博弈论第二章习题

博弈论第二章习题 问题1：博弈方2就如何分10000元钱进展讨价还价。假设确定了以下原那么：双方提出自己要求的数ss2，0?s1，s2?10000。假设设博弈方1和，s1?s2?10000，那么两博弈方的要求都得到满足，即分得s1和s2；但假设s1?s2?10000，那么该笔钱就被没收。问额1和该博弈的纯策略纳什平衡是什么？假设你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？ 解：u1(s1)?s-1?0?ssu2(s2)-22?0s2s1?10000?s2s1?10000?s2?10000?s1?10000?s1，那么，s1?10000?s2 那么，s2?10000?s1 ?10000上的任意点(s1,s2)，都是本博弈的纯策略的Nash平衡。假设我是其中一个博弈方，我将选择s1?5000元，因为(5000,5000)是比拟公平和容易承受的。它又是一个聚点平衡。 它们是同一条直线，s1?s2n家厂商。qi为厂商i的产量，Q?q1?q2-?qn为市场总产量。P为市场出清价格，且P?P(Q)?a?Q当Q?a时，否那么P?0。假设厂商i消费产量qi的总本钱为Ci?Ci(qi)?cqi，也就是说没有固定本钱且各厂的边际问题2：设古诺模型中有本钱都一样，为常数c(c?a)。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什平衡是什么？当趋向于无穷n大时博弈分析p 是否仍然有效？ 解：?i令?pqi?cqi?(a?c-qj)qi，i?1,2,j?1,n -i?a?c?2qi-qj?0，i?1,2,?qij?i*1,n 解得：q?q?*2a?c*?q?，?1-2?n?1*n当n趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析p 方法其实已经失效。 ?a?c-?n?1?*n2 P?P(Q)?a?Q，但两个厂商的边际本钱不同，分别为c1和c2。假设0?ci?a/2，问纳什平衡产量各为多少？假设c1?c2?a，但2c2?a?c1，那么纳什平衡产量又为多少？ 问题3：两寡头古诺模型，解：双方的反响函数联立求解 ?*1q?(a?2c1?c2)-2q1?q2?a?c1?13，解得：? ?q?2q?a?c1?122?q*?(a?c?2c)212?3?当0?ci?a/2，就是这个博弈的Nash平衡。 假设c1*?c2?a，但2c2?a?c1，当然可以推得q2?0。那么厂商1就变成垄断商它的最正确产量2a?c?a?c?*当然是q1?，它的利润是：?1?24 问题4：假设双寡头垄断的市场需求函数是边际本钱为一样的常数。 c。假设两个厂商都只能要么消费垄断产量的一半，要么消费古诺产量。证明：这1 P?P(Q)?a?Q，两个厂商都无固定本钱是一个囚徒困境型的博弈。 解：古诺产量a?ca?c，垄断产量的一半，那么 342a?c-?i?(a?c?Q)qi分别有四种情况：9 厂商二 古诺产量厂 古诺产量商 一 a?c-，825?a?c?，3625?a?c?，48a?c 42 a?c 3垄断产量的一半2a?c 3?a?c?92?a?c?，9 25?a?c?36 25?a?c?，4822 a?c5?a?c?2垄断产量的一半 4485?a?c?，36?a?c?82a?c-，8 双方都有偷步的行为，直至到达古诺产量，到达平衡。 问题5：两个厂商消费一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为Q?100?P，设厂商1和厂商2都没有固定本钱。假设他们在互相知道对方边际本钱的情况下，同时作出产量决策是分别消费20单位和30单位。问这两个厂商的边际本钱各是多少？各自的利润是多少？ ?(100?q1?q2)q1?c1q1，?2?(100?q1?q2)q2?c2q2 -1-令?100?c1?2q1?q2?0，2?100?c2?2q2?q1?0 ?q1?q2解：?1代入q1 问题6：两个企业1、2各有一个工作空缺，企业的工资为*?20,q2?30，所以：c1?30,c2?20。 iwi，并且(1/2)w1?w2?w1。设有两个工人同时决定申请这两个企业的工作，规定每个工人只能申请一份工作，假设一个企业的工作只有一个工人申请，该工人肯定能得到这份工作；但假设一个企业的工作同时有两个工人申请，那么企业无偏向地随机选择一个工人，另一个工人那么会因为错过向另一个企业申请的时机而失业这时收益为0。该博弈的纳什平衡是什么？该博弈的结果有多少种可能性，各自的概率是多少？ 解： 工人2 企业1 企业2 工 企业1 人 1 企业2 11w1，w1 w1，w2 2211w2，w1 w2，w2 22 有两个纯策略平衡，还有混合策略平衡。 -2w1?w22w2?w1，1-?1-?w1?w2w1?w2问题7：五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益决于v是鸭子总数N的函数，并取N是否超过某个临界值N；假设N?N，收益v?v(N)?50?N；假设N?N时，v(N)?0。再假设每只鸭子的本钱为c?2元。假设所有居民同时决定养鸭的数问题7：ni是第i个农户养鸭子的数量，N量，问该博弈的纳什平衡是什么？ ?n1?n2?n3?n4?n5，当N?N时， 2 ui?niv(N)?2ni?ni(50?N)?2ni，i?1,2,3,4,5 ?ui?0,i?1,2,3,4,5，那么 ?ni?2n1?n2?n3?n4?n5?48?n?2n?n?n?n?4812345-*?n1?n2?2n3?n4?n5?48，那么n1?n2?n3?n4?n5?8 ?n?n?n?2n?n?4845?123-n1?n2?n3?n4?2n5?481假设N?5?8?40，那么上述临界条件成立，五户居民每户养8只鸭子，就是该博弈的平衡。 2假设NNash?N?*?40，那么上述条件不成立，n1?n2?n3?n4?n5-? ?5?R 2，7 0，0 问题8：应用平衡概念和思想讨论以下得益矩阵表示的静态博弈。 博弈方2 L 博弈方1 U 6，6 D 7，2 解：有两个纯策略Nash平衡。U，R和D，L，但还有一个混合策略Nash平衡。?但效率不高，双方的期望收益都是?21-21?,?，?,?。3?3-33?14；不如U，L的效率高，U，L是3Pearto平衡。应该设置一种机制，促使该Pearto平衡实现。 问题9：三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什平衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态终究如何？ 矩阵1： 妻子 活着 死了 丈夫 活着 1，1 -1，0 死了 0，-1 0，0 矩阵2： 妻子 活着 死了 丈夫 活着 1，1 1，0 死了 0，1 0，0 矩阵3： 妻子 活着 死了 丈夫 活着 -1，-1 1，0 死了 0，1 0，0 9解：矩阵1有两个Nash平衡活着，活着，死了，死了和混合策略Nash平衡-11-11?,-?,?。2?2-22?两人的感情很好，同生死，共患难，极度恩爱，单独活着反而更加痛苦。 矩阵2有三个Nash平衡，活着，活着，活着，死了，死了，活着。说明两人感情恶化，生活很不幸福。一方死了，另一方更好，但没有到互相不可容忍的地步。这说明夫妻感情很不好，处于相当危险的状态。 矩阵3有两个Nash平衡，活着，死了，死了，活着。到达你死我活、势不两立的程度。这说明这对夫妻感情状态极度恶化，已经互相仇恨到了不共戴天的程度。 3 。 a、b数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。假设本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么问题1：假设开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即以以下图中条件？ 乙 借 甲 分 不分 乙 不打 2，2 打 不借 1，0 a，b 0，4 a?0，不借不分不打； 0?a?1，且b?2，借不分打； a?1，且b?2，借不分打(a,b)； a?0，且b?2，借分2，2 问题2：三寡头市场需求函数P?100?Q，其中Q是三个厂商的产量之和，并且三个厂商都有常数边际本钱2而无固定本钱。假设厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？ ?1?(100?q1?q2?q3)q1?2q1?(98?q1?q2?q3)q1 ?2?(100?q1?q2?q3)q2?2q2?(98?q1?q2?q3)q2 ?3?(100?q1?q2?q3)q3?2q3?(98?q1?q2?q3)q3 -3?0,?q3?(98?q1?q2)/2 ?q3代入，?1?(98?q1?q2)q1/2,?2?(98?q1?q2)q2/2 -1-2*?q2?98/3,q3?49/3 ?0,?0，得q1?q1?q2*?1*-2?4802/9,?3?2401/9。 问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如以以下图所示。 a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什平衡是什么？ 2L?N?T是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什平衡途径，为什么？ 1假设3在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？ 4 1 L 2 M N 1 T 200，200 S R 300，0 1博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，博弈方2在第二阶段选择M。 2不可能。和a，b 50，300 L?N?S，要使该途径成为子博弈完美Nash平衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须a?300,b?300。 现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的途径为问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择消费低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。假设企业甲先于企业乙进展产品选择并投入消费，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。 1用扩展型表示这一博弈。 2这一博弈的子博弈完美纳什平衡是什么？ 企业乙 高档 低档 企业甲 高档 500，500 1000，700 低档 700，1000 600，600 扩展型表示的博弈 b是什么数值，该途径都不能构成Nash平衡，不能成为子博弈完美Nash平衡。 3由于L?N?T不是本博弈的子博弈完美Nash平衡，因此博弈方2不可能通过该途径实L?N?T带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论a甲 高 乙 高 低 高 700，1000 低 乙 低 500，500 假设甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元； 假设甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元， 所以：甲的策略为：选择消费高档产品； 乙的策略是：假设甲选择高档，乙选择低档；假设甲选择低档，乙选择高档。 本博弈的子博弈Nash平衡是：甲选择消费高档彩电，乙选择消费低档彩电。 问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲假设不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什平衡和子博弈完美纳什平衡。 5 1000，700 600，600 第 11 页 共 11 页