高等数学第9章D91基本概念

推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 )(0oPPUPP 00一、一、区域区域1.邻域邻域点集,),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成.)(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xxyy0目录 上页 下页 返回 结束 2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内内 点点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.目录 上页 下页 返回 结束(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心),PU(E邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)目录 上页 下页 返回 结束 D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.11 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无xyO目录 上页 下页 返回 结束*3.n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx的全体所构成的集合记作,Rn即RRRRnnkxxxxkn,2,1,),(21R中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示,即nR),(21nxxxxnR定义了线性运算的定义:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任给),(2211nnyxyxyxyx线性运算其元素称为点或 n 维向量.xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.R)0,0,0(中的坐标原点或零向量称为零元n0 0称为 n 维空间,目录 上页 下页 返回 结束 的距离距离定义为2211)()(nnyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中两点yxyx或),(),(,21nxxxx点特别与零元 0 的距离为22221nxxxx.,3,2,1xx 通常记作时当n,0Raxx满足与定元中的变元an.ax 记作nR记作则称 x),2,1(nkaxkk ax),(21naaaa设显然趋于a,目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTVcbacbacba,0,0,0),()()(cpbpappShr目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.设非空点集,nDRDPPfu,)(或点集 D 称为函数的定义域定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n=3 时,有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf:称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作),(21nxxxfu目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设 n 元函数,(nDPPfR),点,),(0PUDP,)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 ,总存在正数,切目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),(yxf,022时当yx22yx 222yx,总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx,0 20),(22yxyxfyx 222 yx,2 时，当yx220 xyyx11sinsin总有 2要证 目录 上页 下页 返回 结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.例例3.讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解:因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1(4limrrr此函数定义域不包括 x,y 轴,222yxr令则62)cos1(4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注注.二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录 上页 下页 返回 结束 四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,0)1(K)()2(Pf,Mm*(4)f(P)必在D 上一致连续.;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)目录 上页 下页 返回 结束.11lim00yxyxyx解解:原式)11(1)1(lim200yxxyyxyx21例例5.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6.求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.区域 邻域:,),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2.多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0,0时，当PP 00有APf)(3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P61 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P129 题 3;*4思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:P61 题 2.),(),(2yxftytxtf称为二次齐次函数.P61 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P61 题 5(3).定义域 0:yyxDP61 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO目录 上页 下页 返回 结束 P62 题 8.间断点集02),(2 xyyxP129 题 3.定义域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P129 题*4.令 y=k x，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1,则 可见极限不存在目录 上页 下页 返回 结束 P61 5(2),(4),(6)6 (2),(3),(5),(6)*7，*10第二节 作作 业业 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux),(vuf32)(2vuu32)(vu,2xyu yxv),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目录 上页 下页 返回 结束 1.设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目录 上页 下页 返回 结束 yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解:利用xxy取所以极限不存在.333,0,yxyx)1ln(yxxyxyx)1ln(lim00目录 上页 下页 返回 结束 3.证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0,0(),(处在yx),(yxf为初等函数,故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得