2），（1） - （2）解得I R -I R r = 2 2 1 1I -I1 2（3），（3）带入（1）解得I I ( R -R ) E = 1 2 2 1I -I1 2（4），2、系统误差分析：图 7 电路由于电压表分流使电阻箱中的电流小于电源的实 际电流。导致实验产生系统误差。（1）通过理论的推导分析误差：设电压表的内阻为 R ，电池的电动势和内电阻的真实值分别为 E 和 r 。A 0 0则有E =I R +I r +I R 0 1 1 1 0 1A（5）E =I R +I r +I R 0 2 1 2 0 2A（6）（5）（6） 得（7）代入（5）得I R -I Rr = 2 2 1 1 -R I -I1 2I I ( R -R ) E = 1 2 2 1I -I1 2A（7）（8）比较（7）、（8）式和（3）、（4）式可知rr0，EE0.不难看出 电流表内接时测得的内电阻偏大，测得的电动势准确。但由于内电 阻的相对误差太大，故一般不用此接法。1 1 r 1 1这一理论公式在坐标系里画出1 R r R 1（2）通过图像的比较分析误差：由I =ER +r可知 I 与 R 并非线性关系，为获得线性关系可将此式两边的分子和分母同时颠倒，得到 = R + 或 R =E +r .可见 与 R 是线性关系。I E E I I以1 1 r 1= R +I E E I-R理论线（如图 8 中的实线），其横坐标上截距的绝对值就是内电阻真实值 r ，斜率的倒数就是电动势的真实值 E 。0 0由于电流表的分压使电阻箱两端的电压小于电源的实际路端电压。导致实验产生系统误差。亦可以说：由于电流表与电阻箱串联使电流表的读数 I 小于真实的干路电流 I ， = + + A ,则 I E E E I 1 1 1 R且 - = A I I I E与R无关。所绘制的图线称为实验线（如图 8 中的虚线），其横坐标上截距的绝对值就是内电阻测量值 r ，斜率的倒数就是电动势的测量值 E 。由图 8可见rr0，EE0。